構圖：“構”出課堂的精彩

董秀明

[摘 要] 為了滲透數形結合思想，發展學生的直觀思維能力，筆者教授“平方差公式”（蘇科版七年級下冊第九章）這節課時采取了“構圖”模式. “構圖”或許會讓課堂的時間顯得不那么緊湊和有效，但“構圖”卻“構”出了課堂的別樣精彩！

[關鍵詞] 構圖；數形結合；數學教學

“構圖”引入教學過程

這一學年筆者任教兩個不同層次的班級——2班和4班，2班的層次好一些，在學習蘇科版七年級下冊第九章“9.4.2 平方差公式”時，筆者一時興起，決定引入“構圖”，在兩個班級采用不同的方式講授.

和前面幾節課的引入一樣，筆者在4班仍請同學們觀察課本9-5的圖形，然后請大家用“面積法”求陰影部分的面積.

同學們因為有了前幾節課的學習基礎，所以很快就類比得出了陰影部分面積的兩種表示方法，即（a+b）（a-b）與a2-b2，于是可以得到（a+b）（a-b）=a2-b2.

這樣的引入學生已經習慣和熟悉，所以他們很快便得到了答案，師生皆大歡喜，我們很順利地進入下一環節……筆者大概看了一下，這里引入的時間不足五分鐘.

到了2班，因為前一節課筆者已經讓同學們仿照課本求（a+b）2的方法，通過“構圖”求（a-b）2了，且同學們做得還不錯，有了這樣的鋪墊，這一節課筆者“心血來潮”，想請同學們繼續從圖形直觀的角度，通過“構圖”來求（a+b）（a-b）. 這里，筆者預估的時間是5～6分鐘，筆者請了四位同學來“板演”.

大約3分鐘左右，黑板上同學畫的圖形陸陸續續出來了，筆者抬頭一看，竟然清一色的是相同的圖形（如圖1），但沒有另一種表示面積的方法呈現，幾位同學都愣在那兒，筆者看完也懵了，因為這不在筆者的預料之中，于是筆者立即問下面的同學：“有同學畫出來了嗎？”話音剛落，有好幾位同學舉起了手，筆者頓感欣慰，于是請板演的四位同學回座位，請舉手的同學上來，心想或許他們能“救場”.

不出所料，幾位同學真不錯，圖形都畫出來了（如圖2）.

在這幾位同學中，有兩位同學將陰影部分分割之后拼成了一個長方形，此時長正好是a+b，寬正好是a-b，從而得出（a+b）（a-b）=a2-b2；還有一位同學將陰影部分分割成兩個形狀、大小相同的梯形，然后將兩個梯形拼成一個新的梯形，梯形的上底是2a，下底是2b，高是（a-b），從而得到（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）=a2-b2；最后一位同學也是分割成兩個形狀、大小相同的梯形，只不過這位同學將梯形拼成了一個平行四邊形，平行四邊形的底是a+b，高是a-b，從而得出（a+b）（a-b）=a2-b2.

下面的同學看了以上的“構圖”，都發出了“哦，哦……”的聲音，有的同學還在竊竊私語：“我怎么沒有想到呢？”“原來這么簡單啊！”

此刻的筆者也很欣慰，欣慰的是第二批板演的同學都能很好地構造出圖形，欣慰的是下面的同學似乎都明白了怎么構圖. 乘著興致，筆者決定問問同學們是如何思考的.

師：“A，B兩位同學的圖形是一樣的，思路也是一樣的，下面我們請A同學來說一下想法.”

A同學：“這個畫法不是我想出來的，因為我之前已經預習過課本了，記住了課本上的畫法.”

好一個誠實的孩子，同學們聽了也哈哈大笑起來. 于是筆者請C同學來說說想法.

C同學：“我一開始也沒有想出來，后來我就用多項式乘多項式的法則計算出（a+b）（a-b）=a2-b2，然后我就想到構造一個邊長為a的正方形，在這個正方形里面再構造一個邊長為b的正方形，圖形就出來了，并且a2-b2表示的就是剩余部分的面積，只要把剩余部分的面積用另一種方式表示出來就可以了，所以我想到將它分割成兩個梯形，再拼成一個大的梯形，面積正好是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.”

C同學說完，筆者示意他坐下，頓有感觸：“同學們的想法會超出老師的預期！”下面的同學不再作聲，默默地聽著，若有所思地點頭. 有些同學低聲懊悔：“我怎么就沒有想到呢？”于是筆者趁熱打鐵，繼續請D同學來說說想法.

“我和C同學的想法差不多.”D同學有些害羞地回答道.

板演同學的回答讓同學們茅塞頓開，就在這時，E同學舉起了手.

筆者還沒來得及進行進一步分析，目光和E同學的目光相遇后，他就迫不及待地站了起來：“我還是上去講吧！”他一邊說著一邊往講臺上走，走到講臺時很麻利地擦了黑板，拿了粉筆就畫起圖來，顯然此時的他胸有成竹，迫不及待.

“我一開始和剛上來的同學一樣，一想到（a+b）（a-b），就想到構造一個長為a+b、寬為a-b的長方形，剛剛受C同學的啟發，我就想，將這個長方形分割成兩個長方形，一個是長為a、寬為a-b的長方形，大家看，另一個則是長為b、寬為a-b的長方形.”（如圖3）他邊說邊畫，由于有些激動，講臺上的三角尺他都沒有用，所以畫出來的線有些彎曲，不過無礙.

“接著，我把右側的長方形移到下面來，就是這樣（如圖4）.”

“上面的大長方形（圖3）整體求面積就是（a+b）（a-b），下面的圖形（圖4），我用‘補的方法，補上去的左下角的圖形正好是邊長為b的正方形（如圖5），所以面積是a2-b2.”

E同學講得很激動，下面的同學估計還沒有完全聽明白，他已經興奮地回到座位了.

顯然E同學的想法很棒，他積極思考，有了新的見解，此時，筆者為孩子們的精彩表現而倍感高興. 此刻筆者也習慣性地抬頭看了看時間，這一看嚇了一跳，半節課的時間已經過去了，于是筆者欣喜又無奈地結束了這段“構圖”的引入，因為后面還有很多內容等著我們去學習……

教學反思

1. “構圖”：教與學的“橋梁”

到下課的時候，筆者的例題還沒有講完. 回到辦公室，筆者的心情無法言說. 4班不到五分鐘的引入，在2班卻整整用了半節課的時間，問題出在了哪里？難道筆者的一時心血來潮是錯誤的？2班也應像4班那樣引入？但筆者回過頭來想2班同學的種種想法，盡管“耽誤”了課堂時間，但孩子們有真思考、真想法、真表現，這些在課堂上閃現出來的“智慧”火花，又何嘗不寶貴呢？這些疑慮讓筆者陷入了沉思……筆者決定再次打開教參，仔仔細細地閱讀這部分內容，同時，筆者還借來了人教版的教參，想一下子研究透徹.

蘇科版“9.4乘法公式”的教學目標中明確指出：一是能推導平方差公式，了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算；二是經歷探索平方差公式的過程，進一步感悟數與形的關系，感悟數形結合思想，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性. 筆者也翻閱了人教版的教參，課本中明確指出：本章教科書注意了代數與幾何之間的聯系，體現了數形結合的重要數學思想和方法，在乘法公式部分，借助幾何圖形對運算法則及公式做出了直觀解釋，體現了代數與幾何的內在聯系和統一，能讓學生更好地理解有關知識.

同時，筆者還和組內的老師一起進行了討論，老師們的意見如下：對于層次較好的班級，應該可以用筆者的引入方式，同學們多思考、真思考，肯定會帶來真見解，對平方差公式的理解會更到位、更深刻！但對于層次一般的班級，我們應該提供相關圖形，以使學生能夠發現并歸納即可，因為本課的重點是平方差公式的特點歸納及應用.

經過以上查閱、探討、分析，筆者覺得有必要找學生談談. 第二天，筆者請了4班和2班各兩位層次相近的同學，筆者現場出題，請四位同學“構圖”，用面積法求（a+b）（a-b），3分鐘不到，2班的兩位同學就完成了，而4班的兩位同學大概花了8～10分鐘，接著，筆者又出了四題應用平方差公式進行計算的題目，這次四位同學不分伯仲，竟然都很快地計算出來了且都正確.

2. “構圖”：知與能的“支點”

筆者靜靜地梳理著這一節課從開始到現在四位同學測試結束的這段時間，有了如下一些想法：第一，筆者還是堅持自己的做法，啟發學生類比前面所學的內容，繼續“構圖”，通過面積法求（a+b）（a-b），甚至筆者可以在兩個班都這樣操作；第二，為了不喧賓奪主，學生又能進一步感受并經歷“構圖”的過程，能更好地感悟數與形的關系，筆者覺得這樣的操作可以放在課前進行，成為同學們預習的材料；第三，“數缺形時少直觀”，今天的學習并不僅僅是為解決平方差公式，同學們還要經歷初中數學學習中更多的“數形結合”，今天課堂“耽誤”的時間，一定能夠在今后的數學學習中節省更多的時間. 學生鍛煉得愈多，收獲也一定愈多！