微載荷連續球壓痕法評價金屬材料的屈服強度和應變硬化指數

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(南京工業大學機械與動力工程學院， 南京 211816)

0 引 言

石油化工、核電等領域中需要用到大量的承壓設備，這些設備的工作環境大多為高溫、高壓甚至存在腐蝕介質，這對承壓設備提出了極高的要求，為保證設備的安全運行，需要對設備用材料的力學性能進行在役檢測。然而，傳統的單軸拉伸試驗方法和以小沖桿試驗為代表的微試樣試驗方法均需要從在役設備上取樣，這將對設備造成一定的傷害，因此其實際應用范圍受到一定的限制[1]。球壓痕法作為一種新的測試方法，在測試過程中幾乎不會對設備造成任何傷害，非常適合用于檢測在役設備材料的力學性能,因此球壓痕法近年來得到了越來越多的關注[2]。

FIELD等[3]利用球壓痕法，提出了測金屬材料的硬度、彈性模量、應力-應變曲線和應變硬化指數[4]等的方法。KUCHARSKI等[5]也利用球壓痕法，提出了一個新的系統性測試金屬材料應力-應變曲線的方法。這兩種方法雖然都用于測試金屬材料，但仍有不同之處。在FIELD等提出的方法中，壓頭的下壓深度以納米為單位，最大下壓深度約為1.2 μm，在此深度下需考慮尺度效應的影響[6]，但FIELD等并未對尺度效應進行討論。在KUCHARSKI等提出的方法中，壓頭的下壓深度以微米為單位，因此可忽略尺度效應。這兩種方法均是基于硬度測試原理發展而來的，需要獲取加載及卸載時的載荷以及壓頭與材料的接觸面積，因此需考慮在壓頭下壓材料過程中，材料被壓區域所產生的塑性鼓凸(pile-up)或凹進(sink-in)現象，但FIELD等忽略了此現象的影響，而KUCHARSKI等雖然考慮了塑性鼓凸或凹進的影響，但不夠準確，仍需進一步的研究。HERNOT等[7]采用數值模擬方法確定了大部分金屬材料由球形壓頭產生的塑性區周圍壓入深度和接觸半徑之間的關系，但仍不能很好地解決此問題，并且計算過程較為繁瑣。

CAO等[8]將DAO等[9]在錐形壓頭壓痕法中提出的表觀應變概念引入到了球形壓頭壓痕法中，并提出了一個新的分析框架，同時通過對24種已知性能參數材料的壓痕過程模擬和根據分析獲得的載荷、壓痕深度數據，得出給定壓入深度下不隨應變硬化指數改變的無量綱函數及對應的表觀應變，最后將試驗獲得兩次壓入深度的載荷帶入無量綱函數來計算材料的屈服強度和應變硬化指數。CAO等的方法只需利用壓痕深度和對應的載荷來計算材料的性能參數，從而避免了接觸面積不好確定及計算不準確的問題。但CAO等的方法僅在應用于屈服應變為0.001 43～0.015 39范圍內的金屬材料時才可獲得較準確的結果。雖然崔航等[10]在CAO等的研究基礎上，采用同樣的方法補充了屈服應變為 0.007 69～0.040 00范圍內金屬材料性能的計算公式，但其應用范圍仍有一定的局限性。

為了使CAO等的計算方法更適用于在役設備材料的檢測以及適用于更多的金屬材料，作者對CAO等的方法進行了改進，采用球形壓頭連續加載方法代替CAO等使用的球形壓頭單次加載法，采用量綱分析法和有限元模擬得到無量綱函數及其表觀應變規律，并計算材料的屈服強度和應力-應變曲線，同時對文獻[10]以外的金屬材料進行了分析，補充了屈服應變在0.000 95～0.002 00范圍內金屬材料性能的計算公式，然后對該計算方法進行了試驗驗證。

圖1 具有應變硬化特征的應力-應變曲線Fig.1 Stress-strain curve with strain hardening characteristics

1 力學模型及數學模型

1.1 力學模型

對于大多數的金屬材料而言，在均勻塑性變形階段的應變硬化行為均可用簡單地用Ludwik或Hollomon方程來描述。圖1為具有應變硬化特征材料的應力-應變曲線，可用下式進行描述。

(1)

ε=εy+εp

(2)

當σ>σy時，應力σ也可表示成

(3)

式中：σy為初始屈服強度；ε為總應變；εy為初始屈服應變；εp為塑性應變；E為彈性模量；K為強度系數；n為應變硬化指數。

1.2 表觀應變的定義

DAO等[9]和CHOLLACOOP[11]在研究錐形壓頭時提出了表觀應變概念，即在給定壓入深度下，存在一個應變使得無量綱函數П1與E*/σr(E*為有效彈性模量，σr為表觀應力)相關，與應變硬化指數n無關，這個應變被定義為表觀應變εr。令εp=εr，代入式(3)中，即得到表觀應變對應的表觀應力σr。

CAO等對24種彈塑性金屬材料球形壓頭壓痕測試進行了有限元模擬，找到了與壓入深度相關，但與應變硬化指數n無關的表觀應變εr，并給出了無量綱函數П1。崔航等[10]在CAO和LU研究結果的基礎上對56種彈塑性金屬材料進行了分析，給出了使用范圍更廣的表觀應變εr和無量綱函數П1。

1.3 量綱分析及數學模型

量綱分析法是球形壓頭壓痕試驗中經常使用的一種分析方法。CHENG等[12]在分析有限元模擬方法獲得數據的基礎上，建立了許多無量綱函數。在CAO等和崔航等[10]的研究中也均采用量綱分析與有限元分析相結合的方法來獲取材料的力學性能。因此，作者同樣也采用基于無量綱函數和有限元分析相結合的方法進行研究。

在加載過程中，壓入載荷P可以通過幾個相關參數的函數式來表達。

P=f(E,ν,Ei,νi,σy,n,h,R)

(4)

式中：E為被測金屬材料的楊氏模量；ν為材料泊松比；σy為屈服強度；n為應變硬化指數；Ei為壓頭材料的彈性模量；νi為壓頭的泊松比；R為壓頭半徑；h為壓痕下壓深度。

1.2.1 不同因素對甜菜苷類色素提取率的影響 色素提取工藝流程：新鮮原料→去除外層果皮→將果皮打碎→加入溶劑浸泡并攪拌→離心分純→過濾→真空濃縮→色素溶液。

引入有效彈性模量E*(reduced Young′s modulus)后，可得到

P=f(E*,σy,n,h,R)

(5)

式(4)可以寫成

(6)

引入表觀應變εr對應的應力σr，式(5)可以寫成

P=f(E*,σr,n,h,R)

(7)

П定理作為量綱分析的核心理論，可以提供在不知道等式具體形式的情況下由所給變量計算無量綱參數的方法。根據П定理可得

(8)

由于壓痕深度hg和壓頭半徑R已給定，可得到

(9)

2 有限元模型的建立

采用ABAQUS有限元仿真軟件進行壓痕試驗模擬，考慮到模型結構和載荷的對稱性，將試驗過程簡化為二維軸對稱模型。根據圣維南原理，遠離壓痕區域處的應力和應變趨近于零，且實際試樣尺寸遠大于壓痕區域尺寸，因此為減少模型的單元數目，節約計算成本，模擬只需建立局部材料模型，即模型尺寸遠小于實際試樣尺寸。模型中球形壓頭的半徑為0.5 mm，試樣尺寸為5 mm×5 mm。

圖2 有限元模型網格劃分Fig.2 Finte element mesh generation

在壓痕試驗模擬中，變形主要集中在壓頭與試樣接觸區域，因此采用相關文獻[13]中的過渡網格來劃分模型單元，如圖2所示。由于網格細分程度兼顧計算精度與效率，因此在靠近壓頭的區域網格較密，隨著與壓頭距離的增大，網格逐漸稀疏，從模型接觸區到邊界，單元尺寸逐漸增大。整個模型網格包括2 280個單元，單元類型為CAX4R。邊界條件采用底面固定，對壓頭參考點施加載荷。通過控制位移方式實現加載，最大位移為0.05 mm，加載過程為準靜態過程。

壓頭材料為類金剛石材料，彈性模量遠大于被測材料的彈性模量。在壓頭模型中，球形壓頭設置為剛體。材料模型遵循Von Mises屈服準則、各向同性強化準則以及大變形準則。試樣所選材料為屈服應變為0.007 69～0.040 00范圍內的鋼，彈性模量為190～210 GPa，泊松比設置為0.3，模擬中各彈塑性能參數的設置如表1所示。

表1 有限元模擬中金屬材料的彈塑性能參數Tab.1 Parameters of elastic-plastic properties of metalmaterials in finite element simulation

3 模擬結果與分析

圖3 單次加載-深度曲線與多次循環加載-深度曲線的對比Fig.3 Comparison of single load-displacement curve and cyclic load-displacement curve

3.1 連續循環加載載荷-深度曲線與單次加載載荷-深度曲線對比

連續循環加載是指對一個點進行往復循環加卸載，每次下壓的深度不同。單次加載是指對材料只進行一次加卸載。CAO等采用的加載方法為對材料上多點進行單次加載，每次下壓深度不同。作者采用的方法是對材料的一點進行往復循環加卸載，所得到的載荷-深度曲線如圖3所示。由圖可以發現，連續循環加載所得到的載荷-深度曲線與單次加載獲得的載荷-深度曲線基本吻合。因此，在采用CAO等的計算方法時，可以采用連續循環加載方法代替多點單次加載方法來得到不同深度下的載荷，簡化了采用球形壓痕法獲取載荷-深度曲線的步驟。

3.2 摩擦因數對載荷-深度曲線的影響

壓頭與試樣接觸時會存在摩擦，但不能確定摩擦因數μ的大小。文獻[14]中討論了摩擦因數對微壓痕試驗的影響，認為摩擦因數對載荷-深度曲線的影響可以簡化。文獻[10]提出了當壓入深度滿足0.01

圖4 不同摩擦因數下單次加載-位移曲線Fig.4 Single load-displacement curve for different friction factors

圖5 不同摩擦因數下循環加載-位移曲線Fig.5 Cyclic load-displacement curve for different friction factors

3.3 表觀函數與無量綱函數的確定

對45種已知參數的金屬材料進行壓痕試驗模擬，對得到的載荷-深度曲線進行處理，得到不同深度下對應的表征應變，然后用三次多項式可擬合出無量綱函數П1，其公式為

(10)

式中：C1，C2，C3，C4為系數，在不同hg/R下其取值也不同。

以hg/R=0.07為例來闡述表觀應變的確定方法。圖6為壓痕深度hg/R=0.07時，不同應變對無量綱函數П1的影響。由圖可以看出，當εr=0.030 9時，無量綱函數П1與應變硬化指數n無關。因此，0.030 9為直徑為1 mm的壓頭在下壓深度0.035 mm、hg/R=0.07時所對應的表觀應變。對圖6(a)中各點進行擬合，所得函數即為hg/R=0.07時無量綱函數П1的表達式。

圖6 hg/R=0.07時不同應變硬化指數和表觀應變下的無量綱函數Fig.6 Dimensionless function for different strain hardening exponent and representative strain at hg/R=0.07

對材料進行10次壓入模擬，每次間隔距離均為0.005 mm，可獲得10次不同深度所對應的表觀應變。采用三次多項式對不同深度時的表觀應變進行擬合，得到式(11)，不同hg/R對應的表觀應變如圖7所示。根據不同深度下的表觀應變，對各點進行擬合即可求出不同深度下無量綱函數П1表達式的系數，如表2所示。

(11)

表2 不同hg/R下無量綱函數的系數Tab.2 Coefficients of dimensionless function for various hg/R

圖8 不同金屬材料應力-應變曲線的計算結果與試驗數據的對比Fig.8 Comparison of stress-strain curves of different metal materials between calculation results and test data

圖7 不同hg/R對應的表征應變Fig.7 Representative strain corresponding to various hg/R

3.4 試驗驗證

通過對文獻[15]中已知彈塑性參數的金屬材料進行模擬得到載荷-深度曲線，然后采用無量綱函數式(9)～式(11)進行計算，得到的屈服強度及應變硬化指數結果列于表3中。由表可以看出：屈服強度計算結果與試驗數據的最大誤差為6.48%，最小誤差為4.06%，平均誤差為5.04%；應變硬化指數計算結果與試驗數據的最大誤差為9.00%，最小誤差為2.40%，平均誤差為5.47%。

將金屬材料屈服強度和應變硬化指數的試驗數據和計算結果分別帶入式(1)～式(3)中，得到的應力-應變曲線如圖8所示。由圖可知，由該方法得到不同金屬材料的應力-應變曲線與由試驗數據得到的基本吻合。由此可見，采用該方法可以獲得較精確的結果。

表3 屈服強度和應變硬化指數的計算結果與試驗數據的比較Tab.3 Comparison of yield strength and strain hardening exponent between calculation results and test data

4 結 論

(1) 對CAO等的方法進行了改進，采用連續循環加卸載方法代替多點單次加載法來獲得不同深度下的載荷，簡化了采用球形壓痕法來獲得載荷-深度曲線的步驟；當壓痕深度滿足0.01

(2) 以球形壓頭壓痕理論為基礎，采用量綱分析和有限元分析相結合的方法，擬合出了壓頭壓入金屬材料過程中的無量綱函數及對應的表觀應變函數；通過擬合公式計算得到的彈塑性參數與試驗結果相比，其誤差均為5%左右，且兩者的應力-應變曲線基本吻合。

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