商榷幾道全國高中數學聯賽試題及其解答

題1（2016年全國高中數學聯賽江西省預賽試題第1題）若函數y=log2016（x2-ax+65）的值域為R+，那么a的取值范圍是.

參考答案（-16，16）.由題意可知，要使函數y=log2016（x2-ax+65）的值域為R+，只需x2-ax+65>1，即x2-ax+64>0，所以Δ=a2-4×64<0，即a∈（-16，16）.

剖析當a=0時（可得0∈（-16，16）），y=log2016（x2+65）的值域是[log201665，+∞），不滿足題設，說明以上答案不對.

應當這樣求解：

可得二次函數u=x2-ax+65的判別式Δ=a2-260.

當Δ≥0即a≤-260或a≥260時，開口向上的拋物線u=x2-ax+65與x軸有公共點，從而可得對數log2016（x2-ax+65）中的真數x2-ax+65的取值范圍是（0，+∞），所以函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，此時不滿足題設.

當Δ<0即-260

所以所求a的取值范圍是.

建議把原題修改為：

修改1若函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，則a的取值范圍是 .

（答案：（-∞，-260）∪（260，+∞）.）

修改2是否存在實數a，使得函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是[0，+∞）？答： .

解否.由前面的分析，可得

-260

log201665-a24=0，即a∈.

修正3若函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是R+的某個子集，則a的取值范圍是 .

解（-260，260）.由前面的分析，可得-260

log201665-a24>0，即a∈（-260，260）.

題2（2011年全國高中數學聯賽一試B卷第5題）若△ABC的角A、C滿足5（cosA+cosC）+4（cosAcosC+1）=0，則tanA2·tanC2= .

參考答案3.由萬能公式，可得

cosA=1-tan2A21+tan2A2，cosC=1-tan2C21+tan2C2.

把它們代入題設后化簡，可得tanA2·tanC22=9.

又因為A2，C2都是銳角，所以tanA2·tanC2=3.

剖析下面用兩種方法說明題2是道錯題：

法1由A、C∈（0，π），可得cosA、cosC∈（-1，1），|cosA|<1，|cosC|<1，|cosAcosC|<1，cosAcosC+1>0.

再由題設中的等式，得cosA+cosC<0，cosAπ-C，A+C>π.

而由三角形內角和定理可知，A+C<π，所以原題是道錯題.

法2由A+C2是銳角，得cosA+C2=cosA2cosC2-sinA2sinC2>0，tanA2tanC2<1.

而這與原解法得到的結論tanA2·tanC2=3矛盾！所以滿足題設的△ABC不存在.

題3（1）（2011年全國高中數學聯賽貴州省預賽第8題）定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，fx3=12f（x），且當0≤x1

A.12B.116 C.132 D.164

參考答案（1）1128.在f（x）+f（1-x）=1中：令x=0，可得f（1）=1，f13=12；再令x=13，可得f23=12.

因為當0≤x1

由fx3=12f（x）即f（x）=12f（3x），可得

f12011=12f32011=122f322011=123f332011

=…=126f362011.

又由13≤362011≤23，可得f362011=12，所以f12011=126·12=1128.

（2）C.在f（x）+f（1-x）=1中：令x=0，可得f（1）=1，f15=12；再令x=15，可得f45=12.

因為當0≤x1

由fx5=12f（x）即f（x）=12f（5x），可得

f12007=12f52007=122f522007=123f532007

=124f542007，

又由15≤542007≤45，可得f542007=12，所以f12007=124·12=132.

剖析題3的兩道小題如出一轍，且題設中的“f（0）=0”均是多余的：因為在題設中的第三個等式（分別是fx3=12f（x），fx5=12f（x））中令x=0均可得到f（0）=0.

并且筆者還發現題3的兩道小題均是錯題——滿足題設的函數均不存在：

結論不存在函數f（x）同時滿足：①定義域是R且f（x）+f（1-x）=1 ；②fxn=12f（x）（n≥3，n∈N）；③當0≤x1

證明由②可得f（0）=0；再由①可得f（1）=1；又由②可得f1n=12.

在①中令x=1n，可得fn-1n=12.

再由③可得，當1n≤x≤n-1n時，f（x）=12.

當1≤x≤n-1時，1n≤xn≤n-1n，所以fxn=12 ，再由②可得，f（x）=2fxn=1.

當2-n≤x≤0時，1≤1-x≤n-1，所以f（1-x）=1 ，再由①可得，f（x）=0.

當n（2-n）≤x≤0時，2-n≤xn≤0，所以fxn=0，再由②可得，f（x）=0.

當n2（2-n）≤x≤0時，n（2-n）≤xn≤0，所以fxn=0，再由②可得，f（x）=0.

……一般地，容易對正整數k用數學歸納法證得：當nk（2-n）≤x≤0時，f（x）=0.

x∈（-∞，0]，選正整數k≥logn（1-x），可得nk≥1-x≥-x，nk（2-n）≤-nk≤x，所以當x≤0時，f（x）=0.

當x≥1時，1-x≤0，所以f（1-x）=0，再由①可得，f（x）=1.

所以當x≥n時，fxn=1=f（x），這與②矛盾！所以欲證結論成立.

注在編擬抽象函數題時，要注意函數的存在性[1].

題4（2014年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽試題第一試第三題）已知動點A、B在橢圓x28+y24=1上，且線段AB的垂直平分線始終過點P（-1，0）.

（1）求線段AB中點M的軌跡方程；

（2）求線段AB長度的最大值.

文獻[2]、[3]、[4]均給出了題4及其解答（它們完全相同），筆者發現其解答有誤，在文獻[5]中給出了其完整解答.

參考文獻

[1]甘志國.編擬習題時應注意問題的存在性[J].中學數學（高中），2015（1）：35-38.

[2]中國數學會普及工作委員會組編.2015高中數學聯賽備考手冊（預賽試題集錦）[Z].上海：華東師范大學出版社，2014.

[3]吳中麟提供.2014年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽[J].中等數學，2015（3）：34-38.

[4]武增明.解析幾何中兩動點間的距離的最值類型[J].中學數學雜志，2016（1）：36-39.

[5]甘志國.對2014年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽第一試第三題的完整解答[J].中學數學雜志，2016（5）：63.endprint