條件概率的教學(xué)研究

劉春奇

摘 要：條件概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的一節(jié)內(nèi)容，學(xué)生大多在高中階段已經(jīng)接觸過(guò)。但是由于高考對(duì)于條件概率的要求不高，加之條件概率對(duì)于后續(xù)章節(jié)的內(nèi)容學(xué)習(xí)又很重要，認(rèn)真學(xué)習(xí)條件概率還是很有必要的。

關(guān)鍵詞：條件概率；教學(xué)設(shè)計(jì)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的選修課上，出現(xiàn)了學(xué)生怠學(xué)、教師怠教、教學(xué)效果差等諸多問題。為了克服這些問題，作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教師，同時(shí)也是教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)，我們進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)。

首先，條件概率的內(nèi)容屬于概率論范疇。并且就我們目光所及，現(xiàn)行的所有概率論教材都把條件概率安排在第一章，互斥事件之后，而對(duì)于學(xué)生而言，互斥事件和之前的內(nèi)容，只有樣本空間和概率的嚴(yán)格定義，學(xué)生不太容易掌握，此外再無(wú)難點(diǎn)；其次，學(xué)生在學(xué)習(xí)條件概率的時(shí)候，大多剛剛開學(xué)，對(duì)于學(xué)習(xí)的熱情還比較高漲；最后，在后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，比如全概率公式和貝葉斯公式的推導(dǎo)、指數(shù)分布的無(wú)記憶性的證明、條件分布的計(jì)算，都會(huì)再次利用到條件概率的定義和計(jì)算方法。有鑒于此，我們認(rèn)為，設(shè)計(jì)有利于學(xué)生理解和掌握的教學(xué)思路和教學(xué)手段，是有助于學(xué)生的條件概率的學(xué)習(xí)的；同時(shí)，學(xué)生能夠熟練掌握并應(yīng)用條件概率的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題，是完全有可能的。

條件概率的內(nèi)容多被安排在互斥事件的內(nèi)容以后，學(xué)生在高中階段已經(jīng)接觸過(guò)互斥事件的定義和性質(zhì)甚至十分清楚互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別，況且互斥事件的理解也并不困難。為此，我們從互斥事件入手，先利用教材上的引例介紹條件概率的概念，而后考慮條件概率的掌握方法。

例1.[1]將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況。設(shè)事件A為“至少有一次為H”，事件B為“兩次擲出同一面”?，F(xiàn)在來(lái)求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。

這里，樣本空間為S={HH，HT，TH，TT}，A={HH，HT，TH}，B={HH，TT}。易知此屬古典概型問題。書籍事件A已發(fā)生，有了這一信息，知道TT不可能發(fā)生，即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是A。A中共有3個(gè)元素，其中HH屬于B。于是，在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率（記為P（B|A））為

P（B|A）=1/3。

由此可以引出條件概率的定義，即

定義條件概率設(shè)A，B是兩個(gè)事件，P（A）>0，稱P（B|A）=P（AB）/P（A）為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。

假設(shè)兩個(gè)事件A與B互斥，亦即A與B不能同時(shí)發(fā)生，用概率的語(yǔ)言描述，也就是A與B同時(shí)發(fā)生的概率為0。現(xiàn)在我們考慮，在事件A發(fā)生的條件之下，B發(fā)生的概率，即求P（B|A）。而P（B|A）=P（AB）/P（A），由于AB同時(shí)發(fā)生的概率為0，所以P（B|A）=0。

通過(guò)這段講解，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：第一，如果兩個(gè)事件A與B互斥，則條件概率P（B|A）一定為0，當(dāng)然了，P（B|A）也等于0；第二，條件概率與兩個(gè)事件的積事件的概率有著密切的關(guān)系，那么怎么理解條件概率與兩個(gè)事件的積事件的概率之間的區(qū)別呢？

兩個(gè)事件的積事件發(fā)生的概率P（A∩B）與條件概率P（B|A）的區(qū)別。事實(shí)上，P（A∩B）≤P（B|A）；此外，P（A∩B）也可以看成是條件概率的一種特殊情況，即P（A∩B）=P（AB）/P（Ω），其中Ω表示必然事件，即P（Ω）=1。

考慮到高校大學(xué)生吸煙問題的普遍性，我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣的例題，使學(xué)生在練習(xí)條件概率性質(zhì)的同時(shí)，從一定程度上認(rèn)識(shí)到吸煙的危害。

例2.據(jù)美國(guó)的一份資料報(bào)導(dǎo)，在美國(guó)總的來(lái)說(shuō)患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，求吸煙者和不吸煙者患肺癌的概率分別是多少？

解：記C為事件“患肺癌”，A為事件“吸煙”，則P（C）=0.001，P（C）=0.20，則P（C|A）=0.004，P（C|-A）即為不吸煙者患肺癌的概率。

由全概率公式，

P（C）=P（C|A）P（A）+P（C|-A）P（-A），

即0.001=0.004*0.20+P（C|-A）*0.80。

所以P（C|-A）=0.00025。

這樣，我們可以看到，吸煙者患肺癌的概率是0.004，不吸煙者患肺癌的概率是0.00025，也就是說(shuō)，吸煙者患肺癌的概率是不吸煙者的16倍！

乘法定理

由于P（A|B）=P（AB）/P（B），所以P（AB）=P（B）P（A|B），而單獨(dú)考慮這個(gè)式子，它又表示事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件B發(fā)生的概率乘以在事件B發(fā)生的條件之下事件A發(fā)生的概率，這就是乘法定理或者乘法公式。

全概率公式和貝葉斯公式

如果考慮兩個(gè)事件A和B，則事件A發(fā)生的同時(shí)，事件B可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，也就是說(shuō)事件A發(fā)生的概率可以作如下表示：

P（A）=P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C），

這里事件C是事件B的對(duì)立事件，即P（B）+P（C）=1，這就是全概率公式。

在全概率公式的基礎(chǔ)上，我們可以推導(dǎo)出著名的后驗(yàn)概率公式，即貝葉斯公式。學(xué)生普遍對(duì)于貝葉斯公式的理解存在困難，這里選取了乘地鐵還是汽車的習(xí)題，既貼近生活，又能讓學(xué)生理解貝葉斯公式的后驗(yàn)性質(zhì)，即，在此人已經(jīng)到家以后，考慮他乘地鐵還是汽車的概率。

例3.某人下午5：00下班，他所積累的資料表明此人到家的時(shí)間可分為5：35—5：39，5：40—5：44，5：45—5：49，5：50—5：54，遲于5：54六個(gè)時(shí)間段，并且此人在六個(gè)時(shí)間段內(nèi)乘坐地鐵回家的概率分別是0.1，0.25，0.45，0.15，0.05，乘坐汽車回家的概率分別是0.3，0.35，0.2，0.1，0.05。某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5：47到家的。試求他是乘地鐵回家的概率。

解：記M為事件“此人乘地鐵回家”，-M為事件“此人乘汽車回家”。

A為事件“此人5：47到家”，則P（M|A）即為所求。

由條件概率的定義，

P（M|A）=P（MA）/P（A），

而P（A|M）P（M）=0.45*0.5=0.225，

由全概率公式，

P（A）=P（A|M）P（M）+P（A|-M）P（-M）=0.45*0.5+0.2*0.5=0.325，

所以，

P（M|A）=P（MA）/P（A）=9/13。

另外一個(gè)與貝葉斯公式相關(guān)的例題。

例4.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P（A|C）0.95，P（-A|-C）=0.9，現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即P（C）=0.005，試求P（C|A）。

解：P（C|A）=P（AC）/P（A）

=P（A|C）P（C）/（P（A|C）P（C）+P（A|-C）P（-C））

=0.95*0.005/（0.95*0.005+0.05*0.995）

=0.087

這道題目本身并不難，但是題目所反映的結(jié)果卻很驚人：試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，被診斷者患有癌癥的概率僅為0.087！

結(jié)語(yǔ)：條件概率的核心是由于條件的附加使得樣本空間范圍縮小，從而所求事件概率發(fā)生變化。所以本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)就是在概率的背景下學(xué)習(xí)理解條件概率概念的本質(zhì)，會(huì)運(yùn)用條件概率的定義式求各種概率模型下的條件概率，體會(huì)公式的一般性。

參考文獻(xiàn)

[1]浙江大學(xué)盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2015.