數形結合比翼雙飛

倪阿亮??

摘要：解三角形是高中數學的重要一章，在本章中主要以正弦定理和余弦定理為主，公式靈活多變，同時又緊密聯(lián)系三角函數、平面向量等章節(jié)，學生在學此章節(jié)內容中不能將公式靈活運用，方法比較呆板。

關鍵詞：解三角形；數形結合；正弦定理；余弦定理

本文通過以數形結合的思想為主體，對2011年卓越聯(lián)盟的試題進行多角度的分析，既系統(tǒng)地復習了解三角形這一章節(jié)的基礎知識，又拓展了解題思路和激發(fā)了思維火花，同時提煉出最佳解法，優(yōu)化解題思路。從而達到減輕學生學業(yè)負擔，提高整體復習效果的目的。

在△ABC中，AB=2AC，AD是∠A的角平分線，AD=kAC。

（1）求k的取值范圍；

（2）若S△ABC=1，問k為何值時，BC最短。

解法一：正余弦定理應用

（1）∵S△ABD+S△ADC=S△ABC，

∴12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD|sinθ=12|AB||AC|sin2θ，∴k=43cosθ

∴k∈0，43

（2）∵S△ABC=12·2·|AC|2sin2θ，∴|AC|2=1sin2θ，以下三角形各邊用三角函數表示。∴|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos2θ=5sin2θ-4cos2θsin2θ=5-4cos2θsin2θ

令t=5-4cos2θsin2θ，∴5-4cos2θ=tsin2θ，∴t2+16≥5，∴|BC|≥3

cos2θ=45=2cos2θ-1，∴k=2510

在解三角形中，運用正弦定理、余弦定理解決問題是一種典型方法。通常解題到此已經結束，不過深入研究此題，發(fā)掘其背后的幾何特性，更符合新課改的要求。因為只有教師站在高觀點下看待高中問題，才能讓學生更深刻的理解數學問題本質，從而舉一反三，提高復習效率。

解法二：數形結合（補形）

延長AC至E，使得AC=CE，連接BE，過C作CF//BE，過B作BG⊥CF，AH⊥BE，α=∠CAF，α∈0，π2

（1）由題意知D為等腰△ABE的重心，

AF=12AH=12·32AD=34AD=34kAC，cosα=AFAC

，∴cosα=34k，k∈0，43

（2）設AC=x，由三角形相似可知，BG=AF=xcosα，GC=3FC=3xsinα

∴BC=BG2+GC2=x2（cos2α+9sin2α），∵2S△AFC=12=12x2sin2αx2=1sin2α，∴BC=cos2α+9sin2αsin2α=cosα2sinα+9sinα2cosα，當且僅當3sinα=cosα時，BC取到最小值。此時k=43cosα=2510

在解三角形中，其實質上是對于幾何問題的求解，在解題時試著回歸到幾何的性質上，對于題目的解決將會有很大的幫助，同時可以拓展學生思維，更好地理解題目的本質。

華羅庚先生曾經指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事非。”數和形在內容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，互相轉化，它們是高中數學的兩塊基石。同時數形結合是高中數學的一種重要思想方法。上述解法借助平面圖形坐標化，實現(xiàn)了幾何問題代數化，為該問題的解決又提供了新的解題思路，同時也開拓了思維，對于問題的理解更加深入。

對于這道題，還可以試著做如下推廣：

在△ABC中，AB=αAC，AD是角A的角平分線，AD=kAC，問：

（1）α為何值時，k有最小值；

（2）若S△ABC=1，問k為何值時，BC最短。（用α表示）。

作者簡介：倪阿亮，浙江省溫州市永嘉中學。endprint