小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的思考

張若璇 彭陽(yáng)

【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想是課程改革的一個(gè)重要方向，數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，有助于培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)通過(guò)感知模型思想、發(fā)展模型思想、應(yīng)用模型思想三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)循序漸進(jìn)滲透模型思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自主構(gòu)建模型思想的意識(shí)和觀念。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)模型;模型思想

引言

2011年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在基本素養(yǎng)中增加了“模型思想”這一核心概念。注重?cái)?shù)學(xué)思想滲透是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要內(nèi)涵，它反映了小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變革的一個(gè)基本方向。然而在小學(xué)日常課堂中滲透模型思想的教學(xué)并不多見(jiàn)。尤其是教師在指導(dǎo)和幫助學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)與掌握數(shù)學(xué)技能的同時(shí)，在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型思想這方面缺乏深入的研究。小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成的啟蒙時(shí)期，讓學(xué)生在小學(xué)階段累積一定的模型思想，并逐步體會(huì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。本文研究如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想。希望能為廣大師生進(jìn)行相關(guān)研究提供參考。

一、數(shù)學(xué)模型與模型思想內(nèi)涵認(rèn)識(shí)

徐立治教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)模型乃是參照某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括的或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。”從廣義上理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)理論體系以及由它們構(gòu)成的算法系統(tǒng)，我們都可以把它們稱為數(shù)學(xué)模型。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型單指那些反映了特定問(wèn)題或特定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)模型一般取其廣義的理解，具體來(lái)講，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種公式、性質(zhì)、定理、數(shù)量關(guān)系式、結(jié)構(gòu)性算法、圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。

模型思想是利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型以解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。2011年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》前言部分指出：“從現(xiàn)實(shí)生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化的規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型思想蘊(yùn)涵于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化、模型化的過(guò)程中，它更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)。國(guó)內(nèi)學(xué)者許衛(wèi)兵認(rèn)為：運(yùn)用建模思想來(lái)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號(hào)化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體，通過(guò)這樣具有“模型”功能的載體，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)支持。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透模型思想的策略

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)并沒(méi)有對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融入模型思想提出明確的要求，并不意味著在小學(xué)階段沒(méi)有必要滲透模型思想，實(shí)事上模型思想的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，小學(xué)是模型思想形成的萌芽階段，用模型思想來(lái)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，要結(jié)合學(xué)生的心理認(rèn)知特點(diǎn)，有差異、分學(xué)段來(lái)逐步實(shí)施。

（一）引導(dǎo)低年級(jí)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中初步感知模型思想

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)，是人類數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的初級(jí)階段，與生活實(shí)踐活動(dòng)密切聯(lián)系，具有較強(qiáng)的直觀性和操作性，然而對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍然是十分抽象難懂。對(duì)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生而言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，即讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的具體情境出發(fā)，經(jīng)過(guò)觀察、歸納、抽象、概括等思維活動(dòng)，獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，從而滲透和點(diǎn)化學(xué)生的“模型思想”意識(shí)。

例如：兒童對(duì)加法運(yùn)算的掌握和理解是建立在對(duì)加法的意義和計(jì)算模型基礎(chǔ)上的，加法運(yùn)算的本質(zhì)是刻畫(huà)由兩個(gè)集合合并而生成的新集合的元素個(gè)數(shù)。因此，構(gòu)造兩個(gè)不同的集合，并對(duì)這兩個(gè)集合的元素合并的問(wèn)題情景，是學(xué)習(xí)加法運(yùn)算的前提和基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中，首先創(chuàng)設(shè)具體的問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“合并”的思維活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、探索、體驗(yàn)的過(guò)程，形成對(duì)加法運(yùn)算意義的掌握，在合理的問(wèn)題情境中構(gòu)建抽象的加法計(jì)算算式，并讓學(xué)生繼續(xù)通過(guò)擺一擺的活動(dòng)，理解加法算式的數(shù)學(xué)本質(zhì)。恰如其分的情境對(duì)于學(xué)生體會(huì)加法運(yùn)算模型的建立過(guò)程，初步感知模型思想，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)抽象思維能力是非常重要的。

（二）讓高年級(jí)學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)生的過(guò)程，發(fā)展模型思想

數(shù)學(xué)是在不斷的抽象、概括、模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。引導(dǎo)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)“模型”的存在，培養(yǎng)建模能力符合新課程觀的教育理念。教師在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋、運(yùn)用和擴(kuò)展的過(guò)程，實(shí)際上就是讓學(xué)生在具體的行為操作和思維探究中經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程。只有經(jīng)歷了這樣的探究過(guò)程，數(shù)學(xué)模型思想才能沉淀、豐厚，才能使學(xué)生更深入地體驗(yàn)、感悟到數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，逐步積累和發(fā)展模型思想。

例如：“服裝搭配數(shù)學(xué)問(wèn)題”主要是向?qū)W生滲透有序搭配的方法，教師首先有意識(shí)的喚醒學(xué)生的圖表和符號(hào)意識(shí)，首先教師利用圖表或符號(hào)表示1件衣服和2條褲子的搭配方案，并列出數(shù)量關(guān)系式。接下來(lái)讓學(xué)生自己探究2件衣服3件褲子的搭配方案，引導(dǎo)學(xué)生明確有序搭配的思路，用圖表或符號(hào)來(lái)表示搭配方案，并列出數(shù)量關(guān)系式。在解決服裝搭配問(wèn)題過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷了語(yǔ)言表述、圖表化、算式化表示的逐步抽象化過(guò)程，讓學(xué)生自己總結(jié)概括出“搭配方式的種類=衣服數(shù)×褲子數(shù)”。在整個(gè)教學(xué)中教師注重引導(dǎo)學(xué)生從無(wú)意識(shí)地簡(jiǎn)化搭配線路圖到有意識(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)思想過(guò)程，讓學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題模型，使學(xué)生在探究問(wèn)題中發(fā)展學(xué)生的模型思想意識(shí)和觀念。

（三）引導(dǎo)學(xué)生反思，應(yīng)用模型思想

由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的抽象性決定了小學(xué)生不可能一次性把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的本質(zhì)，必須要經(jīng)歷多次的反復(fù)思考才能洞察數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，逐步完善數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的豐富性和應(yīng)用價(jià)值，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

例如：“植樹(shù)問(wèn)題”在于引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“種樹(shù)棵樹(shù)=間隔數(shù)+1”，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題進(jìn)行反思，變式應(yīng)用，讓“植樹(shù)問(wèn)題”模型的建構(gòu)過(guò)程具有層次感。首先讓學(xué)生觀察手，將手指當(dāng)作樹(shù)，將指縫當(dāng)作樹(shù)與樹(shù)的間隔，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言概括出“兩端都栽：棵樹(shù)=間隔數(shù)+1”。此時(shí)有些學(xué)生會(huì)以為問(wèn)題已經(jīng)解決，就會(huì)停下思考，教師適時(shí)提出路的一端或兩端都是墻角或者第一棵或最后一棵不算的情況等，再次吸引學(xué)生的注意力，提起學(xué)生興趣。學(xué)生在已有的解題方法上，再次思考，經(jīng)過(guò)綜合和創(chuàng)造，概括出“兩端都不栽：棵樹(shù)=間隔數(shù)-1”和“一端栽樹(shù)：棵樹(shù)=間隔數(shù)”。當(dāng)然，還可以有更深層次的問(wèn)題，如已知路的長(zhǎng)度，種了幾顆數(shù)，判斷間隔的米數(shù)這樣的逆向思維的題目等。在解釋?xiě)?yīng)用模型的過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生掌握自主探究、遷移類比的有效方法，這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的認(rèn)識(shí)變得豐富立體，同時(shí)也能更深刻地感受模型思想。

幫助學(xué)生形成模型思想是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)。小學(xué)階段教師要積極挖掘教材中蘊(yùn)含的模型思想，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情景，引導(dǎo)學(xué)生感知模型的存在，感受模型的作用，在教師的引導(dǎo)下建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用模型，促進(jìn)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，形成模型思想意識(shí)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

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（項(xiàng)目基金：2016年湖南省大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目（DXYC201608）：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的應(yīng)用研究。）