利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解題

孫久濤

摘 要：我們經(jīng)常遇到一類小題是導(dǎo)數(shù)壓軸，其解法歸根結(jié)底是利用四則運(yùn)算法則或者利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)、其根本是我們比較熟悉的乘法、除法求導(dǎo)法則。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 運(yùn)算法則

1.=+

2.=

近幾年的練習(xí)、高考題頻頻的出現(xiàn)，凸顯了此類題目的炙熱程度，實(shí)質(zhì)上就是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的形式的逆用、體現(xiàn)了題根源于教材。高中階段常用模型如下：

（1）==+=+

（2）===

（3）=

=+

=+

=

（4）=

=

=

=

（5）=

=+

=

（6）=

=

=

一、利用函數(shù)求導(dǎo)的四則運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)

1.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，=，當(dāng)時(shí)，-，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

答案：A

2.設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)+，且=，則不等式的解集（ ）

A. B.

C. D.

答案：C

3.已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于恒成立，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

A.;

B.=;

C.;

D.與大小不確定;答案：A

4.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，+恒成立，=，則不等式的解集為.

解：設(shè)=

=+

=+

由=

=

==為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)時(shí)，+在上單調(diào)遞減，

===

5.定義在上的函數(shù)可導(dǎo)，且恒有成立，則（ ）

A.;B.;

C.;D.答案：D

6.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有+。

則不等式的解集為（ ）

A.;B.;

C.;D.

答案：C

7.已知定義在上的函數(shù)，滿足恒成立，且=（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.=;B.;

C.;D.

答案：C

二、利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)

1.已知上的奇函數(shù)滿足，

則不等式+的解集為.

解：設(shè)=--

則=+-+

再設(shè)=-+，

則=，當(dāng)時(shí)即，在遞減，在遞增。

=時(shí)，==在遞增，而=--=，的解集為，

即+的解集為。

2.已知定義在上的函數(shù)，滿足+恒成立，且=（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）求不等式-的解集。

解：不等式--

設(shè)=-，

則=

在上單調(diào)遞增，且=-=，

解集為

通過以上實(shí)例我們發(fā)現(xiàn)利用求導(dǎo)運(yùn)算法則和利用單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)有異曲同工之處，我們做出以下總結(jié)性的解法足以應(yīng)對(duì)此類題目

（1）解不等式，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

=-，之后再對(duì)求導(dǎo)

（2）由+可以直接構(gòu)造函數(shù)：

=，之后再對(duì)求導(dǎo)

（3）由，可以利用其結(jié)構(gòu)特征、直接構(gòu)造新函數(shù)=，之后再對(duì)求導(dǎo)

（4）由-，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

=，之后再對(duì)求導(dǎo)

（5）由-，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

=，之后再對(duì)求導(dǎo)

（6）由+，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

=，之后再對(duì)求導(dǎo)

（7）由-，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

=，之后再對(duì)求導(dǎo)

我們將上面的幾種結(jié)構(gòu)重新梳理一下，可以發(fā)現(xiàn)模型實(shí)質(zhì)為==。和=，=，的形式。

（8）對(duì)于+的情況：可設(shè)函數(shù)：

=，之后再對(duì)求導(dǎo)。