決策指標組合賦權方法的研究及應用

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(火箭軍工程大學 信息工程系,西安 710025)

0 概述

隨著社會的發展進步,信息化、系統化和智能化的大型系統逐漸成為各行業核心競爭力的必要組成部分。隨之而來的系統評價中的指標體系構建成為了研究的熱點,指標賦權作為指標體系構建中的重點,也是難點,逐漸成為眾多決策領域專家學者關注的焦點。近十年來,關于指標賦權方法的研究日益增多,并具有巨大的工程應用價值,僅CNKI數據庫中關于指標賦權的期刊就高達6 409篇,且呈逐年上升的趨勢。

從傳統的指標賦權方法來看,主要存在兩方面差異:由于評價人員重視程度不同造成的主觀差異和指標本身蘊含信息量不同而造成的客觀差異。就近幾年的研究現狀來看,指標賦權大都是主客觀權重的組合賦權。文獻[1]針對微信營銷效果進行評價,在運用AHP對指標分層的基礎上,采用雙基點熵權法對指標權重進行處理,求出客觀權重,并通過德菲爾法得到組合權重。文獻[2]將熵值法與AHP有效結合,避免了單一的主客觀賦權存在的缺陷,并與加權灰色關聯度評價模型綜合使用評估區域公路網。文獻[3]運用區間數相對相似關系理論,將不確定多指標決策問題轉化為從備選方案中選取相似度最大的決策方案作為最優對象確定權重。上述文獻中的方法分別針對傳統賦權法中的缺陷進行了改進,均有可取之處,但是仍然是對主客觀權重的機械疊加或組合而得到的權重,并未能徹底避免傳統組合賦權的缺陷。

決策指標組合賦權方法[4]通過相鄰目標優屬度法確定指標的重要性排序,并運用極大熵準則求取指標客觀權重,利用向量相似性原理找到與主觀權重重要性排序最相近的作為最終的指標權重。本文采用一種新的決策指標組合賦權方法,通過向量相似性原理求取指標綜合權重,該方法不同于傳統組合賦權中的主客觀權重兩兩組合求取綜合權重的方法。

1 指標權重確定

1.1 相鄰目標優屬度的主觀權重確定

本文在傳統有限二元兩兩比較求取權重的基礎上,提出的基于相鄰目標優屬度法[5],其原理是指標集O={o1,o2,…,om}中的所有指標作關于重要性的排序,可表示為o1?o2?…?om,例如oi?oj表示oi比oj重要。

在滿足重要性排序o1?o2?…?om基礎上,對指標作關于重要度的二元比較如表1所示,其中,βkl=1-βlk。

在表1中,βkl為指標ok對ol的重要性模糊標度值。其中,k=1,2,…,m,l=1,2,…,m。

綜上可得結論:假設指標關于重要性的排序為o1?o2?…?om,如果相鄰指標重要性排序模糊標度值βk,k+1已知,那么指標的相對重要性模糊標度值βkl(k=1,2,…,m;l=1,2,…,m)必可求。易得:βk,k+1∈[0.5,1],βk,k+2∈[βk,k+1,1],…,βk,m∈[βk,m-1,1],可將其表示在0～βkl的數軸上,如圖1所示。

圖1 相對于目標ok的模糊標度值

在數軸0～βkl上,βk,k+2∈[βk,k+1,1];在數軸0～βk+1,l上,βk+1,k+2∈[βk+1,k+1,1]=[0.5,1],如圖2所示。

圖2 βk,k+2和βk+1,k+2在不同軸上的投影關系

記:

(1)

(2)

(3)

將兩式化簡得:

βk,k+2=βk,k+1+2(1-βk,k+1)(βk+1,k+2-0.5)

(4)

由特殊推廣到一般得遞推公式:

βk,l=βk,l-1+2(1-βk,l-1)(βl-1,l-0.5)

(5)

由以上遞推公式可得,任何個指標的重要性排序模糊標度值均可由相鄰目標指標的重要性排序模糊標度值求得。

由互補關系βkl=1-βlk可得模糊標度值矩陣:

(6)

顯然,在矩陣β中,除去對角線βkk,剩余每行的元素值之和即為指標k的相對重要性。

(7)

將權重值投影到區間[0,1],得:

(8)

指標權重向量為ω=(ω1,ω2, …,ωm)T。

該方法通過相對重要性比較,綜合考慮了指標集中的所有指標,不僅避免了AHP中專家打分而造成的兩兩反復比較的缺陷,而且使權重的確定更具全面性,符合決策過程的邏輯思維。尤其突出的一個優點:指標數越多,權重確定越簡潔。

但是在權重確定過程中,仍需要專家給出相鄰目標的相對重要性,因此,從本質上來說還是一種主觀權重,受主觀因素影響較大。針對上述問題,可采用極大熵準則法引入不確定概念的客觀度量來求取權重。

1.2 基于極大熵準則的客觀權重確定

極大熵準則[6]是由E.T.Jaynes提出,并運用于信息論中,它要求在一定的約束條件下能夠使熵最大化的分布作為選定分布,目前該準則已被社會所公認。

通過查閱CNKI,發現目前熵理論在指標賦權中的應用得到了極大程度的關注,相關的理論及應用成果也比較豐富。但是,熵權的大小只能體現指標的“相對重要性”,而不能表征指標的重要程度,因此將其作為權重確定的依據是不合理的。對此,本文引入了極大熵的思想,通過建立多目標規劃模型,求取指標的客觀權重。根據極大熵準則,構造如下假設:

假設在約束條件下,如果2個指標的重要性無法區分,就認為2個指標同等重要。

1.2.1 評價矩陣的構造

定義1設有m個專家對n個指標評價打分。用xij表示第j個專家對第i個指標的評價值,則可以構成評價矩陣A=[xij]m×n。

(9)

定義2設定“評價基準”,取各指標第k個評價值的平均值作為“評價標準”值x0k:

(10)

用X0=(x01,x02,…,x0m)來表示評價值。

將X0補充到評價矩陣A的第n+1行,得擴展后的評價矩陣:

(11)

1.2.2 評價矩陣的“標準化”處理

由于得到的初始評價矩陣中,各指標的評價值在量綱上可能存在較大的差異,因此在對其進行綜合評價之前應先消除量綱、統一度量,這里稱為“標準化”處理。所謂標準化處理,即將“評價標準”的評價值設定為1,將每個指標的第k個屬性(x1k,x2k,…,xmk)與x0k比較,即可得標準化處理矩陣:

(12)

1.2.3 多目標規劃模型

多目標規劃模型構建方法如下:

1)綜合評價函數

由于各專家打分受自己經驗、情緒和知識結構等多方面不確定因素的影響,因此打分的結果也存在不確定性。為了表述方便,可將權重wi理解為第i個專家在所有專家中的所占比重,這樣就可以根據極大熵準則來建立目標規劃方程[7]。

(13)

另外,本文認為各評價指標與“評價標準”評價值越接近,即兩者之間的加權方差越小,那么綜合評價值與平均值之間偏差也就越小。由此,可以建立另一個目標規劃方程。

(14)

2)約束條件

上文已經構建了2個目標規劃函數,但為了求解,必須確定約束條件。根據概率論的知識,易得各評價指標值的權重之和為1,即:

(15)

根據式(13)～式(15)可構建多目標規劃的數學模型如下:

(16)

加入參數δ構建如下數學模型:

(17)

其中,參數δ∈[0,1],可根據實際情況賦值。

可構造Lagrange函數:

(18)

對w,λ求偏導得:

(19)

解得:

(20)

將式(20)代入式(19)可得:

(21)

將式(21)帶入式(20)得客觀權重:

(22)

其中,j=1,2,…,m。

2 基于向量相似性的指標綜合權重確定

2.1 向量相似性實現主客觀權重融合

由向量的相關知識求2個向量的相似性,即包括范數相似性和方向相似性。本文中主客觀權重均進行了歸一化處理,不存在范數不一致的問題,因此只考慮方向相似性即可。2個范數相同的向量,如果向量之間的夾角越小,那么2個向量的相似程度越高。因此,可將問題轉化為求解使得向量間夾角最小的客觀權重,可得下式:

(23)

化簡得:

θ=arccos

(24)

將測試數據代入,通過不斷調節δ值,并利用Matlab仿真,即可找出θ最小時所對應的客觀向量,即為最終的綜合向量[8]。

2.2 向量相似性原理求取組合權重的優勢

傳統組合賦權一般是通過主客觀權重的兩兩組合求取綜合權重,這種方法的核心和難點主要是通過參數設置來實現有效組合,但一直未能找到合理有效的方法來確定參數,從而造成因指標權重考慮不全面、主觀性強,導致最終效能評估結果的準確性。

基于向量相似性的指標賦權[9],有效地避免了傳統賦權法的缺陷,主要優勢表現在以下3個方面:

1)主觀權重的確定:利用相鄰目標優屬度的方法有效避免了AHP中專家打分而造成的兩兩反復比較的缺陷,而且指標權重更具全面性,相對傳統主觀賦權法[10]求取的主觀權重更符合實際。

2)客觀權重的確定:將主觀因素作為一個約束條件巧妙地融入到模型中,并通過嚴謹的邏輯推導得出帶有參數的客觀權重。

3)綜合權重確定:主觀權重較好地反映了指標的重要性排序,利用向量相似性原理將指標的重要性排序作為約束條件,通過不斷調節客觀權重中的參數,使客觀性較強的指標權重盡可能與主觀權重接近,這樣得到的指標權重一般不會偏離指標的實際重要性。

2.3 綜合權重確定的基本步驟

綜合權重確定的基本步驟如下:

步驟1確定指標集。首先根據評估對象特點及評估要求,建立相關的評估指標集。

步驟2獲得決策矩陣。通過專家打分方法獲得指標的評價結果,標準化處理后得到決策矩陣。

步驟3確定主客觀權重。首先通過相鄰目標優屬度確定主觀權重,得到指標的重要性排序,然后利用極大熵準則法得到客觀權重。

步驟4客觀權重確定。通過調節δ得到不同的客觀權重,并與主觀權重確定的指標重要性排序對比,找到最接近的客觀權重即為最終的指標權重[11]。

指標權重確定具體流程如圖3所示。

圖3 指標權重確定流程

3 模型驗證及性能分析

3.1 基于作戰指揮系統效能評估的算例研究

在作戰指揮系統效能評估中,指揮員的決策效能由于其評估指標的隨機性、模糊性等不確定特性,成為評估中的重難點問題。本文通過專家打分獲得初始評價數據,并運用上述方法確定指標權重,進而對算法的有效性進行驗證,指揮決策效能評估指標如圖4所示。

圖4 指揮決策效能評估指標

評估指標數據來源于專家打分和部隊調研,實例中4位專家的打分結果分別由4個不同調研單位專家打分結果的平均值所得,如表2所示。表3為重要程度分值對應表。

表2 指揮決策指標評價值

表3 重要程度分值對應表

由此可得決策矩陣:

1)主觀權重確定

由決策矩陣可得專家打分獲得的指標重要性排序為C4?C1～C2?C3,且認為C4比C1在稍微重要與略微重要之間,C2比C3在略微重要與較為重要之間,C1比C2同樣重要。因此,根據表4可得,β41=0.575,β23=0.625,β12=0.5。

表4 語氣算子與模糊標度對應關系表

比較矩陣為:

由式(7)和式(8)得:

w′=(1.55 1.55 0.983 1.917)

歸一化處理得主觀權重:

w=(0.26 0.26 0.16 0.32)

2)客觀權重確定

這里將決策矩陣視為初始的打分結果,則可得矩陣:

要求客觀權重與主觀權重最接近,代入式(24),并用Matlab仿真。

實驗全部運行在2.5 GHz的處理器、4.00 GB的內存空間中。

從圖5中可以看出,向量之間夾角θ較小值主要集中在[0.4,0.65]之間,于是縮小取值范圍,如圖6所示。

圖5 主客觀權重方差對應關系

圖6 主客觀權重方差對應關系

容易看出,當取值在0.54附近時,兩向量之間的夾角最小,即客觀權重與主觀權重最接近,取這時的客觀權重為最終的指標權重。

w=(0.27 0.21 0.24 0.28)

將本案例中數據作為評價數據源,采用傳統的權重確定方法,計算得到最終的指標權重為:

w′=(0.26 0.23 0.24 0.27)

為便于更加直觀觀察,將上述計算結果繪成條形圖,如圖7所示。

圖7 算法權重對比

由圖7可知,運用極大熵準則賦權法所得權重的重要性排序和本文提出方法所得重要性排序基本一致,但是極大熵準則賦權法所得各指標的權重比較接近,不能很好地體現指標之間的相互差異,而本文算法能夠較好區分指標之間權重差異[12]。

3.2 模型性能分析

上文通過作戰指揮系統效能評估中關于指揮決策效能評估的案例,對模型的適用性進行了驗證,但該模型相對于傳統方法的先進性和不足尚未明確說明,本節通過與其他組合賦權法對比分析,對模型的相關性能進行分析研究,并找出存在的缺點與不足。

近幾年來,關于組合賦權方法的研究呈明顯的上升趨勢,提出的組合賦權方法也很多,但本質上大都是對主客觀權重的簡單的乘法合成或線性加權,其加權系數確定的合理性、組合方法有效性、評估結果的準確性、尚需合理的解釋[13]。而本文模型相對于其他組合賦權方法有其突出的優勢特點,在模型計算過程中,運用相鄰目標優屬度法求取主觀權重,有效避免了主觀因素過重可能導致的隨意性與盲目性較大的問題。進而運用多目標規劃的數學理論,將主觀因素作為一個約束條件,通過嚴謹的數學推理運算,找到全局最優的數學解,這樣求取的指標權重,不僅實現了主客觀權重的有效融合,而且以全局最優為出發點,確保了求出的指標權重客觀合理、具有實際應用價值。

本文所構造的賦權模型,雖然具有很多優點,但也存在一些不足,主要體現在以下2點:

1)運用該模型解決實際問題時,首先需要對原始數據進行一定的加工處理,可能會對數據的完整性造成破壞,導致數據的損壞或信息的丟失,進而影響到評估結果[14]。

2)從計算過程可以看出,模型是通過反復取值無限逼近求解的,這樣得出的結果只能算是一個比較滿意的解,而不是最優解。

4 結束語

指標賦權作為指標體系構建中的重難點問題,一直是專家和學者們研究的熱點話題。本文在總結分析各類指標賦權方法的基礎上,針對組合賦權中主客觀權重不能有效融合的問題,提出了相鄰目標優屬度和極大熵準則的指標權重確定方法,通過相鄰目標優屬度確定指標的主觀權重,采用極大熵準則方法找到所有符合評價要求的客觀權重,并通過向量相似性原理找到與主觀權重最接近的客觀權重作為最終權重,實現了主客觀權重的有效融合。

本文構造的賦權模型,在一定程度上克服了其他組合賦權方法存在的缺陷,對含有模糊的、不易量化指標的系統評估,能夠較好地實現主客觀權重的融合處理。對于軍事作戰指揮系統效能評估,由于主觀因素和客觀因素錯綜交織[15],如何科學合理有效地衡量主觀因素和客觀因素的權重成為評估的關鍵,而該模型卻可以有效地解決此類問題,具有重要的軍事應用價值。

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