基于切比雪夫加權(quán)的面陣波束形成方法

劉 豪 ，余金培 ，梁 廣

（1.中科院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所上海200050；2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海201203）

陣列天線由多個(gè)天線陣元組成，利用波的干涉原理使陣列在某一特定方向的增益增強(qiáng)。而在某些特定場(chǎng)合，如衛(wèi)星與地面通信或者雷達(dá)天線，由于距離較遠(yuǎn)雜波干擾大，所以對(duì)低副瓣的要求極高。如果對(duì)陣列天線的激勵(lì)不作任何加權(quán)處理，其第一副瓣電平理論值大約為-13.4 dB，達(dá)不到相控陣?yán)走_(dá)對(duì)副瓣電平的要求。切比雪夫加權(quán)陣列就是一種能兼顧主瓣波束寬度和旁瓣高度的數(shù)字波束形成的最優(yōu)陣列。它的特點(diǎn)是：在給定的旁瓣高度下能提供最窄的主瓣波束，在給定主瓣波束寬度下能提供最低的旁瓣高度。傳統(tǒng)的切比雪夫加權(quán)陣列僅局限于一維線陣，而很多應(yīng)用中使用的都是二維平面陣列。未解決這一問(wèn)題，本文提出了兩種均勻面陣的切比雪夫權(quán)值計(jì)算方法，即二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法和二維窗函數(shù)法，將一維切比雪夫陣列推廣至二維，并仿真驗(yàn)證其可行性和有效性。

1 切比雪夫線陣波束形成

切比雪夫波束形成主要依托于切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)。切比雪夫多項(xiàng)式是微分方程的解，其n階多項(xiàng)式可表示為：當(dāng)由于當(dāng)x的取值范圍在[-1，1]時(shí)，Tn(x)的值均在[-1，1]之間震蕩，且Tn(x)=0 的解的個(gè)數(shù)為n，均位于[-1，1]之間，并分布在對(duì)稱于x=0的位置，當(dāng)x＞1時(shí)，Tn(x)遞增。切比雪夫多項(xiàng)式滿足如下的遞推關(guān)系式：時(shí)，；當(dāng)

根據(jù)（1）式可以很方便的推導(dǎo)出各階切比雪夫多項(xiàng)式的具體表達(dá)式。

陣元間距為d的N元均勻線陣，假定N為偶數(shù)，則其方向圖可表示為：

式中，β=2πd?sinθ/λ，λ為信號(hào)波長(zhǎng)。由切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)可知，若N元陣列方向圖與N-1階切比雪夫多項(xiàng)式曲線一致，則該陣列具有最佳方向性，所有旁瓣高度相同且可控，由此可設(shè)計(jì)切比雪夫加權(quán)天線陣列。假設(shè)要求陣列方向圖的主旁瓣比為S。則有TN(x0)=S，可解得。為了使切比雪夫多項(xiàng)式與陣列天線方向圖函數(shù)對(duì)應(yīng)，令，則結(jié)合可解出陣列系數(shù)In。具體公式如下：

切比雪夫陣列零點(diǎn)值：

根據(jù)f(θn)=0，給定第N/2個(gè)陣元的幅值為IN/2，則第1到N/2-1個(gè)陣元的幅值可由式（3）求得[1]：

2 切比雪夫面陣波束形成

2.1 二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法

假設(shè)均勻面陣x方向和y方向陣元間距分別為dx、dy，θ,φ分別代表方位角和俯仰角，Im,n代表陣元的初始復(fù)激勵(lì)。則陣列方向圖為：

式中：u=sinθcosφ，v=sinθsinφ。根據(jù)工程實(shí)際需要，選擇x方向、y方向等間距的4×4均勻面陣，則由于均勻平面陣列的對(duì)稱性，可將方向圖化簡(jiǎn)為：

考慮用兩個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式相乘來(lái)模擬切比雪夫陣列，則可構(gòu)造二維切比雪夫多項(xiàng)式，如下：

取m=3，n=3，主旁瓣比S，三階切比雪夫多項(xiàng)式為T3(x)=4x3-3x，則由于陣列x方向和y方向?qū)ΨQ，故x0=y0，令帶入上式并與（5）式聯(lián)合可求得系數(shù)I1,1,I1,2,I2,1,I2,2，再由對(duì)稱性可求得各個(gè)陣元系數(shù)。

由于該方法將兩個(gè)一維函數(shù)相乘模擬二維函數(shù)，所以二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法僅在θ=0°和φ=0°時(shí)達(dá)到最優(yōu)，在波束指向角為其它任意角度的時(shí)候，用該方法求得陣列系數(shù)的方向圖旁瓣高度雖有一定的優(yōu)化，但并未達(dá)到理想的抑制旁瓣的效果。并且當(dāng)陣元數(shù)很大時(shí)，公式的推導(dǎo)和計(jì)算量很大，實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為麻煩。下面引入二維窗函數(shù)法實(shí)現(xiàn)一維到二維的轉(zhuǎn)換。

2.2 二維窗函數(shù)法

根據(jù)一維N階切比雪夫多項(xiàng)式可輕松推導(dǎo)出N階切比雪夫系數(shù)，該系數(shù)是包含N個(gè)元素的一維向量。對(duì)于規(guī)則的平面陣列，可考慮使用一維窗函數(shù)來(lái)構(gòu)造二維窗函數(shù)。通常的構(gòu)造方法有兩種：一種方法是將兩個(gè)一維窗函數(shù)直接相乘，得到二維窗函數(shù)，如下式所示：

式中w1(m)和w2(n)是一維窗序列（函數(shù)），wR(m,n)是二維目標(biāo)窗序列（函數(shù)）。顯然wR(m,n)具有矩形支持區(qū)域。此方法由于是把兩個(gè)一維矢量相乘得到參數(shù)矩陣，所以根據(jù)二維窗的性質(zhì)，該方法不具有最優(yōu)的效果。

另一種方法是通過(guò)以一維窗函數(shù)w(x)為軸旋轉(zhuǎn)w(x)得到圓形軸對(duì)稱的二維窗函數(shù)，如式：

根據(jù)其傅里葉變換分析可知，如果一維的窗函數(shù)具有優(yōu)良的性質(zhì)，則其構(gòu)造的二維窗函數(shù)亦具有較好的性質(zhì)。也可將切比雪夫窗在頻域旋轉(zhuǎn)，然后進(jìn)行傅里葉反變換得到時(shí)域窗函數(shù)，該方法公式推導(dǎo)較為麻煩，本文不展開(kāi)詳細(xì)推導(dǎo)。常用的二維海明窗、凱森窗等都是通過(guò)其一維窗的旋轉(zhuǎn)變換獲得的。文中采用時(shí)域旋轉(zhuǎn)法來(lái)構(gòu)造二維切比雪夫窗函數(shù)，可利用MATLAB對(duì)時(shí)域旋轉(zhuǎn)做一些改進(jìn)，計(jì)算二維切比雪夫系數(shù)矩陣。限于篇幅，本文不對(duì)具體計(jì)算二維切比雪夫系數(shù)的過(guò)程加以展開(kāi)，僅給出通過(guò)兩種窗函數(shù)法計(jì)算的陣列系數(shù)。

3 仿真及性能分析

3.1 切比雪夫線陣仿真

選取8個(gè)全向天線組成陣元間距為d的均勻線陣，陣元間距與波長(zhǎng)比d/λ=0.5，旁瓣增益為-40 dB，則根據(jù)前面推導(dǎo)的公式計(jì)算各個(gè)陣元切比雪夫系數(shù)為：

波束指向角分別為θ=0°及θ=20°時(shí)，仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 波束指向角為0°

圖2 波束指向角為20°

觀察圖1和圖2可知，切比雪夫陣列對(duì)波束的旁瓣有很好的抑制效果，并且副瓣電平是可控的，即可通過(guò)設(shè)置目標(biāo)副瓣電平來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)的陣元權(quán)值系數(shù)。通過(guò)對(duì)比圖1和圖2可知，切比雪夫加權(quán)可與相位控制同時(shí)進(jìn)行，在調(diào)整波束指向角的同時(shí)也可以壓低旁瓣。但在抑制旁瓣的同時(shí)，也會(huì)展寬主瓣波束，所以工程應(yīng)用中需結(jié)合實(shí)際情況來(lái)對(duì)二者取折中。

3.2 切比雪夫面陣波束形成仿真

結(jié)合工程中實(shí)際使用的4×4均勻面陣，x方向和y方向陣元間距dx=dy=0.0192 m，陣列天線的中心頻點(diǎn)為8.36 GHz，旁瓣高度為-20 dB。分別應(yīng)用二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法以及二維窗函數(shù)法計(jì)算陣列各個(gè)陣元的系數(shù)如表1和表2所示。

表1 二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法陣元系數(shù)

表2 二維切比雪夫窗函數(shù)法陣元系數(shù)

MATLAB仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3上面三幅圖是俯仰角θ及方位角φ聯(lián)合的三維方向圖，下面三幅圖是俯仰角θ=0°的一個(gè)剖面，可以較直觀的反映旁瓣抑制度。左圖是4×4均勻面陣的各全向陣元的幅度激勵(lì)均為1，即采用等幅激勵(lì)情況下的方向圖；中圖是采用二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法計(jì)算得到的陣列系數(shù)，仿真得到的方向圖；右圖采用的是二維窗函數(shù)法中的旋轉(zhuǎn)法計(jì)算得到的陣列系數(shù)，據(jù)此仿真的方向圖。通過(guò)對(duì)比圖3左、中、右三幅圖可以發(fā)現(xiàn)，采用二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法的旁瓣高度為-18 dB左右，采用切比雪夫窗函數(shù)法的旁瓣高度略小于-20 dB，效果稍好于二維切比雪夫多項(xiàng)式法。而不采用切比雪夫加權(quán)時(shí)的旁瓣高度大約是-12 dB，明顯劣于切比雪夫陣列。所以以上兩種切比雪夫波束形成方法都對(duì)均勻平面陣列的旁瓣有較好的抑制效果。但是，和一維切比雪夫陣列仿真的方向圖一樣，主瓣波束均有不同程度的展寬。而且由于陣元數(shù)較少，所以對(duì)旁瓣的抑制程度不如線陣明顯。

同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，二維切比雪夫陣列的旁瓣的可控性明顯劣于一維切比雪夫陣列，主要原因是因?yàn)橐痪S向二維轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，并不能維持切比雪夫多項(xiàng)式的[-1，1]區(qū)間函數(shù)值以及零點(diǎn)分布的性質(zhì)。所以關(guān)于二維切比雪夫陣列還有一定的解析優(yōu)化空間。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中首先分析了切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)，并將切比雪夫多項(xiàng)式與一維線性陣列天線的方向圖函數(shù)結(jié)合，推導(dǎo)了切比雪夫陣列系數(shù)的公式，完成了切比雪夫加權(quán)陣列的仿真。重點(diǎn)提出了二維切比雪夫多項(xiàng)式近似法以及二維切比雪夫窗函數(shù)法，通過(guò)此兩種方法將切比雪夫多項(xiàng)式從一維推廣至二維，實(shí)現(xiàn)了切比雪夫面陣波束形成，通過(guò)MATLAB仿真驗(yàn)證了二維切比雪夫波束形成的可行性，并且較好的旁瓣抑制效果。隨著陣列天線的進(jìn)一步發(fā)展，陣列的多元化已成為必然的趨勢(shì)，針對(duì)特殊陣列或者不規(guī)則陣列的旁瓣抑制等還有待研究改進(jìn)。

圖3 二維切比雪夫陣列仿真方向圖

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