導問：讓思維成長
——以一道高三數學難題的教學為例

一、教學過程

2018年1月蘇州市高三數學學業“陽光指標”調研試卷上有這樣一道題：

已知函數

（1）當a=2時，求函數的單調區間；

（2）若方程f（-x）+f（x）=ex-3在區間（0，+∞）上有實數解，求實數的取值范圍；

（3）若存在實數 m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，使得f（m）=f（n），求證

本題第（1）小題屬基本題，第（2）小題屬中檔難度題，最后一小題屬難題。筆者曾先后聽過三位老師對該題的評講，其中有兩位老師幾乎直接講解命題者提供的參考答案，對思維過程沒有進行必要的分析。另一位老師對題目作了一定的分析，但分析中明顯透露出這樣的痕跡：其思維過程是在對命題者提供的參考解答作了比較詳細的研究后根據參考答案“反推”出來的。上述是在數學解題教學（特別是一些難題講解）過程中普遍存在的兩種做法，它們對提高學生的解題能力并無益處。因為我們的教學并不是教會學生如何做題而是教會學生如何思考，從應試的角度來看，學生走進考場拿到的是一張沒有答案的試卷，需要學生獨立思考并解答。

解題教學是數學教學的一個重要組成部分，它對培養學生思考能力、提升數學思維品質、提高數學素養有著得天獨厚的優勢。而有效的解題教學的一個重要抓手就是實施“導問式教學”，通過“導問”讓學生的思維真正得到發展。

導問式教學指的是“以問題為載體、以導問為手段”的教學方式，其主要特點是教師把與目標問題相關的小問題串成一個問題鏈，通過引導啟發學生主動思考探討，在問題鏈的解決過程中進一步引導學生提問，從而培養學生的問題意識，促進教學目標的達成。

作者曾在學校高三理科班中利用“導問”的方法對本題做了講解，下面呈現本題第（3）小題的教學過程。

1.初審題目，辨析條件。

首先讓學生靜視默念題目（這一步要給學生相對充足的時間，這一點非常重要）。在學生靜視默念題目的同時設置幾個提示性問題：

問題（1） 條件“m，n∈［0，2］”暗示著什么信息？

問題（2） 怎樣理解和應用條件“|m-n|≥1”？

問題（3）“f（m）=f（n）”怎樣理解？能否等價地轉化為與其相關的其他條件？

2.問題剖析，引導思考。

條件“m，n∈［0，2］”表示所研究的兩個量m，n 都在區間［0，2］內，而［0，2］是［0，+∞）的子集。我們從這兩個條件可知現在我們要研究的僅僅是復合函數f（x）的一部分，即當x≥0時f（x）=ex-ax的情形。

條件|m-n|≥1意指在數軸上表示m，n實數的兩個點有什么特性？通過這樣的提問學生很容易回答出這兩個點的距離不小于1。在學生得出這個結論后緊接著導問：結合條件m，n∈［0，2］可以得到什么樣的信息呢？此時讓學生展開討論，通過對“|m-n|≥1”和“m，n∈［0，2］”的不斷重復默念讓學生逐步感知到“兩個實數m，n一個在區間［0，1］內而另一個在區間［1，2］內。換句話說，它們不可能同時在區間的左半部分也不可能同時在其右半部分”，于是我們不妨設“0≤m≤1≤n≤2”，這是一個很重要的突破。但是，為了讓學生更好地理解這一轉化，可進一步導問：“|m-n|≥1 且 m，n∈［0，2］”與“0≤m≤1≤n≤2”等價嗎？學生通過分析很容易知道“|m-n|≥1 且 m，n∈［0，2］”是“0≤m≤1≤n≤2”的充分不必要條件，通過這一問題的追問讓學生知曉在數學問題的解決過程中有時是可以用到“不等價轉換”這一方法的。

如何理解條件“f（m）=f（n）”？不同的學生會對此有不同的理解，教師主要引導學生用直觀的語言翻譯這一條件，很多學生這樣回答：在區間［0，2］內存在兩個不同的自變量 m，n，它們對應著同一個函數值。

教師進一步設計問題：“存在兩個不同的自變量m，n，它們對應著同一個函數值”這句話說明了函數f（x）具備或不具備什么樣的性質？通過不斷重復“存在兩個”這四個字引導學生得出函數“f（x）在區間［0，2］不是單調的”這一重要結論，從而使問題得以簡化。

3.問題再探，步步緊逼。

此時，讓學生充分醞釀，在思考的基礎上明確研究函數f（x）單調性的必要性，于是進一步設計如下問題：

問題（4）當x∈［0，2］時，f（x）的表達式是什么樣的？研究其單調性需要求什么？

問題（5）得出f′（x）=ex-a后，思考“f（x）在區間［0，2］不單調”隱含著什么結論？

此時，對這兩個小問題進行研究得出：a≤2 時函數 f（x）在［0，＋∞）單調遞增，從而在［0，2］也單調遞增，于是不存在滿足條件的m，n，因此a＞0。此時可判斷出函數f（x）在［0，lna）上單調遞減而在［lna，+∞］上單調遞增，此時再次追問：

問題（6） 我們已經知道“f（x）在區間［0，2］不單調”，由此可得出什么樣的結論？

通過師生探討引導學生得出：0＜lna＜2，即f（x）在［0，lna）單調遞減而在［lna，2］單調遞增。進一步設計如下問題：

問題（7）我們可由條件“f（m）=f（n）”得到什么結論？由此可得到什么？

設計這一問題的目的是讓學生理解m，n不在同一個單調區間內，于是得到0≤m＜lna＜n≤2，結合單調性可知：對任意 x∈［m，n］都有f（x）≤f（m）=f（n）。但有一點值得關注：如果學生直接利用這一不等關系，將得到一個與m，n有關的不等式，這顯然與我們最終想要的結論有一定距離。此時，要引導學生追問如下問題：

問題（8） 要證的結論是你認為一般可能會涉及什么知識？注意結論的形式是一個“不等關系”，與我們已經研究的結論有什么關聯之處？

當學生聯想到可能與函數單調性有聯系后進一步追問：所要證的結論中不含字母m與n，這意味著什么？

教師要重復地追問這一個問題，讓學生在不斷的刺激下聯想到這可能與某些特殊自變量所對應的函數值有關系，究竟是哪些“特殊自變量”？讓學生回顧條件發現一個重要數據：f（0）與f（2）。

此時，教師引導學生試求如下兩個值：f（0）＝1，f（2）＝e2-2a，這與目標式似乎有點接近了。但是目標式中涉及“左、中、右”三個式子，現在只有兩個，應該再找一個，找誰呢？

這時，提示學生在分析條件“|m-n|≥1”時曾得到“0≤m≤1≤n≤2”這一重要結論，引導學生聯想到：f（1）＝e－a。

4.目標追尋，形成聯結。

下一步可以提示學生運用分析法尋找條件式與目標式的關系：由知e-1≤a，于是1≥e-a，即f（0）≥f（1）；而由知a≤e2-e，于是e2-2a≥e-a，即f（2）≥f（1），這是我們最終要證明的結論。

5.容納新解，活躍思維。

正在筆者以為講解結束時，一名學生提出了新的想法：“我對條件‘存在實數m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，使得f（m）＝f（n）’是這樣理解的，我認為這一條件的含義是‘存在一個常數t，使得方程f（x）＝t在區間［0，2］有兩個不同的實數解’，這樣一來，我把問題轉化為比較熟悉的‘零點問題’，于是進一步把問題轉化為‘函數g（x）=f（x）-t在區間［0，2］內有兩個不同的零點’”。

筆者不知道這種想法是否可行，但還是非常肯定這位學生的想法，于是在自己沒有任何預先準備的情況下與學生一起進行討論，沒想到效果卻是出奇地好。教學實錄如下——

師：當我們設g（x）=f（x）-t后，題中條件表示著 g（x）在區間［0，2］上有兩個零點，下一步你是怎樣想的？

生：我是按照求零點的方法做的，首先對g（x）進行求導，剛才您也說到當x∈［0，2］時，f（x）=ex-ax，所以當x∈［0，2］時，g（x）=ex-ax-t因此g′（x）=ex-a，很容易知道當a≤0時，函數g（x）=ex-ax-t是單調遞增的，這時它不可能有兩個零點，應舍去，因此a＞0，接下來一步與你講得差不多，也就是當 a＞0 時 g（x）在［0，lna）單調遞減而在［lna，2］單調遞增。

師：很好，接下來怎么辦？

生：由于 g（x）要在 x∈［0，2］上有兩個零點，又考慮到它的單調性，這使我想到了開口向上的拋物線的基本性質，要使它在x∈［0，2］上有兩個零點，就必須使并且它在［0，2］的最小值小于零。

師：不錯，但它的最小值是 g（lna），又怎么處理？

生：我是這樣想的，如果能再從 g（lna）＜0得到所要的結論的話，條件中的|m-n|≥1是多余的，這好像不大可能。當我產生了這樣的質疑后對這一條件再次進行了分析，得出了與您一樣的結論：這兩個零點應該分別位于區間［0，1），（1，2］內，于是又得到了 g（1）≤0。我就從這三個條件將所要的結論證明出來了。

師：為什么不是“小于零”而是“不大于零”？同樣，對 g（0）和 g（2）而言，為什么它是大于等于零，而不是“大于零”？

生：我是考慮到特殊情況，也就是“兩個零點一個正好是零，還有一個在（1，2］內”或者“一個正好是 2，而另一個在區間［0，1）內”，這兩種情況都是可能的，換句話說 g（0）和 g（2）都有可能為零。

師：那么，g（1）呢？為什么是“g（1）≤0”而不是“g（1）＜0”呢？你剛才不是說“g（x）在［0，2］的最小值小于零”嗎？

生：g（x）在［0，2］的最小值是小于零，但g（1）不是 g（x）的最小值，它是可能為零的。

師：考慮得非常周到。

6.完善解法、規范呈現。

下面根據這位學生想法解題如下：

當x∈［0，2］時，設g（x）＝f（x）－t=ex-ax-t，則 g（x）在區間［0，2］有兩個零點。

由 g′（x）＝ex-a，易知當 a≤0 時，g′（x）＞0，g（x）在區間［0，2］單調遞增，它在區間［0，2］不可能有兩個零點。當a＞0時，由g′（x）＞0知x∈（lna，+∞），由g′（x）＜0知x∈［0，lna）。因此，g（x）在［0，lna）單調遞減，而在［lna，2］單調遞增。又 m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，因此 m，n 不可能同時在區間［0，1］或區間［1，2］內。因此要使 g（x）在區間［0，2］有兩個零點，這兩個零點一定分別在［0，1］和［1，2］。

于是

由①②知 e-a≤t≤1，于是 e-1≤a。

由②③知 e-a≤t≤e2-2a，于是 a≤e2-e≤e（e-1）。

即 e-1≤a≤e2-e=e（e-1），得

二、教學啟示

通過本節導問式課堂教學的實踐，我們可以得到如下啟示：

1.課堂教學要尊重學生的需要。

馬斯洛需要層次理論告訴我們：個體成長發展的內在力量是動機。對于高中學生來說他們有一種強烈的表現需求，他們渴望通過表現得到同伴和老師的肯定。課堂教學中教師應充分尊重學生的這種需要，給學生相對充足的展示和發言機會。

2.課堂教學時間要大方“下放”。

正因為“導問式教學”是一種以問題鏈形式出現的教學方式，它更需要教師給學生充足的思考和實踐時間，讓學生在自主探究、主動設問、實驗嘗試中獲得知識的理解，提升自己的能力。如果沒有一定的時間供給作保障，學生的思考只能是淺層次，其學習方式往往也只能停留在聽講這一低級學習活動之中，學習效率也是低下的。

3.課堂教學要給學生以充分的信任。

導問式課堂教學需要給學生一定的自主學習和思考的時間，但是不少教師卻往往無法做到這一點。究其原因除了上述提到的趕進度、片面追求課堂容量以外，很多教師認為知識是靠傳授的，學生受年齡、知識面以及自主學習能力的限制，許多知識是理解不了的。于是他們講課時總是滔滔不絕，正是這種事無巨細的講解磨滅了學生的探究精神和問題意識。其實，學生的能力往往不是我們所想象的那么有限，如果給他們充分的信任，讓他們自主探究、自主學習，他們往往會給我們意外的驚喜。

4.導問問題的設計要精致適切。

從問題解決的角度來看，任何一個問題都是由若干個小問題綜合而成的，問題解決的過程就是將一個綜合的問題分解成若干個小問題，而“導問式教學”的主要目的就是讓學生學會在面對一個全新的綜合問題時如何通過對條件和結論的剖析自主設置一系列小問題，從而培養學生的問題意識，提升問題解決的能力。導問問題的設計務必精致適切，要在學生最近發展區設計問題，跳躍性太大會造成解決問題的難度，使學生望而生畏；相反，設計臺階太小，會降低學生思維難度，也不利于學生自主學習能力的提升。因此，在實施“導問式教學”過程中教師要把自己當作一個教練，而不是一個運動員，精心設計有一定梯度的問題系列，使學生在長期的熏陶和耳濡目染下自覺地形成問題設計的能力，從而最終提升解決問題的能力。

5.“導問式教學”需不斷激勵學生。

由于“導問式教學”是以問題解決的方式進行的，而學生的接受能力和知識基礎不盡相同，因此在問題解決的過程中學生表現出來的水平也是各不相同的。但無論學生表現得怎樣，要想使課堂教學有效，都需要教師發自內心的鼓勵，導問式課堂教學更是如此，因為導問式課堂教學本身就是以問題為載體的，而在問題解決過程中由于思考角度的不同和知識基礎的差異而出現不同的結果甚至有些結果是意料之外的，所以教師都要以積極的姿態給學生激勵。如果學生在出現“錯誤”或者超乎教師預設的“想法”時他所面對的是“冷漠”甚至諷刺批評，那么他的問題意識會大受挫折，問題解決能力的提高也無從談起。