復(fù)利中的數(shù)學(xué)

叢心尉

【摘 要】本文結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的單利，復(fù)利與數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，介紹單利，復(fù)利，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，以及它們的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】單利；復(fù)利；一次函數(shù)；指數(shù)函數(shù)

單利與復(fù)利在理財(cái)、投資等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域里扮演了非常重要的角色，尤其是復(fù)利。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“復(fù)利的威力比原子彈還可怕”，被稱(chēng)為世界第八大奇跡。下面將從數(shù)學(xué)的角度來(lái)了解單利與復(fù)利。

一、一次函數(shù)

概念：形如的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其定義域?yàn)椋海?∞，+∞）。

當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。現(xiàn)以k=0.5，b=1為例，給出其函數(shù)圖像：

圖1

二、指數(shù)函數(shù)

概念：形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椤?/p>

當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。現(xiàn)以a=1+0.5為例，給出其函數(shù)圖像：

圖2

現(xiàn)將與的函數(shù)圖像在同一直角坐標(biāo)系中呈現(xiàn)如下圖：

圖3

通過(guò)函數(shù)圖像可以看出，隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)值增大的速度要快于一次函數(shù)。

三、單利

概念：?jiǎn)卫侵赴凑展潭ǖ谋窘鹩?jì)算利息，是計(jì)算利息的一種方法。單利的計(jì)算取決于本金，時(shí)間及市場(chǎng)一般利率水平等因素。

例1、小明手中現(xiàn)有5000元壓歲錢(qián)，準(zhǔn)備以定期方式，存入銀行2年，年利率以2.25%計(jì)，以單利方法計(jì)息，試問(wèn)存款到期后小明共能取出多少錢(qián)？其中利息有多少？

解：由于年利率為2.25%，且存款時(shí)長(zhǎng)為2年，所以到期后取出的錢(qián)共有

其中利息金額為

答：2年存款到期后小明共能取出5225元，其中利息金額為225元。

注：（1）由例1可以看出，按照單利的計(jì)算方法，第一年存款產(chǎn)生的利息不會(huì)計(jì)入本金，即本金金額一直保持不變。

（2）假設(shè)本金為A，利率為p，存款（貸款）時(shí)間長(zhǎng)度為x，則單利計(jì)算方法下，最終金額為。

四、復(fù)利

概念：復(fù)利是指在每經(jīng)過(guò)一個(gè)計(jì)息期后，都要將所生利息加入本金，以計(jì)算下期的利息。

例2、小明手中現(xiàn)有5000元壓歲錢(qián)，準(zhǔn)備以定期方式，存入銀行2年，年利率以2.25%計(jì)，以復(fù)利方法計(jì)息，試問(wèn)存款到期后小明共能取出多少錢(qián)？其中利息有多少？

解：由于年利率為2.25%，且存款時(shí)長(zhǎng)為2年，所以到期后取出的錢(qián)共有

其中利息金額為 ：

答：2年存款到期后小明共能取出5227.53125元，其中利息金額為227.53125元。

注：（1）由例2可以看出，按照復(fù)利的計(jì)算方法，第一年存款產(chǎn)生的利息會(huì)計(jì)入本金，即以利生利，也就是俗稱(chēng)的“利滾利”。

（2）假設(shè)本金為A，利率為p，存款（貸款）時(shí)間長(zhǎng)度為x，則復(fù)利計(jì)算方法下，最終金額為。

對(duì)于復(fù)利最終金額計(jì)算可以看做是的指數(shù)函數(shù)。單利最終金額可以看做是的一次函數(shù)。顯然當(dāng)本金，利率相同的情況下，復(fù)利計(jì)算方法的利息金額要高于單利計(jì)算方法的利息金額，并且隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，兩個(gè)利息金額的差距會(huì)越來(lái)越大（可以參考圖3）。看來(lái)“復(fù)利的威力的確比原子彈還可怕”。

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