潤澤 鑄就 提升
——兼評許吳山執教的“一元二次方程”一課

/卜以樓

我有幸成為“第十三屆江蘇省‘杏壇杯’蘇派青年教師課堂教學展評”（南通賽區）的評委，觀摩了初中數學課堂教學活動。下面就江蘇南京許吳山老師的“一元二次方程”（第一課時）的教學展示，與大家分享學習體會，并就這次活動“涵養基本素質，提升課堂品質”這一主題，談談教師教學素養的問題。

一、用生長過程來潤澤學生的數學思維

“一元二次方程”這一內容是在“一元一次方程”“二元一次方程組”“分式方程”的基礎上，為滿足解決某些實際問題和進一步學習數學的需要提出的，是體會“方程是刻畫現實世界相等關系的一個有效的數學模型”這一數學觀念的延續。為此，讓學生學習好這部分內容，對于深刻理解方程的意義，體會數學的應用價值具有重要意義。我想，這次展示活動選擇這一課題，其目的也在于此。許吳山老師的教學設計，準確地演繹、展現這一教學意圖。許老師構建本節課的數學活動可以用下列三個“精準”來概括。

1.思維的生長點精準。

建構問題情境，展開課堂學習，是新課程下數學教學的普遍做法。而許老師這節課教學情境并不普通。他把這節課的情境設計成“生活中處處有數學，學校數學興趣小組進行了一天的觀察和記錄，老師節選了其中一段……”這樣的設計新穎而又別致，具有較強的親切感，凸顯了以人為本的教學理念，讓數學課中有人、有事、有靈性、有生命，在此基礎上，通過后續的數學活動，緊扣立德樹人的教育終極目標。

具體地說，許老師將發生在學生身邊的數學事實，讓學生通過數學抽象，建立方程（組）模型，作為本節課的基點，并在此基點上讓學生通過數學思維活動，逐漸生長，讓活動、思維、知識，由小變大、由薄變厚、由弱變強，凸顯了知識生長的理念，使學生感到知識不是從天而降、不是無源之水，而讓學生既見樹木，又見樹林。這為本節課開了一個好頭，也為本節課埋下了生長的種子。可以說，思維的生長點定位精準，是許老師這節課呈現的第一道亮麗風景。

2.思維的拔節點精準。

緊接著，許老師通過“概念歸納（建構活動）、概念辨析（數學化認識）”等教學環節，來設計思維的拔節點，讓學生在課堂學習中形成一串串的生長節，“讓學生體驗生長的過程，感悟生命成長的真諦”［1］，這也成為本節課的第二道亮麗風景。

首先，要求學生對列出的方程、方程組進行分類，此時的分類，不是單純的運用分類的思想對列出的方程作一個程序上的分類，而是通過分類活動，讓學生巧妙而又自然地親歷一元二次方程概念的形成過程。學生在分類的過程中，由于對數學的理解程度各不相同，可能有不同的分類，但是許老師包容不同的方法，運用交流、討論、辯論的方法，最終形成統一的共識。這種共識就是直逼一元二次方程的數學本質，它既是數學知識生長的自然訴求，也是教學活動的價值定位。

其次，讓學生對分類出來的方程、方程組進行數學抽象，直逼一元二次方程的一般形式的核心，以加深對一元二次方程等系列方程（組）概念的理解。這個教學環節，許老師設計了以下三個教學活動。一是讓學生說出一元二次方程的基本概念。因為它們都只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，所以可以把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。二是通過探究活動，讓學生明白只有把方程整理化簡，才能準確判斷一個方程是不是一元二次方程。三是要求學生抽象出一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c＝0（a、b、c 為常數，a≠0）。其中ax2、bx、c 分別為二次項、一次項、常數項，a，b分別為二次項系數、一次項系數，加深了對一元二次方程本質的理解。

3.思維的歸宿點精準。

本節課的歸宿點是什么？那就是用一元二次方程的概念模型去解決數學內部的基本問題。許老師通過“例題探究→課堂小結→拓展延伸”這些環節來實現上述教學目標。為此，鎖定思維的歸宿點，自然成為本節課的第三道亮麗風景。

一方面，許老師將學生的目光再次引入生活中，通過“矩形花圃”這一生活問題，讓學生數學建模后，直接用一元二次方程的概念去解決數學問題，讓學生嘗到本節課學到的知識的重要性，體會學習的力量、知識的價值和魅力。

另一方面，許老師通過一道典型問題的解決，再現本節課的核心知識與技能，教師規范書寫，并配合后測練習，鞏固新知。

最后，許老師通過設計問題，引發學生對探尋一元二次方程解法的思考。根據學生的實際情況，把一元二次方程通過降次轉化為一元一次方程來求解，并適當“留白”，引發學生對數學知識的思考與探索。

二、用數學思維來鑄就教學的課堂品質

我們還可以從用數學思維打造數學課堂品質這一角度，對這節課進行分析研究，歸結起來主要有下列四點。

1.數學味濃。

這里說的“數學味”，就是數學課堂教學要充分體現數學學科特色，充滿理性思維和品質內涵。數學教學品質是數學本質的呈現和把握，數學味越濃，數學課堂教學品質越高。數學教育家張奠宙先生認為：“數學味”表現在數學教學設計中如何體現“數學的本質”“精中求簡”“返璞歸真”，呈現數學特有的“教育形態”，讓學生高效率、高質量地領會和體驗數學的價值和魅力。

許老師設計的這節課數學味很純、很正、很明。提出的問題是數學（數學小組的觀察記錄）、探究的方法是數學（將實際問題進行數學建模）、運用的思維是數學（用數學符號進行數學運算等）、形成的結論是數學（用字母表示一元二次方程的形式）、結論的應用是數學（對列出的方程進行同解變形等），在此過程中累積下來的核心素養還是數學（數學抽象、數學建模、數學推理、數學運算等）。為此，數學課堂教學不僅要充分體現數學學科特色，還要基于數學的教學價值，讓數學教學充滿理性思維和數學哲學的品質內涵，讓學生形成最基本的數學觀，并在此觀念下發現數學問題、提出數學問題、分析數學問題、解決數學問題。

2.思維力強。

數學教學的本質特性就是數學思維，數學課堂上所有的活動必須凸顯訓練思維的價值，只有這樣，數學才能成為啟迪學生智慧的一門學科，才能成為傳承人類文明的一門學科。因此，數學教學必須弄清知識內容、邏輯結構；弄清知識的內在聯系、學科思想；弄清引申意義、文化意蘊。在知識內涵中凸顯數學思維，在數學思維中彰顯數學本質，在數學本質中形成數學素養。

許老師這節課運用“問題鏈”的方式，促使學生思考，必要時采取“追問”的形式（根據思維的層次與深度，適時地設計追問），逼學生不得不思考，凸顯了數學思維的主戰場。整節課學生在“算一算”“說一說”“想一想”“理一理”的思維平臺上馳騁飛揚，學生的思維是靈動的、精神是振奮的、斗志是激昂的、生命是鮮活的。

3.互動性好。

互動性是指教（師）與學（生）共處的一種生命狀態與精神境界，包括氛圍、關系（情態）、方式、節奏、感受等，它是師生同心、同向、同行的精神場所。互動性主要取決于學生的參與性、參與度，學生參與度越高，數學課堂的品位感就越高。

時下的課堂不缺學生的參與，但似乎表面熱鬧多了些，深度思維明顯不夠。表面熱鬧充其量只能算上個體積極參與，而深度思維、深度學習，才算得上是有效參與。理想的課堂應該是積極參與和有效參與的辯證統一，缺一不可。

許老師設計的這節課一開始的問題情境，是學生熟悉的生活情境，解決問題的入口較寬，引發了學生積極參與。隨著學習內容的逐漸深入，提出“你能列出上述問題中的方程嗎”“你能對列出的方程進行分類嗎”“你能給一元二次方程下個定義嗎”等問題，這些問題逐漸抬高了學生思維層次與深度的要求，必然地將學生的積極思維自覺地過渡到深度思維之中，有效地將積極參與漸變為有效參與，巧妙地讓積極參與和有效參與形成辯證的統一。所以說，數學課堂要營造數學氛圍、引發數學思維、關注數學情感，做到簡約而有序，即探究有效、講授有度、指導有力、活動有序、創新有道。

4.效率值高。

高品質的課堂除了要實現上述幾個特性外，還繞不開效率值高這個話題。因為教學永遠是要講究效率，效率值取決于探究的知識密度，落實的訓練強度，達成的目標廣度等，為此必須從以上幾個方面著力研究數學課堂教學。從上述分析可以看出，許老師這節課將上述幾個方面進行了有效的融合，融為一體，較好地踐行了效率值高的品質特性，在這就不再贅述了。當然我們也要反對片面地追求教學效率，要堅持把長遠效益放在首位，即教學中要把形成核心素養這個頭等的教學效益當作第一要務來落實。

三、用課堂品質來提升教師的教學素養

本次“杏壇杯”活動的主題是“涵養基本素質，提升課堂品質”，其目的就是要用高超的教學技能來支撐高質的數學課堂。有什么樣的教師就有什么樣的課堂，為此提升教師的基本素質是實施高品質課堂的堅強保證，我們只有將數學教師的專業素質提升到一個高位的水平，才能使數學課堂品質行穩致遠。數學教師的基本素養除了教育學上公認的幾項之外，我認為還要在以下三個方面進行加以發展和培養。

1.要用好數學元素。

數學之所以區別于其他學科，是由于有其特有的數學元素，這些元素通常包含數學抽象、數學推理、數學模型、數學運算等等。數學抽象其實質就是將數學外部的世界轉化到數學內部中來，它是一個由多變少的過程。正因為此，人們才能認識自然、認識生活。數學推理是在數學內部中，根據數學本身的結構、邏輯、體系，實現由少到多的裂變，于是可以通過數學推理得到很多的數學結論。正因為此，數學才能不斷發展、壯大。數學模型只是讓數學從內部走向數學外部，正因為此，人們才能用數學去改造自然，征服自然，才會在改造自然的過程中認識數學的價值。而數學運算，則是數學與生俱有的瑰寶，具有明顯的數學特質。

數學教師要教好數學，首先就得利用好數學元素來玩數學。而有些數學課堂陳年乏味，缺少活力，數學元素的缺失不能不算是一個致命的硬傷。教師只有用好數學元素，其課堂才是數學課堂，其思維才是數學思維，其學生在學習過程中積累的才能是數學核心素養。否則皆是一紙空談。為此，用好數學元素是數學教師的一項基本素養。

2.要講好思維故事。

既然教師擁有并掌握了挖掘數學元素的技能，那么就得用數學元素“講好數學思維故事”［2］。一節數學課能否引人入勝，關鍵就看它的故事性強不強。數學課的思維故事與其他學科的故事又不盡相同。數學思維故事，就是在數學元素下，種下一粒種子，讓其在數學邏輯下不斷地長大，直到開花、結果，再形成種子，再播種……這樣往復循環下去，最終形成故事林。

數學教師講數學思維故事的關鍵，要善于將“學術形態的數學”轉化成“教育形態的數學”。例如，一元二次方程的發現、求解與應用的學術形態，一定是現在普遍認為的先給一元二次方程下個定義，再用一些有效的方法求出它的解，最后再利用它去解決實際問題。如果按這個學術形態去讓學生學習，學生可能感到乏味，因為學生不知道為什么讓他去做這樣一系列的事情，所以數學課極有可能失去吸引力。如果將之轉化為教育形態，像許老師這樣，先通過數學課外興趣小組的一些記錄，用“主題式問題情境”來調起學生胃口，激發興趣，然后對得到的方程進行分析，自然想到要對之進行分類，分類后發現有些方程對于學生是陌生的，所以就對這些陌生的方程產生興趣，于是就得對這些陌生的方程進行仔細研究，隨之便會得到一元二次方程的一般形式。上述環環相扣的教育形態，將這思維故事推向了高潮。最后再運用這個一般形式去解決一些純數學問題，讓學生體驗到學習的好處與價值，給這個故事寫上了一個完美的句號。

由此看來，將數學的學術形態轉化為教育形態，是教師的一份責任；用數學元素講好數學思維故事，是數學教師必備的另一項基本素質。

3.要弘揚理性價值。

理性價值是以知識和真理為中心，強調通過理性思維的方式發現真理，它是由人的思維構造的理論體系。這種價值觀，不僅在自然學科中得到體現，而且已由自然科學深入到經濟、政治以及社會科學的一切領域，它為人們提供了理性思維的范式。

我們在教學中，強調“良好的數學教學活動，應突出數學的特點，揭示數學知識產生的自然性與合理性，既講推理和結論，也講道理和緣由。基于感性發展理性，讓數學的理性價值在教學過程中鮮活地流淌，讓數學教學活動閃耀理性、智慧的光芒”［3］，正是弘揚理性價值的具體體現。因此，我們要深挖數學中的理性資源，讓弘揚理性價值成為我們數學教師的一項基本技能。