淺析在數學解題中輔助圓的運用

蔡耀龍

【摘 要】在初中數學的解題過程中，有很多的幾何論證題目是常規思路無法解決的，可以利用圓所具有的特征，結合題目的具體情況，對難以解決的幾何題目進行論證。本文簡單介紹幾種利用圓的特征建造輔助圓，然后對需要論證的問題進行解決的思路。

【關鍵詞】數學解題；輔助圓的運用

在初中的幾何題目當中，有些時候要用到很麻煩的解題思路方法，甚至于連續的相似去求得邊長或角度的關系；但是有時候添加必要的輔助線是解決平面幾何相關問題的重要手段之一，同時往往也是解題的關鍵之所在；在平時的解題中，線段和直線（平行線或垂線）這些作為輔助線是我們大家最熟悉和最常用的一種手段。

而有些時候我們可以另外構造一個圖形，比如作全等圖形，可通過平移、旋轉、翻折等方式來得到，這種我們稱作構造輔助圖形。其實我們也可以去根據條件構造輔助圓，很多問題的結論或證明過程都可以借助圓的相關一些知識或性質直接就能得到，可此時的圓并不存在（有可能題目的已知條件中沒有提到或者涉及到相關圓；或有可能提到或涉及到圓，但是不是我們所需要的），這就需要我們根據需要或已知條件入手，再結合圖形把實際存在的圓找出來，就要去練就一雙 “火眼金睛”。

要懂得圓的相關知識，如經過兩個點可以畫出無數個圓；經過不在同一直線上的三個點可以作一個圓，并且只能作一個圓。圓有好幾個判定定理和性質，但是要跟大家強調的是有兩個①圓的定義：到一個定點的距離相等的所有的點在同一個圓上；②同底同側頂角相等的三角形頂點共圓。這兩個知識經常用到，而且結合這兩個知識構造輔助圓來解題在大部分題目中都能體現出來。其實這就是我的“火眼金睛”。

一、到一個定點的距離相等的所有的點在同一個圓上

經常看到題目給定好幾條線段相等，而且也能看到是過一固定點的所有線段相等，此時我們就應該考慮這幾點共圓，經過這幾點去作圓。

例1：

如圖1，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，

若∠CAD=76°，則∠CBD= 度。

解析：如果直接去想去做，估計連想都不會想，更何況是做，甚至于連半點思路都沒有。

但是如果抓住AB=AC=AD這個條件入手，只需以點A為圓心，AB為半徑作圓，畫出圖形再結合圓的性質就比較簡單、直接、明了。

就能得到∠CBD等于∠CAD的一半，即38°。

也就是說題目中只要出現AB=AC=AD，像這樣的共端點的等線段問題就可以去考慮以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓，這樣既節省時間又容易做對，而且很輕松就可以考慮到。

二、同底同側頂角相等的三角形頂點共圓

同弧所對的圓周角都相等這個性質經常用到，同樣要懂得利用“同底同側頂角相等的三角形頂點共圓”來解決相關題目；此時構造的圓可以把相等的角轉化出來，很容易就看出來，聯系起來。

例2：如圖2，已知拋物線y=a（x-2）2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），連結AC、BC。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，連結PA、PB、PC，設點P的縱坐標為m.試探究：

①當m為何值時，|PA-PC|的值最大？并求出這個最大值。

②在P點的運動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請求出P點的坐標；

若不能，請說明理由。

解析：第（1）小題直接帶入去求得：

y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3

第（2）小題由三角形的三邊關系可知，|PA-PC|

∴當P、A、C三點共線時，|PA-PC|的值最大，為AC的長度，

∴延長CA交直線X=2于點P，則點P為所求的點.

求得A（1，0），C（0，-3），則有OA=1，OC=3，∴AC=.

求得直線AC的解析式為y=3x-3，由拋物線的對稱軸為直線x=2，∴點P（2，m）

∴m=3×2-3=3，∴當m=3時，|PA-PC|的值最大，最大值為.

關鍵：第（3）小題 ，設直線x=2與x軸的交點為點D，作ΔABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點為P1，P1關于x軸的對稱點為P2，則P1、P2均為所求的點。（如圖3）

圖3

∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所對的圓周角，

∴∠AP1B=∠ACB，且射線DE上的其它點

P都不滿足∠APB=∠ACB.

∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線X=2上.

∴點E的橫坐標為2.

又∵OB=OC=3，

∴圓心E也在BC邊的垂直平分線

即直線y=-x上.

∴E（2，-2）.在RtΔADE中，DE=2，

，

由勾股定理得，

∴，

∴，∴.由對稱性得

∴符合題意的點P的坐標為、.

上題利用同弧所對的圓周角都相等，但是關鍵是考慮圓心在哪？這是本題的關鍵所在。其實，題目也經常出現同底同側的直角，或相互垂直的，此時我們也要考慮構造輔助圓，借助幾點共圓來解題，即：同斜邊的直角三角形頂點共圓（斜邊就是圓的直徑）。

構造圓要懂得利用“直徑所對的圓周角是直角”， 即去找直角（或垂直），這與直徑有密切關系，知道聯系起來處理問題解決問題；也就是說有直角或者有垂直就考慮到直徑，同理如果又遇到直徑也要去考慮垂直。

參考文獻：

[1]金明明.輔助圓在初中數學解題中的運用[J].中學生數理化（教與學），2015年11期

[2]謝雅禮.巧構輔助圓解題[J].數理天地（高中版），2006年06期