中職數(shù)學(xué)“有意義”教學(xué)*
——以“圓錐曲線”為例

圓錐曲線是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，傳統(tǒng)教學(xué)中，教師大多利用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的方程和性質(zhì)，將圓錐曲線作為解析幾何的內(nèi)容開展教學(xué)。這種教學(xué)模式下，學(xué)生往往有這樣的疑惑：圓錐曲線是怎么來(lái)的？橢圓就是“壓扁的圓嗎”？雙曲線和拋物線為什么這樣定義？學(xué)習(xí)了圓錐曲線有什么用處？對(duì)此，筆者認(rèn)為針對(duì)圓錐曲線要進(jìn)行“有意義”教學(xué)，讓學(xué)生從歷史源頭認(rèn)識(shí)圓錐曲線，從數(shù)學(xué)史中探索數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用思想。

一、創(chuàng)設(shè)歷史情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

圓錐曲線的概念發(fā)展歷經(jīng)兩千多年，從古希臘的截痕定義，到18世紀(jì)的第一定義、19世紀(jì)的第二定義。目前數(shù)學(xué)教材上使用的是18世紀(jì)的第一定義，對(duì)圓錐曲線原本的截痕定義少有涉及，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)不深刻，多以為是用解析法研究的又一類二次曲線。

在教學(xué)中，教師利用課前資料介紹圓錐曲線的截痕定義并布置學(xué)生利用旦德林球嘗試證明第一定義。課前預(yù)習(xí)資料將教材中的閱讀材料前置，按圓錐曲線概念發(fā)展的歷史順序介紹開普勒和伽利略利用圓錐曲線在物理學(xué)上的貢獻(xiàn)。利用HPM展開教學(xué)，將圓錐曲線的發(fā)展歷程整理出來(lái)，供學(xué)生課前學(xué)習(xí)。這樣的引入水到渠成，讓圓錐曲線看似枯燥的定義有了濃厚的歷史神秘感，吸引學(xué)生的注意力。

二、設(shè)置數(shù)學(xué)活動(dòng)，“做”中探究數(shù)學(xué)

學(xué)生在教師的幫助下得出第一定義，教師介紹圓錐曲線的光學(xué)應(yīng)用，得出焦點(diǎn)概念。教師布置以下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：在一張圓形紙的內(nèi)部用筆點(diǎn)出異于圓心的一點(diǎn)，折疊紙片，使圓周經(jīng)過(guò)筆芯畫的點(diǎn)，折疊多次，學(xué)生均能折出橢圓的形狀。折紙實(shí)驗(yàn)同樣可以得出雙曲線與拋物線的概念：教師利用幾何畫板演示書本上兩個(gè)圖釘，并要求學(xué)生在教師作圖過(guò)程中觀察動(dòng)點(diǎn)的特征，同時(shí)思考此過(guò)程能得出的曲線是什么。數(shù)學(xué)活動(dòng)使枯燥的定義講解變得生動(dòng)活潑，學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中感受到了樂(lè)趣，而定義的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證更是由學(xué)生獨(dú)立完成，在“做”中探究數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解更加深入。

三、了解實(shí)際應(yīng)用，感受應(yīng)用價(jià)值

圓錐曲線在日常生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，比如截面為雙曲線的核電站冷卻塔，這樣的結(jié)構(gòu)從底部到中部直徑逐漸變小，防止蒸汽從底部溢出，上部直徑變大可以降低熱氣的對(duì)流速度，提高能源利用率。諸如此類，從橢圓、雙曲線和拋物線光學(xué)性質(zhì)的介紹乃至證明，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓可用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置、雙曲線反向虛聚焦性質(zhì)在天文望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)上的重大運(yùn)用、拋物線的聚焦特性在聚能裝置或定向發(fā)射裝置上的應(yīng)用等，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。