基于各向異性粒子介電常數張量重構的散射特性研究

李瑾，馮曉毅

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基于各向異性粒子介電常數張量重構的散射特性研究

李瑾1.2，馮曉毅2

（1.陜西學前師范學院計算機與電子信息系，西安 710100； 2.西北工業大學 電子信息學院，西安 710072）

簡化各向異性介質中的光電傳播、目標散射識別等問題。基于電場強度矢量和電位移矢量的關系，提出將各向異性介質的介電常數張量重構為對角張量通用方法。給出了對角張量元素的表達式和對應單位特征矢量，并作了詳細的數值計算。得到了單位特征矢量坐標系中電磁場與原坐標系中電磁場的變換關系以及磁導率張量的變換關系；所用方法具有通用性，所得結果具有實用性。在各向異性介質研究領域，可實現特征坐標系中的電磁場及介質參數與主坐標系的電磁場與介質參數的相互定量轉換。

張量；介質重構；單位矢量；變換關系

近年來，隨著空間深度探測及現代隱身等技術的不斷發展，對各向異性介質中光電傳播及目標散射提出了一系列新的要求。將一般介電常數張量重構為對角張量可以有效地解決各向異性介質中的相關課題，為相關現代技術發展提供理論支持，因而研究介電常數張量為對角張量的電磁問題受到人們的重視[1-6]。當介電常數張量為對角張量時，其中的電磁波傳播、反射等基本問題得到詳細的解決[7]。當對角張量的元素為負值時[8]，電磁波在強各向異性材料中傳播的機制以及基于此原理的超透鏡等問題已獲得有效的解決。文獻[9-10]基于假設的傳播方向將介電常數張量分成縱向和橫向兩個張量，得到了電磁波在各向異性介質中的傳播方程。當介電常數張量為對角張量，采用非標準單位制可以獲得電磁理論中的基本定律如庫侖定律的解析表達式以及各向異性介質球的內外電場分布[11-12]，文獻[13]通過有限元數值模擬方法，討論同時存在起伏地形以及電導率為對角張量時二維大地電磁測深法中ＴＭ極化模式的響應等。當介電常數張量為對角張量，可以得出其中電源輻射的解析表達式[14]。總之，將介電常數張量重構為對角張量可以有效地解決各向異性介質中的光電問題，但如何具體地將任意的各向異性介質重構為介電常數張量為對角張量的介質未見詳細的研究報道。另外，介質參數為對角張量下獲得的電磁場與介質參數為非對角張量下的電磁場存在的定量關系，以及其他介質參數如磁導率張量等定量關系成為各向異性介質中電磁結果應用與工程實際的瓶頸問題。

文中首先將各向異性介質的介電常數張量重構為對角張量，給出特征坐標系中介電常數的張量表達式，并進行了數值計算與討論。在笛卡爾坐標系中，給出了介質重構之前與重構之后兩坐標系之間電磁場的轉換關系、磁導率張量的轉換關系等，最后對其他坐標系下如球坐標系如何轉換介質的電磁參數以及電磁場做了簡單地討論。

1 各向異性介質電磁參數的重構研究

當各向異性介質為無損耗介質時，其介電常數張量為對稱張量[12]，因此各向異性介質中，電位移矢量與電場強度矢量的關系可以寫為：

其中為一對成矩陣，表達式為：

矩陣元素記為0ε，采用愛因斯坦重復求和規定，式（1）可簡寫為

設在某一方向上，即：

其中為一個待定的乘子。將式（2）代入式（3）可得：

其中 I是一個單位張量，當=時，I=1；當I≠1時，I=0。求解方程（4）可得三個特征根，記為λ（=1，2，3）。令：

式中：=－（++）

式（6）表明，特征根1，2，3是相對介電常數張量元素的函數。將特征根1，2，3代入式（5）可得到三個特征矢量：

1=（11，12，13），2=（21，22，23），3=（31，32，33）

為了直觀起見，設相對介電常數張量為：

代入式（6）可得：1=1.8435，2=3.4514，3=9.7051。

代入式（5）可得三個特征矢量，具體為：1=

（0.5709，0.4633，－0.6778），2=（－0.7089，0.6946，－0.1223），3=（0.4142，0.5503，0.7250）。

以上三個特征矢量互相正交，且：

2 主坐標系中電磁場與特征坐標系中電磁場的關系

三個特征矢量可以寫為：

設為主坐標系中的磁感應強度矢量，在主坐標系與特征坐標系的表達式分別為：

則

同法可得：

寫成矩陣形式為：

其中：

電磁場的變換為：

式（9）為直角主坐標系與直角特征坐標系間電磁場量的變換關系。

3 在各向異性介質電磁散射中的應用

各向異性介質目標的內電場求解十分復雜，人們往往在特征坐標系中研究目標的內場，給各向異性目標的散射、識別及隱身等應用帶來困難。利用上面的結果可以解決各向異性目標在柱坐標系的散射問題。為簡單起見，下面結合有關文獻給出各向異性目標的瑞麗散射結果以及磁導率在主坐標系的表達式。由文獻[12]可得在平面電磁波的照射下，當球的半徑遠小于電磁波的波長時，特征坐標系中各向異性介質球的內電場為：

由式（10）可得各向異性介質目標[14]的散射振幅：

由于介電常數張量已經對角化處理，不再討論。下面討論基于介電常數張量對角化后磁導率的變換，在主坐標系和特征坐標系中，磁場強度與磁感應強度的關系分別為：

與式（9）的第:2式比較可得：

由此可得逆變換為：

由式（9）可以看出：主坐標系中電場強度矢量E的大小除了和特征坐標系中電場強度矢量E′的大小有關外，還和特征矢量的分量vij有關， vij的部分數值結果如圖1—圖6所示。

圖2 vij隨主坐標系ε22的變化

圖3 vij隨主坐標系ε33的變化

圖4 v33隨主坐標系ε33的變化

圖5 εi隨主坐標系ε11的變化

圖6 εi隨主坐標系ε22的變化

在圖1—圖6中，除橫坐標參數外，其他參數采用：

計算步長采用0.1。圖1表明，主坐標系中的11對分量23影響較小，其余分量13，12，11受11的影響較大。由圖2可以看出，主坐標系中的22對分量23的影響較為敏感。圖3為33對13，12，11及23的影響，13，12，11隨著33的變化劇烈的變化。圖4表明，33，13隨主坐標系33的變化較大，其余的分量變化較小。圖5和圖6表明，特征坐標系中介電常數張量元素隨著主坐標系中元素的增大而增大，這一內在的一致性表明了同一物理參數如介電常數因參照系選擇的不同可以有所不同，但其特性與參照系的選擇無關。

4 結語

文中研究了無損耗各向異性介質的重構規律，得到了一系列研究結果。結果表明，基于電場強度矢量和電位移矢量的關系，可以將各向異性介質的介電常數張量重構為介電常數張量為對角張量的各向異性介質，有確定的特征坐標系存在，該特征坐標系中的矢量與主坐標系中的矢量有著確定的變換關系。得到了特征坐標系中描述介質參數的二階張量與主坐標系中描述介質的二階張量之間的變換關系，對所得結果進行了數值計算。數值結果表明，特征坐標系中介電常數張量的元素隨著主坐標系中相應元素的增大而增大，表明了同一物理參數如介電常數因參照系選擇的不同其大小可以有所不同，但其特性與參照系的選擇無關，所用方法具有通用性。各向異性電磁問題一般在特征坐標系中可以得到解析解，所得結果為從特征坐標系中的相關電磁結果獲得主坐標系中各向異性介質的電磁問題解等提供了方法與途徑，可用于各向異性介質的光電傳播、各向異性目標隱身、各向異性介質中的光電散射以及輻射研究等應用領域。

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Scattering Characteristics Based on Reconstruction of Permittivity Tensor for Anisotropic Particle

LI Jin,FENG Xiao-yi

(1.Department of Physics and Electronic Engineering, Shaanxi Xueqian Normal University, Xi′an 710100, China; 2.College of Electronic Information, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

To simplify the photoelectric transmission, target scattering etc. in anisotropic medium.Based on relation between electric-field vector and electric displacement vector, reconstructing tensor of dielectric constant for anisotropic medial was proposed as the universal method for diagonal tensor.The element expressions and corresponding unit eigenvectors of diagonal tensor were developed with detailed numerical calculation. The transformation relation of electromagnetic field in the unit characteristic vector coordinates system and the primary coordinate system and the transformation relation of permeability tensor were presented. The method was universal and the result obtained was practical.In the domain of anisotropic media, the result is able to quantitatively transform the E.M. field and medium parameter from the eigen coordinates system to the primary coordinates system and vice versa..

tensor; medium reconstruction; unite vector; transform relation

10.7643/ issn.1672-9242.2017.12.017

TJ01

A

1672-9242(2017)12-0088-05

2017-09-27；

2017-11-02

國家自然科學基金資助項目（60971079）；陜西省教育廳自然科學基金資助項目（16JK1185）和陜西省自然科學基礎研究項目（2014JM8312）

李瑾（1986—），女，陜西西安人，碩士，主要研究方向為光電散射與傳播。