二項(xiàng)分布要點(diǎn)解讀

寇玉琴

二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量中繼“兩點(diǎn)分布”“超幾何分布”后的又一常見的、重要的隨機(jī)變量的概率分布.其分布的特殊性以及與組合、概率等的綜合性，使它成為近幾年高考中的高頻考點(diǎn). 本文從二項(xiàng)分布的概念、二項(xiàng)分布的三種常見題型兩個(gè)大方面出發(fā)，列舉幾個(gè)典型范例加以解讀，以期幫助讀者有效掌握二項(xiàng)分布知識(shí)，準(zhǔn)確解答二項(xiàng)分布問題.

辨析二項(xiàng)分布模型，正確寫出分布列

例1 在一次數(shù)學(xué)考試中，第[22]題和第[23]題為選做題. 規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題. 設(shè)[4]名學(xué)生選做每一道題是相互獨(dú)立的，且選做每道題的概率均為[12].

（1）求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；

（2）設(shè)這[4]名考生中選做第[22]題的學(xué)生個(gè)數(shù)為[ξ]，求[ξ]的分布列.

解析 （1）設(shè)事件[A]表示“甲選做第[22]”，事件[B]表示“乙選做第[22]”，

則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“[AB+AB]，且事件[A，B]相互獨(dú)立.

故[P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）]

[=12×12+（1-12）×（1-12）=12].

（2）由題意知，隨機(jī)變量[ξ]的可能取值為[0，1，2，3，4，]且[ξ～B（4，12）].

則[P（ξ=k）=Ck4（12）k（1-12）4-k=Ck4（12）4， k=0，1，2，3，4].

故變量[ξ]的分布列為

點(diǎn)評(píng) 題目中“[4]名學(xué)生選做每一道題是相互獨(dú)立的，且選做每道題的概率均為[12]”，說明了它是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，并且每次事件發(fā)生的概率都是[12]. 因此它符合二項(xiàng)分布的兩個(gè)條件，是典型的二項(xiàng)分布模型.

例2 在公園游園活動(dòng)中有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有[3]個(gè)白球和[2]個(gè)黑球，乙箱子里裝有[1]個(gè)白球和[2]個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出[2]個(gè)球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱. 若摸出的白球不少于[2]個(gè)，則獲獎(jiǎng).

（1）求在一次游戲中摸出[3]個(gè)白球的概率；

（2）在兩次游戲中，記獲獎(jiǎng)的次數(shù)為[X]，求[X]的分布列.

解析 （1）記“在一次游戲中摸出[3]個(gè)白球”為事件[A]，事件[A]的概率為[P（A）]，

則[P（A）=C23C12C25C23=15].

故在一次游戲中摸出3個(gè)白球的概率[15].

（2）記“一次游戲獲獎(jiǎng)”為事件[B]，事件[B]的概率為[P（B）]，

則[P（B）=C23C22+C13C12C12+C23C12C25C23=710].

而獲獎(jiǎng)次數(shù)為[X]的所有可能取值為0，1，2，

由題意知，[X～B（2，710）].

[P（X=0）=310×310=9100]，

[P（X=1）=C12×710×310=2150]，

[P（X=2）=710×710=49100].

則[X]的分布列為

[[X] 0 1 2 [P] [9100] [2150] [49100] ]

點(diǎn)評(píng) “每次游戲結(jié)束后將球放回原箱”點(diǎn)明了是有放回地[n]次摸球試驗(yàn)，這是典型的二項(xiàng)分布模型. 值得注意的是，有時(shí)超幾何分布在產(chǎn)品數(shù)量[n]相當(dāng)大時(shí)，也可以近似地看成二項(xiàng)分布.

判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：（1）是否為[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中事件[A]發(fā)生的概率是否均為[P]；（2）隨機(jī)變量是否為在這[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生（不發(fā)生）的次數(shù).

掌握二項(xiàng)分布概念，會(huì)計(jì)算期望和方差

例3 （1）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在[2]次試驗(yàn)中成功次數(shù)[X]的均值是 .

（2）一批產(chǎn)品的二等品率為[0.02]，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取[100]次，[X]表示抽到的二等品件數(shù)，則[D（X）=] .

解析 （1）由于同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，

所以這次試驗(yàn)成功的概率是[P=1-（12）2=34].

因此在2次試驗(yàn)中成功的次數(shù)[X～B（2，34）].

則[E（X）=2×34=32].

（2）由題意知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中[X～B（100，0.02）]，[P=0.02，n=100].

則[D（X）=100×0.02×0.98=1.96].

點(diǎn)評(píng) 這道題的選材來源于生活，是同學(xué)們熟悉的背景，容易入手. 題目中“有放回地抽取”就說明了它是二項(xiàng)分布模型. 另外，本題考查的是二項(xiàng)分布的期望與方差，直接用公式計(jì)算比較簡(jiǎn)單.

明確交匯知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型

例4 近幾年來，某地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)霧霾天氣，學(xué)校為了學(xué)生的健康，對(duì)課間操活動(dòng)做了如下規(guī)定：課間操時(shí)間，若有霧霾，則停止組織集體活動(dòng)；若無霧霾，則組織集體活動(dòng). 預(yù)報(bào)得知，這一地區(qū)在未來一周從周一到周五[5]天的課間操時(shí)間出現(xiàn)霧霾的概率是：前[3]天均為[50]%，后[2]天均為[80]%，且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨(dú)立的.

（1）求未來一周[5]天至少一天停止組織集體活動(dòng)的概率；

（2）求未來一周[5]天不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)[X]的分布列；

（3）用[η]表示該校未來一周[5]天停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)，記“函數(shù)[f（x）=x2-ηx-1]在區(qū)間[（3，5）]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件[A]，求事件[A]發(fā)生的概率.endprint

解析 （1）未來一周[5]天都組織集體活動(dòng)的概率是：[P=（12）3（15）2=1200]，

則至少有一天停止組織集體活動(dòng)的概率是：[1-P=199200].

（2）由題意知，[X]的取值是[0，1，2，3，4，5].

[P（X=0）=225]，

[P（X=1）=（12）3×C12×45×15+C13×（12）3×（45）2=725]，

[P（X=2）=C23×（12）3×（45）2+C13×（12）3×C12×15×45]

[+（12）3×（25）2=73200，]

[P（X=3）=C13×（12）3×（15）2+C23×（12）3×C12×15×45] [+（12）3×（25）2=43200，]

[P（X=4）=C23×（12）3×（15）2+（12）3×C12×15×45=11200]，

[P（X=5）=（12）3×（15）2=1200].

則不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)[X]的分布列如下表.

（3）因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）=x2-ηx-1]在區(qū)間[（3，5）]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且[0≤η≤5]，

所以[f（3）f（5）<0.]

所以[83<η<245.]

所以[η=3，或η=4.]

所以事件[A]發(fā)生的概率為：

[P（A）=C13（12）3×（45）2+C23（12）3×C12×15×45+（12）3×（25）2]

+[（12）3×C1245×15+C23（12）3×（45）2]

[=129200.]

點(diǎn)評(píng) [n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特殊情況.當(dāng)相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率部分相同時(shí)，可以用二項(xiàng)分布公式來表達(dá).

例5 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取[16]個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）. 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布[N（μ，σ2）]. 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記[X]表示一天內(nèi)抽取的[16]個(gè)零件中其尺寸在[（μ-3σ，μ+3σ）]之外的零件數(shù)，求[P（X≥1）]及[X]的數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量[Z]服從正態(tài)分布[N（μ，σ2）]，則[P（μ-3σ

解析 由題意知，尺寸落在[（μ-3σ，μ+3σ）]之內(nèi)的概率為[0.9974].

則尺寸落在[（μ-3σ，μ+3σ）]之外的概率為[1-0.9974=0.0026].

因?yàn)閇P（X=0）=C016（1-0.9974）0×0.997416=0.9592]，

所以[P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408].

則[E（X）=16×0.0026=0.0416].

點(diǎn)評(píng) 二項(xiàng)分布與頻率分布直方圖（或莖葉圖）、正態(tài)分布、獨(dú)立性檢驗(yàn)等的綜合已經(jīng)成了高考的創(chuàng)新題型與高考一大亮點(diǎn). 解決二項(xiàng)分布的創(chuàng)新性、交匯性問題，務(wù)必要明確交匯知識(shí)，正確應(yīng)用相關(guān)知識(shí)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.

[練習(xí)]

1. 下列說法正確的是________. （填序號(hào)）

①某同學(xué)投籃的命中率為[0.6]，他[10]次投籃中命中的次數(shù)隨機(jī)變量[X]，[X～B（10，0.6）]；

②某福彩的中獎(jiǎng)概率為[P]，某人一次買了[8]張，中獎(jiǎng)張數(shù)隨機(jī)變量[X]，[X～B（8，P）]；

③從裝有[5]個(gè)紅球、[5]個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹梗瑒t摸球次數(shù)[X]是隨機(jī)變量，且[X～B（n，12）].

2. 已知隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布[Bn，P]，若[EX=30]，[DX=20]，則[P=] .

3. 在等差數(shù)列[an]中，[a2=2，a7=-4]，現(xiàn)從[an]的前[10]項(xiàng)中隨機(jī)取數(shù)，每次取出一個(gè)數(shù)，取后放回，連續(xù)抽取[3]次. 假定每次取數(shù)互不影響，那么在這三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為______. （用數(shù)字作答）

4. 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子[n]次，設(shè)出現(xiàn)[k]次點(diǎn)數(shù)為[1]的概率為[Pn（k）]，若[n=20]，則當(dāng)[Pn（k）]取最大值時(shí)，[k]為（ ）

A. [3] B. [4] C. [8] D. [10]

5. 2017年4月9日在湖北省武漢市舉行了國(guó)際馬拉松賽事，賽后某機(jī)構(gòu)用“[10]分制”調(diào)查了很多人（包括普通市民、運(yùn)動(dòng)員、組織者、志愿者等）對(duì)此項(xiàng)賽事的滿意度. 現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取[16]名，莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）.

[7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 ]

（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).

（2）若滿意度不低于[9.5]分，則稱被調(diào)查者的滿意度為“極滿意”. 求從這[16]人中隨機(jī)選取[3]人，至多有[1]人是“極滿意”的概率.

（3）以這[16]人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從被調(diào)查群體（人數(shù)很多）任選[3]人，記[ξ]表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求[ξ]的分布列及數(shù)學(xué)期望.

[參考答案]

1. ①② 2. [13] 3. [625] 4. A

5. （1）眾數(shù)：[8.6]；中位數(shù)：[8.75] （2）[121140]

（3）[ξ～B（3，14）] [Eξ]=[0.75]