理解：讓學生的數(shù)學運算有理可循

運算能力是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的十個核心詞之一，“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”數(shù)學運算的關鍵能力具體表現(xiàn)為：理解運算對象、理解運算法則、探索運算思路和實時求得結果。其中，學生數(shù)學運算的理解能力，尤其是對算理和抽象算法的理解尤為重要，它是學生掌握運算法則，選擇運算方法，形成口算、筆算、估算等技能的基礎和前提，是學生進行數(shù)學運算的隱性素養(yǎng)。

一、理解數(shù)的意義，奠定數(shù)學運算的基石

數(shù)是數(shù)學運算的對象之一，正確理解數(shù)的意義，能夠幫助學生明晰算理的內在含義，創(chuàng)造性地進行數(shù)學運算，提升對算理的理解水平。

1.破解抽象。

數(shù)學源于生活，但生活中的認數(shù)并非數(shù)學意義上的認知。教師要引導學生經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，從中理解數(shù)的意義、數(shù)的組成，理解比大小、求近似數(shù)等。例如：蘇教版教材中“分數(shù)”這一知識點，就遵循著理解的規(guī)律而編排。在三上教材中，學生通過學習“一個物體或一個平面圖形不能平均分成整數(shù)個”，認識分數(shù)的表示。在三下教材中，通過學習將多個物體組成的一個整體平均分的“分桃”案例，進一步抽象認識“表示出的份數(shù)與平均分的份數(shù)之間的關系”。最后，在五下教材中，學生通過整體把握分數(shù)的意義，認識單位“1”、分數(shù)的意義和分數(shù)單位，繼而開始認識假分數(shù)，理解分數(shù)既可表示兩個量之間的關系，又可表示具體量。三個階段的學習，學生在逐步抽象的過程中理解數(shù)的意義，為探索運算法則奠定基礎。

2.比較聯(lián)系。

自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)之間互相聯(lián)系，不同形式的數(shù)可互相轉化，這為打通數(shù)學運算法則奠定了基礎，也為尋求合理簡潔的運算方法提供了可能。

例如：教學蘇教版五上《小數(shù)的意義和性質》時，教師可引導學生在認識分數(shù)的基礎上認識小數(shù)。通過回憶“分母是 10、100、1000……的分數(shù)可以用小數(shù)表示”，認識“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”通過比較建立聯(lián)系：1里面有10個0.1，0.1里面有10個0.01……在體會小數(shù)與分數(shù)聯(lián)系的基礎上，學生將小數(shù)納入到十進制計數(shù)法中，理解了小數(shù)加減法也要相同計數(shù)單位才能直接相加減，小數(shù)乘法運算也應依據(jù)整數(shù)運算中乘法與加法的聯(lián)系以及積的變化規(guī)律來理解和運算，小數(shù)除法運算可以依據(jù)小數(shù)的意義加以理解和計算，或利用整數(shù)除法中商不變的規(guī)律順利遷移。通過比較，在學生原有認知結構中建立小數(shù)與分數(shù)、小數(shù)與整數(shù)之間的運算關系，能夠幫助學生根據(jù)計算需求尋求簡便算法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

3.合情推理。

理解數(shù)的意義，能夠促使學生對計算算理的理解由無意關注發(fā)展為自覺認知，幫助學生進一步明晰算理的內在含義。

例如：在教學估算時，教師可以出示實際問題：每箱西瓜48元，張大叔帶200元，買4箱西瓜夠不夠？教師可以引導學生依據(jù)“數(shù)的認識”中“近似數(shù)”的知識，把48看作最接近的整十數(shù)50來估算。正確認識近似數(shù)的意義并找到一個數(shù)的近似數(shù)，對合理估算、用估算監(jiān)控計算結果有著重要作用。

二、理解四則運算的意義，把握數(shù)學運算的邏輯

1.現(xiàn)實中體會。

小學生的思維具有直觀性強而抽象程度不高的特點，教師可據(jù)此引導學生在解決實際問題的過程中理解四則運算的意義和概念。

例如：教學加法運算時，教師可以通過設計“原來有多少，來了多少，現(xiàn)在有多少”等實際問題理解其衍生意義或不同表現(xiàn)形式，從而明確加法的定義：將兩個或兩個以上的數(shù)、量合起來，變成一個數(shù)、量的計算。減法運算的基本意義則是“從總數(shù)中去掉一部分，得到的是另一部分”，也可以表達為從一個數(shù)中減去另一個數(shù)的運算。在加法的基礎上，繼而學習乘法——求若干個相同加數(shù)的和的簡便運算。對于除法運算，低、中年級的學生可以在平均分的基礎上理解意義，高年級學生可理解為“已知兩個乘數(shù)的積與其中一個乘數(shù)，求另一個乘數(shù)的運算”。

2.意義中關聯(lián)。

加法是四則運算的基礎，減法是加法的逆運算，乘法是加法中特殊情況的簡便運算，除法是乘法的逆運算。體會四則運算意義間的關聯(lián)，學生可根據(jù)對運算意義的理解，認識新學習的運算的意義。

例如：教學蘇教版二上《表內除法（一）》時，就可以以平均分（正好分完）為基礎，幫助學生理解“平均分的過程相當于每次減相同的數(shù)，直至結果為0（即正好分完）的過程”，建立除法和減法的意義關聯(lián)，為學生理解用豎式計算除法的算理奠定基礎。

3.理解后運用。

學生體會了四則運算的意義及其聯(lián)系之后，在理解算理或遇到陌生運算問題時就可以獨立探索，并能合理解釋其運算過程。例如：教學蘇教版三下《有趣的乘法計算》后，教師可以引入“印度算法”。教師先出示例題：13×14，再出示計算過程：13+4=17，17×10=170，3×4=12，170+12=182。

這種計算思路，用乘法的意義可以解釋為13×14→14×13，可看作 10個 13和 4個 13；4個13又可進一步看作4個10和4個3；10個13結果和13個10相等，因此共有17個10和4個3。據(jù)此對印度算法展開探索：2□×2□、3□×3□、4□×4□……最后總結兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算、豎式、印度算法之間的聯(lián)系，理解不同運算形式、不同運算方法之間的內在關聯(lián)和算理。

三、理解運算法則，讓意義自然流淌

理解算理的基礎是對數(shù)、運算意義的認識，理解算理的目的是為了算法抽象，理解算理幾乎是數(shù)學理解能力的最高水平。

例如：教學蘇教版三上《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》中首位除后有余數(shù)的情況時，教師可以出示例題52÷2，引導學生理解計算法則：每份先分得2個十，分掉4個十，余下1個十；余下1個十和2個一合起來再分。1個十和2個一合起來是12個一，除以2，每份是6個一，所以商6寫在個位上。通過這樣的分析幫助學生重點解決“十位上除過后余下1個十，接下去怎樣算”的問題。

綜觀小學階段整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等不同形式的數(shù)，及其加、減、乘、除四則運算，不管是口算、豎式計算還是估算，教師都應先引導學生理解數(shù)及其運算的意義，以此為據(jù)理解算理，促使學生對數(shù)學運算的理解和掌握。