試論漸開線與阿基米德螺線的特點與應用

郭文燦

摘要：漸開線與阿基米德螺線是機械產品的兩種基本線，但是由于差別不大，人們往往容易搞錯混淆，特別是使用方面差別較大，本文就兩種曲線做出一定的對比研究。

關鍵詞：漸開線；阿基米德螺線

漸開線

漸開線如下圖所示：

當一根直線在圓周上做純滾動時，此直線與圓相切點的空間運動軌跡就是此圓的漸開線。此圓稱為基圓，直線為KN，點A的軌跡是AK1K2K就是生成的漸開線。

其主要特征是：

1直線的長度等于在基圓上滾過的長度等于即基圓上被滾過的弧長，即NK=NN2N1A；

2.因為發生線在基圓上作純滾動，所以它與基圓的切點N就是漸開線上K點的瞬時速度中心，發生線NK就是漸開線在K點的法線，同時它也是基圓在N點的切線；漸開線的大小取決于基圓的大小。基圓內無漸開線。

3.漸開線齒廓上K點的法線與該點的速度方向所夾的銳角稱為該點的壓力角。齒廓上各點壓力角是變化的，K點離圓心越遠，壓力角越大。

4.切點N是漸開線上K點的曲率中心，NK是漸開線上K點的曲率半徑。離基圓越近，曲率半徑越小漸開線的形狀取決于基圓的大小。基圓越大，漸開線越平直，當基圓半徑無窮大時，漸開線為直線；

阿基米德螺線

阿基米德螺線如下圖所示：

阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數學家、力學家。阿基米德螺線（阿基米德曲線） ，亦稱"等速螺線"。當一點從圓心出發向外以射線的方式以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點中心旋轉，此點的軌跡稱為"阿基米德螺線"

阿基米德螺線的特點是：

1.從原點出發

2.此點向外發射與繞原點旋轉的運動等速

漸開線與阿基米德螺線在機械上的應用

1.兩種線的比較

如下圖所示：

A.圖中藍線為漸開線，紅線阿基米德螺線；

B.一個有基圓，一個從中心開始；

C.漸開線無速度要求，阿基米德螺線是等速運動；

2.應用由于形成的條件不同，所以使用的情況與不同。

2.1漸開線的主要應用---齒輪

A.如右圖所示，齒輪輪廓線就是漸開線，

B.根據漸開線原理、性質，如下圖所示，

齒輪傳動時，力Fn的作用方向是固定不變的（如果不考慮齒面摩擦），即沿著嚙合線方向，也就是2個齒輪基圓的內公切線方向；如果傳遞的扭矩也是一定的，則力的大小也不變。這是漸開線齒輪傳動的優點之一。

另外，在標準壓力角α時切向力Ft永遠與基圓（或者節院）相切，實現傳動效率最大化

再者，齒輪安裝的中心距不完全相同，不會影響齒輪傳動比的準確性。這也是漸開線齒輪的優點之一。

再者，如下圖所示，齒輪傳動過程中節點不同，如B1點的變動，不會影響齒輪傳動比的準確性。這也是漸開線齒輪的優點之一。

2.2阿基米德螺線應用---蝸桿

A.阿基米德螺線應用。

螺線在自然界的存在---像蔦蘿、紫藤、牽牛花等攀緣植物，用最少的材料、最低的能耗，使其莖或藤延伸到光照充足的地方。螺類外殼上的螺線像一條肋筋，大大增加了殼體的強度，也分散了作用在殼體上的水壓，來自水流的阻力經錐狀螺線的轉化變為前進的。

螺線在工業上應用---在凸輪設計、車床卡盤設計、渦旋彈簧、螺紋、蝸桿設計中應用較多像鐘表內的螺旋彈簧形成螺線狀具有彈性（或伸縮性）的物理性質。

下面談談蝸輪蝸桿傳動。蝸桿齒形如下圖所示，為齒廓阿基米德螺線

.B.傳動特點：1）當使用單頭蝸桿時，蝸桿每旋轉一周，渦輪每旋轉一周，渦輪只轉過一個齒距，因而能實現大的傳動比。在動力傳動中，一般傳動比i=1～80；在分度機構或手動機構傳動中，傳動比可達300；若只傳遞運動，傳動比可達1000.由于傳動比大，零件數目又少，因而結構緊湊。 2）在蝸桿傳動中，由于蝸桿齒是連續不斷的螺旋齒，它和渦輪齒是逐漸進入嚙合及逐漸退出嚙合的，同時嚙合的齒對又較多，故沖擊載荷小，傳動平穩，噪音低。 3）當蝸桿的螺旋線升角小于嚙合面的當量摩擦角時，蝸桿傳動更具有自鎖性。 4）蝸桿傳動與螺旋齒輪傳動相似，在嚙合處有相對滑動。當滑動速度很大，工作條件不夠良好時，會產生較嚴重的摩擦和磨損，從而引起過分發熱，使潤滑情況惡化.因此在磨損較大，效率低；當傳動具有自鎖性時，效率僅為0.4左右。同時由于磨損嚴重，常常需要耗用有色金屬制造蝸輪，以便于鋼制蝸桿配對組成減摩性良好的滑動摩擦副。 應用場合：通常用于減速裝置。

a.實現大速比的減速傳動：傳動比=蝸輪齒數/蝸桿頭數，當使用單頭蝸桿時，蝸桿每旋轉一周，渦輪每旋轉一周，渦輪只轉過一個齒距，因而能實現大的傳動比。在動力傳動中，一般傳動比i=1～80；在分度機構或手動機構傳動中，傳動比可達300；若只傳遞運動，傳動比可達1000.由于傳動比大，零件數目又少，因而結構緊湊。由于齒數遠遠大于頭數，故可以應用于傳動力不大且速比變化較大的機構，像汽車機械式里程計數的傳動裝置。

b.在蝸桿傳動中，由于蝸桿齒是連續不斷的螺旋齒，它和渦輪齒是逐漸進入嚙合及逐漸退出嚙合的，同時嚙合的齒對又較多，故沖擊載荷小，傳動平穩，噪音低。

C.實現垂直方向的傳動：像線圈繞線機的計數器。

d.實現傳動自鎖： ：當蝸桿的螺旋線升角小于嚙合面的當量摩擦角時，蝸桿傳動更具有自鎖性。

e.蝸桿傳動與螺旋齒輪傳動相似，在嚙合處有相對滑動。當滑動速度很大，工作條件不夠良好時，會產生較嚴重的摩擦和磨損，從而引起過分發熱，使潤滑情況惡化.因此在磨損較大，效率低；當傳動具有自鎖性時，效率僅為0.4左右。同時由于磨損嚴重，常常需要耗用有色金屬制造蝸輪，以便于鋼制蝸桿配對組成減摩性良好的滑動摩擦副。

歇后語：從兩種曲線的對比可以知道，最為明顯的差別是比較明顯的，漸開線的齒輪傳動力大，傳動效率高，加油潤滑時，傳動效率高于95%，主要用于各類齒輪；阿基米德螺線不但自然界有此類現象，在機械方面使用的范圍較廣，像蝸輪蝸桿傳動，傳動比大且反向自鎖，但是效率較低。通過對比，方便我們設計使用時的參考。

參考文獻：

[1]李靖宇.機械設計基礎.大連理工大學出版社，2010版