數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

湖北省武漢市南湖中學(xué) 湛 婷

作為一門具有較強(qiáng)邏輯性和實(shí)用性的學(xué)科，初中數(shù)學(xué)是鍛煉學(xué)生思維，提升學(xué)生基礎(chǔ)素養(yǎng)的重要科目。隨著新課程改革的深入，傳統(tǒng)應(yīng)試教育也正在不斷向素質(zhì)教育的軌道上邁進(jìn)，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生掌握基本知識(shí)概念、性質(zhì)公理以及公式法則，更要求學(xué)生在思想觀念層面掌握數(shù)學(xué)思想和方法，靈活運(yùn)用觀察比較、分析綜合，鍛煉良好的數(shù)學(xué)思維能力。當(dāng)下部分初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)讀不懂題、不會(huì)解題的情況，一方面有自身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，未掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的原因，另一方面也有學(xué)生數(shù)學(xué)思維未培養(yǎng)起來的原因。數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用十分廣泛，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，也幫助學(xué)生克服思維陷阱，更加直觀清晰地理解題意，解決數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)形結(jié)合的概念

數(shù)形結(jié)合中的數(shù)即數(shù)量，形即圖形，所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，它是初中數(shù)學(xué)中分析、研究和解決問題的一種思維策略。代數(shù)、幾何這兩個(gè)學(xué)科聯(lián)系密切，互相統(tǒng)一，利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化；利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視將數(shù)量與圖形相結(jié)合考慮問題，這使得抽象的數(shù)學(xué)問題更加直觀清晰，從而有利于我們進(jìn)一步弄清題意，通過比較和分析，突破思維瓶頸，及時(shí)轉(zhuǎn)換題目信息，達(dá)到解決問題的目的。

二、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的具體運(yùn)用

1.從數(shù)到形的結(jié)合

初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)”包括有理數(shù)、實(shí)數(shù)、方程、代數(shù)式、不等式等等，由于比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往覺得抽象難理解，而借助于圖形，賦予數(shù)量以幾何意義，能夠有效解決數(shù)的問題。數(shù)量和圖形可以相互對(duì)應(yīng)，當(dāng)遇到較多或抽象的數(shù)量時(shí)，從數(shù)量與數(shù)量的梳理中無法得出答案，我們可以將與數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形畫出來，以形助數(shù)，從而使得原本混亂的邏輯得到直觀清晰的表達(dá)。多數(shù)含有數(shù)量關(guān)系的法則公式等，結(jié)合圖形來理解都會(huì)變得十分清晰簡單。

如《有理數(shù)及其運(yùn)算》一章中，數(shù)形結(jié)合主要通過數(shù)軸實(shí)現(xiàn)，有理數(shù)中的正數(shù)、0和負(fù)數(shù)，正數(shù)分布于正半軸，負(fù)數(shù)分布于負(fù)半軸，0則是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。數(shù)字較多進(jìn)行大小比較時(shí)，根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大，就很容易比較學(xué)習(xí)。

又如例題：在一段線段AD上有兩點(diǎn)B和C，線段AB的中點(diǎn)是點(diǎn)M，線段CD的中點(diǎn)是點(diǎn)N，如果已知線段AD長為a，BC長為b，求線段MN的值是多少？

解：通過題中描述可將題中的各個(gè)點(diǎn)在線段上表示出來，并畫出相應(yīng)位置關(guān)系，如圖 1 所示。根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：

再比如遇到集合問題也可以用畫圖的方法解題，化難為易，化抽象為直觀。在圖形中，一般利用圓來表示集合，兩集合有公共的元素則兩圓相交，兩圓相離則表示沒有公共的元素。利用圖示法，能夠解決抽象的集合問題，讓學(xué)生對(duì)集合問題一目了然。

2.從形到數(shù)的結(jié)合

對(duì)于一些呈現(xiàn)較為直觀的圖形，往往可以通過賦予相應(yīng)的數(shù)量，表達(dá)出反映題目的數(shù)量關(guān)系式，以數(shù)解形，層層深入，達(dá)到解題的目的，這需要學(xué)生在解題過程中學(xué)會(huì)舉一反三，轉(zhuǎn)換思維模式。

如教學(xué)《平行線與相交線》一章中，兩條直線平行的條件是：如果特殊位置關(guān)系的角（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）滿足特殊的數(shù)量關(guān)系（同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），則兩條直線平行，這也意味著如果兩條直線平行，那么任意一條直線所截得到的同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

又如例題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0) 的圖象如圖 2所示，根據(jù)圖象有下列判斷，其中錯(cuò)誤的是（ ）

A.a＜ 0 B.b＜ 0 C.c＜ 0 D.b2－ 4ac＜ 0

解：通過圖形分析，根據(jù)二次函數(shù)圖象得知開口向下，所以a＜0 正確，當(dāng)x=0 時(shí)，y=c＜0，即 C 正確，因?yàn)閳D中拋物線和x軸沒有交點(diǎn)，所以b2－4ac＜0，D 也是正確的選項(xiàng)，所以答案為 B。

再比如有些題目中給出一個(gè)標(biāo)明各點(diǎn)位置的圖形，要求求出一組含有各點(diǎn)所組成的復(fù)雜算式，看似沒有頭緒，實(shí)則可以通過給出的已知圖形，在簡單的加減大小比較中得出答案。數(shù)形結(jié)合需要學(xué)生充分挖掘題目中所含的幾何意義和數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)換為自己所需的數(shù)量或圖形來反過去破題，很多看似很難的題便會(huì)迎刃而解。

3.數(shù)形結(jié)合靈活運(yùn)用的基礎(chǔ)

數(shù)形結(jié)合可以有效幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。不論是從數(shù)到形還是從形到數(shù)，都需要學(xué)生具備代數(shù)運(yùn)算和圖形轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)和習(xí)慣，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)應(yīng)不同題型，不斷從具體題型中加強(qiáng)訓(xùn)練。初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的過程，需要學(xué)生在積累練習(xí)理解的過程中運(yùn)用自如。可以說，數(shù)形結(jié)合貫穿了初中數(shù)學(xué)的兩條主線，即“數(shù)”和“形”。作為教學(xué)的關(guān)鍵主體，教師在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中起到關(guān)鍵作用。教師應(yīng)貫穿數(shù)形結(jié)合的方法，在數(shù)學(xué)題的講解中，結(jié)合學(xué)生做題存在的問題進(jìn)行針對(duì)性講解，逐步引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的作用，使學(xué)生自然而然地形成數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題的思維直覺，培養(yǎng)學(xué)生多維度思考解決數(shù)學(xué)問題的解題習(xí)慣。在將數(shù)學(xué)算理變得直觀，數(shù)量關(guān)系變得深刻的過程中，不斷激發(fā)初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，為今后更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

[1] 陳士統(tǒng).淺析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2011：77.

[2]王鑫.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2015：36.