把握教材例題功能 優化課堂教學

摘 要：優化課堂教學關鍵要解決好教什么、怎么教的問題。一道題被選為例題，肯定具有代表性。深入挖掘例題功能，利用好例題，不但能很好地完成教學任務，更利于培養學生思維，提高學生學習的興趣。例題教學能讓教師更深刻體會教材編寫者的意圖，準確把握知識傳授的時機、準度、難度，優化課堂教學。

關鍵詞：例題功能；拓展；思維；思想；優化教學

《課標》指出：“教師是教材的執行者，更是教材的開發者和創造者”。教師通過教材進行備課、上課、布置作業及檢查學生學業成績等教學活動，學生利用教材進行自主學習，教材為師生的教與學提供原始材料。作為教材的重要組成部分的例題，具有典型性、示范性和關聯性，因此它安排在不同地方，其目的和作用都不一樣。有的為了引出概念，有的為了推導某個公式，有的為了強調某種思維方法或解題技巧。設置例題的目的是引導與培養學生應用基本理論知識分析解決問題的能力。因此，教師必須領會和認識例題的潛在功能，調動學生學習數學的積極性，激活學生的思維。

一、 把握例題的“暗示”，適時適度補充新知識

學生剛入高一學習函數時，總有一種迷茫的感覺：知識點多，方法多，又抽象。教師在備課中也很糾結：什么時候補充，補充什么，到什么程度？如何幫學生形成知識體系？教材中的例題恰好“暗示”我們如何解決這個問題。

人教版必修1第二章《函數及其表示》。 課本P17

【例1】 已知函數f（x）=x+3+1x+2。

（1）求函數的定義域；

（2）求f（-3），f23；

（3）當a>0時，求f（a），f（a-1）的值。

學生可能會困惑：函數三要素為什么只舉例求定義域，沒有求對應法則、值域的例題？這就“暗示”應在此處可以補充一次、二次函數在給定區間

的值域。如：求y=2x+3，x∈[-1，2]的值域；求y=x2-2x-3，x∈[0，3]

的值域等簡單的值域問題。事實上課本課后作業A組題第3、9題就出現求值域問題，恰好驗證這種“暗示”的存在。至于對應法則的學習主要以解析式為主，這涉及函數的表示法。

如：課本P19頁例3 某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個筆記本需要y元。試用函數的三種表示法表示函數y=f（x）。課本P20頁為此例配了一個思考：比較三種表示法，它們各自的特點是什么？所有的函數都能用解析法表示嗎？解析式是表示函數的最常見的一種形式，這不正“暗示”需補充求函數解析式的方法。這也呼應函數三要素中求對應法則的補充。

課本中這幾道例題“暗示”，提醒我們在平時教學中圍繞知識系統適時適度補充相關新知識。

又如：課本P21 例3 畫出y=|x|的圖像。

此例引出的知識是分段函數。這是高中階段接觸的第一個新函數，又是與初中知識相關聯，既熟悉又陌生。結合本單元所學內容，可以感受到此例在暗示研究一個函數的基本步驟方法：解析式——定義域——值域——圖像。因此本例教學就不能簡單教學y=|x|的圖像，而應該引入分段函數的定義域、值域、圖像，進而擴展到函數圖像的常見變換：平移變換、翻折變換等知識。

例題的這些“暗示”讓我們教學思路更清晰、目的更明確，教學更有層次、有條理。

二、 利用例題適度拓展，培養學生發散思維

“一題多解”“一題多變” 的教學活動，利于激勵學生進行聯想和猜想，培養發散思維的能力。在平時教學中，教師有意識地通過課本例題引申拓寬，可以開闊學生思路，把基礎知識和方法進行融會貫通，靈活運用，又可以訓練和培養他們發散思維。

（一） 突出知識應用的一題多解

以新知識應用為前提，根據知識的發展需要引出的“一題多解”，既鞏固新知又拓寬學生思維。

如：人教版必修5課本P44 2.3 等差數列的前n項和

【例2】 已知一個等差數列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220。由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？

解法一：由sn=na1+n（n-1）2d，列方程組求解；突出基本量計算。

解法二：設sn=An2+Bn，代入條件求解。靈活運用公式，也為了后續從函數角度分析前n項。

和作鋪墊

提出思考：如何求前30項和？

又引出新解法：s20-s10=a11+a12+…+a20=5（a11+a20）=5（a1+a30）

在此基礎上 猜想：s10，s20-s10，s30-s20的關系？推廣引出前n項和的性質。

在此例教學中，既強化等差數列前n項和公式，又揭示新知識“等差數列前n項和的性質”的知識來源。

（二） 突出模塊知識的綜合應用的一題多解

人教版選修模塊內容既體現知識的發展提高，更體現各模塊知識的綜合。這種各模塊知識的交叉應用的解法多樣性，讓例題教學更加豐富多彩，利于調動學生學習的積極性。

如：人教版選修2-2課本P87 2.2.1 《綜合法和分析法》

【例3】 求證：7+3<25。

證法一：分析法。這是課本提供的方法，目的在于鞏固新知。

證法二：估算。7大約在2.6到2.7之間，3約等于1.732…，5約等于2.236…得證。此法考驗學生的數感，這也是需要培養的核心素養之一。

證法三：考慮被開方數3，5，7成等差數列，把7+3<25化為

7-5<5-3構造函數

f（x）=x-x-2，x>2利用f′（x）<0，f（x）遞減得

f（7）

證法四：從結論形式上猜想基本不等式7+322<

（7）2+（3）22。

多角度開放，檢驗學生知識綜合應用能力。

（三） 基于例題背景的變式教學

通過變換例題的題設、結論、設問等引申出新的問題，在變式中發展學生思維靈活性。在教學過程中有意識對例題總結、提煉和靈活運用，深度挖掘數學例題的教學功能。“一題多解”“一題多變”教學活動，不僅利于培養學生的創造能力，還可以幫助學生深刻理解知識的系統性、特殊性、廣泛性。

如：人教版選修2-1課本P41 2.2.1 《橢圓及其標準方程》

【例3】 設點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相較于點M，且它們的斜率之積是

-49，求點M的 軌跡方程。

變式一：條件一般化。若點A、B的坐標分別為（-a，0），（a，0）呢？

變式二：交換條件與結論。若點M是橢圓

x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不同于左右頂點的任意一點，點A、B是左右頂點，求直線AM、BM的斜率之積。

變式三：改變條件：點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相較于點M，且它們的斜率之積是

49。求點M的軌跡方程。此時是雙曲線，為后續學習做準備。

變式四： 斜率之積是k呢？

這樣的教學設計能讓學生感受變式的原理，體會特殊與一般的思想。

三、 例題可以促進學生的思維形成，提升學生數學核心素養

數學思維形成是建立在對高中數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的，不完全是解題活動，而解決問題是發展高中學生數學思維最有效的方法。在解題過程中體現思維的形成過程，提升學生的數學素養。

（一） 例題的解答過程就是思維形成過程

如：必修5課本P99 3.4 《基本不等式》

【例1】 （1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

表面上看此例是基本不等式的直接應用，實際上此例有兩大優點：

①體現數學核心素養。建模——把熟悉的實際問題概括為抽象的數學問題。歸納概括——問題的解決可以歸納概括基本不等式在求最值的應用：和定積最大；積定和最小。邏輯性——在基本不等式應用中對取等條件的判斷也利于培養思維縝密。

②整個解答過程恰好是應用基本不等式的思維過程（一正二算三取等），也體現解決問題的思維過程：條件判斷——計算——檢驗。

（二） 例題有助于逆向思維培養

若學生的正向思維活躍，容易形成思維定勢，不利于學生數學核心素養的培養。因此，教師要在例題教學中對學生進行逆向思維培養，突出公式、定理或規律的逆向教學。

如：選修2-1課本P70 2.4.2 《拋物線的簡單幾何性質》

【例5】 過拋物線焦點F的直線交拋物線與A、B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線與點Q，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。

從結論出發可得：過拋物線焦點F的直線交拋物線與A、B兩點，直線DB平行于拋物線的對稱軸交準線與點D，求證：點A、O、D三點共線。

此例突出規律的逆向教學。

又如：人教版必修4課本P140 3.2 簡單的三角恒等變換

【例2】 求證：

（1）sinαcosβ=12[sin（α+β）+sin（α-β）]；

（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2。

雖然積化和差、和差化積公式不作考試要求，教學中很多教師會忽略此例，但作為一種思維訓練，此例體現公式的逆用。

（3）例題教學滲透數學思想方法

數學思想方法的培養不是一朝一夕就可以做到，需要教師平時教學中有意識地進行滲透。例題作為教材主要構成部分，為滲透數學思想方法提供大量機會。

如：人教版必修5課本P31 2.1 數列的概念與簡單表示法

【例3】 設數列{an}滿足a1=1an=1+1an-1（n>1），

寫出這個數列的前5項。

表面上是代入計算問題，但深層次的問題是：有限與無限思想的滲透。把握這點，學生對遞推公式表示數列就會有更深刻的理解。若再問“根據前5項，寫出數列的一個通項公式”又能讓學生體會通項與遞推的關系。這樣，此例的功能才被充分發揮。

四、 例題具有示范引領功能

解題的規范性有利于幫助學生鞏固知識和形成正確的思維方式。例題是規范解題的最佳參照樣本。所謂規范解題，就是按照一定的形式、格式進行的層次分明、結論明確的解題過程。解題規范包括：步驟過程規范、思路規范、書寫表達規范、分類討論規范等。高中數學學習中，有些題目的解答是有嚴格規范要求的。如定義法證明函數單調性、立幾證明中定理的應用書寫格式要求、分析法和反證法描述、數學歸納法的書寫模式等。教學中充分利用有關例題培養學生規范的書寫習慣，通過規范的書寫促進思路的規范。

當然，例題的功能很多。教師只有用心去體會例題意圖，明確例題的目的和要求，在教學中才會有所側重。只有充分挖掘例題功能，才能合理安排教學，優化課堂教學。

作者簡介：李俊文，福建省將樂縣第一中學。endprint