在探究活動中理解數學

美國著名教育心理學家羅伯特·米爾斯·加涅（Robert Mills Gagne）認為：教學就是“使學生參與到那些促進學習的事件和活動中去”［1］。數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決數學問題的過程。具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。［2］筆者認為，在數學教學中，應當不失時機地讓學生開展數學探究活動，并通過自主探究、合作交流等方式，親身經歷數學知識的發生與發展過程，促使學生更加深刻地理解數學。

一、為什么要開展數學探究活動

1.從數學學科特點來看。

由于數學是一門高度抽象的、以符號運算為主的、重視邏輯推理和模型思想的學科，因此數學知識有其自身的特點，南京師范大學喻平教授認為，“數學知識可分為陳述性知識、程序性知識和過程性知識等三類。”［3］

陳述性知識也叫“描述性知識”，它是指個人具有有意識地提取線索，并能直接加以回憶和陳述的知識。如“奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱”就是一個陳述性知識。一般地，數學的概念、命題都是陳述性知識。而程序性知識則是關于人們怎樣做事的知識，它是由完成一件事所規定的程序、步驟和策略等組成的知識。例如“判定某個函數的奇偶性”“證明某個函數的單調性”都是程序性知識。因此，陳述性知識是關于“是什么”的知識，程序性知識則是關于“怎么辦”的知識。

程序性知識的本質是一種技能，它又可以將程序性知識分成兩類：一類是通過練習，其運用能達到相對自動化，很少或不需要受意識控制的知識；另一類是受意識控制，難以達到自動化程度的知識。加涅把前者稱為“智慧技能”，后者稱為“認知策略”。比如，高中數學中的“函數奇偶性的判斷”“函數單調性的證明”等知識就是智慧技能，只要通過一定的訓練，就能達到較為熟練的程度。而“如何研究指數函數的性質”則屬于認知策略的范疇。

過程性知識是伴隨著數學活動的體驗性知識。體驗分4個階段：對知識產生的體驗；對知識發展的體驗；對知識結果的體驗；對知識應用的體驗。［4］過程性知識是一種內隱的、動態的知識，需要學習者在自主探究的過程中去經歷、感受和體驗。

因此，從數學學科的特點來看，讓學生開展數學探究活動，能夠幫助學生理解數學。

2.從教學實踐經驗來看。

數學學科的知識特點使得數學學習的策略也不同于其他學科，僅僅靠教師的“教”是遠遠不夠的，還需要學生主動地“學”——通過數學探究活動、主動參與到數學概念（性質）的建構過程中去。這樣學生才能夠真正地理解數學，理解數學概念（性質）本身及其背后所蘊含的數學思想方法。

需要指出的是，盡管這一輪高中課程改革已經經歷了十多年時間，可是，急功近利、“斬頭去尾燒中端”的現象依然相當普遍：有不少教師在教學數學概念（性質）時，只是簡單地拋出現成的結論，不讓學生經歷概念的建構過程（性質的推導過程），更不會引導學生思考新的概念（性質）產生的必要性及其作用；在拋出現成的結論后，往往通過大量簡單、機械、重復的練習來“鞏固”知識。這種教學，沒有學生思維的積極參與，更沒有學生的親身經歷與體驗，學生也就難以理解數學概念（性質），更談不上領會數學概念（性質）背后所蘊含的數學思想方法了。這樣的教學，只能教會學生進行簡單的模仿，而對數學概念及其本質往往是一知半解。

3.開展數學探究的意義。

數學探究活動的核心是“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”。在這一過程中，不僅能夠更好促進學生“數學抽象”“邏輯推理”和“數學建模”等數學核心素養的形成，而且也有助于學生從已有的知識與方法出發“發現”新的數學概念（結論），更加深刻地理解新的概念（原理），并從整體上理解、把握數學知識的結構與體系，體驗到創造的快樂，建立嚴謹的科學態度，形成不怕困難的科學精神。

二、實施數學探究活動的基本途徑

1.融入課堂的數學探究活動。

課堂是師生教學數學的主陣地，“數學探究活動應根植于日常教學活動中，在日常教學活動中不失時機地體現”［5］。

（1）選材原則。

①聚焦核心概念與重要定理（性質）。

高中數學知識是由若干個核心概念與重要定理（性質）構成的，這些核心概念與重要定理（性質）通常也是數學思想方法的重要載體。因此，將這些核心概念與重要定理（性質）作為數學探究活動的資源，對學生更加深刻地理解數學概念、形成良好的數學素養有著重要的意義。

②重視能體現知識之間關聯的內容。

在數學知識體系中，有一些知識之間存在著密切的聯系，因此，讓學生通過數學探究活動，感受到不同知識之間的內在聯系，有利于學生從整體上理解數學，建立完整的數學知識網絡，而非“碎片化”的知識。

③關注易于學生質疑創新的內容。

在高中數學教材中，有些教學內容，或編寫者留有余地，或考慮到不同層次學生的可接受性等原因，使得一部分學生對這些教學內容有不同于教材的認識（或不同的解決問題的方法）。選取這些內容，讓學生開展探究，能夠充分激發學生的創造熱情和質疑精神，享受創造的快樂，挖掘創造潛能，有利于學生從不同的角度思考問題，在形成探究習慣、提高探究能力的同時，形成創新意識。

④珍視便于學生延伸與推廣的內容。

在高中數學教材中，編寫者還有意識地安排了這樣的兩類內容：一類是可以進行類比延伸的內容，另一類是可以進行一般推廣的內容。對這一些內容開展進一步地探究，不僅可以進一步培養學生的探究意識與探究能力，而且可以幫助學生更加深刻地理解“類比與遷移”“特殊與一般”等數學思想。

（2）實施策略。

①給學生發現問題、提出問題機會。

提出有價值的數學問題，是開展數學探究活動的起點。因此，在教學中，既要創造條件、給學生提出問題的機會，還要鼓勵學生大膽質疑已有的結論與方法，培養學生的問題意識和質疑精神。

②創設問題情境，驅動學生思維。

“問題”是引發學生思考、開展數學探究活動的“助推器”。數學探究活動，就是學生圍繞某個有意義的數學問題，通過自主探究、合作研究等學習方式，最終解決問題的過程。因此，創設“好”的數學問題情境，對學生開展數學探究活動能夠起到推導作用。

③把握問題本質，形成認知策略。

數學探究的關鍵是形成解決問題的策略，而形成解決問題策略的前提，是要把握問題本質。形成解決問題策略，既是完成數學探究活動的關鍵步驟，也是發展學生認知策略的基本環節。認知策略是“支配個體自身學習、記憶和思維行為的性能”。“數學教學不僅僅只關注數學知識的學習，更重要的是發展學生的認知策略、完善學生的認知結構。

2.源于教材的數學探究活動。

源于教材的數學探究活動，就是結合高中數學教材的相關內容（可以是教材的一些定理或性質，也可以是教材中的例題或習題），由教師或學生提出探究主題，開展數學探究活動。這樣，既可以培養學生的探究能力，還可以促進學生形成科學的態度和不怕困難的頑強精神。

（1）選材原則。

①趣味性原則。

一旦學生對新知識、新方法充滿了興趣，對現有的客觀世界和未知世界充滿了好奇和探求的欲望，那么，其學習的熱情與創新的火花將被點燃并熊熊燃燒。教師要成為學生探究火花的點燃者、探究激情的促進者，這就需要教師能夠從學生的角度出發，用稍顯“稚嫩”的眼光，去發現、提出那些能夠激發起學生探究欲望的、有趣的探究主題。

②參與性原則。

開展數學探究活動的最終目的，是為了促使學生形成良好的探究意識，能夠在今后的數學學習過程中，自主地確立探究主題，開展數學探究活動，從而使得數學探究活動成為學生的自覺行動。因此，在選取相關的探究素材時，應當充分發揮學生主體參與的熱情，讓他們自主地確立探究主題，開展數學探究。

③發展性原則。

開展數學探究活動的目的，也是為了充分調動學生的學習積極性、挖掘學習潛能、提升數學能力。因此，在確立探究主題時，應當選取那些能夠促進學生發展的探究課題。這些探究課題，可以是某些數學結論的深入與推廣，不同數學內容之間的聯系與類比，也可以是發現或探索對自己而言是“新”的結果。

（2）實施策略。

①由教師提出問題到學生自主提出問題。

“發現和提出有意義的數學問題”是開展探究活動的起點，也是發現與創新的前提。因此，教師要引導學生，用好奇的眼光看數學，對所學的數學知識敢于質疑并大膽猜想，進而能結合教材的相關內容，自主地發現問題、提出問題，確立探究主題。教師可以通過諸如“你還有其他的想法嗎”“你有什么疑問嗎”等問題，讓學生主動質疑、提出問題，實現由教師提出探究主體、學生被動地開展數學探究活動，向由學生自主開展數學探究活動的轉變。

②在知識方法類比遷移中形成探究習慣。

開展數學探究活動，一方面可以促進學生深刻地理解領會所學的知識，掌握知識背后所蘊含的數學思想方法；另一方面，也是讓學生在一系列的數學探究活動中，形成探究習慣，為創新意識的形成奠定良好的基礎。這樣，既有助于學生從整體上把握數學的知識與方法，也有助于學生形成探究習慣、發展探究能力。

經過若干年的教學實踐，筆者深深地感受到：開展數學探究活動，不僅可以讓學生更加深刻地理解數學，而且還能夠促進學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養形成，培養學生的創新精神和實踐能力，從而使學生逐步地“會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維分析世界、會用數學的語言表達世界”。