電磁場和圓周運動結合研究探討

張雪梅

摘 要：圓周運動作為一種特殊的曲線運動，在物理電磁學中常與電磁場等內容進行有機結合，成為考試熱點同時對我們來說也是一個難點。本文對電磁場與圓周運動的結合進行研究探討，通過研究帶電粒子在電磁場中的圓周運動規律，得出解決這類問題主要是要找圓心、求半徑和畫出運動軌跡，并通過實例進行講解，讓我們能夠熟悉和掌握此類復雜問題。

關鍵詞：勻強磁場；洛倫茲力；圓周運動

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）01-0249-02

1 前言

圓周運動在電磁場方面的應用十分廣泛，帶電粒子在磁場中做圓周運動考察的知識面較廣，是考試的重點范圍，經統計其已經連續作為物理考試的壓軸大題，對我們來說解決此類問題十分關鍵且必須。在我們解決這類問題時，主要抓住“一找圓心，二求半徑（），三求周期（）”。接下來對這三步就行歸納總結：

1.1 基本思想

求解此類問題首先要掌握以下兩點基本思路：（1）我們都知道帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動時是由洛倫磁力提供向心力，即。（2）同時，因為該運動是個圓周運動，由數學上圓相關知識可知，必滿足垂徑定律。

1.2 思路和方法

1.2.1 找圓心

帶電粒子在有界磁場中的軌跡是一個圓弧，解決問題的關鍵在于確定出軌跡的圓心。在這方面已有許多文獻進行了相關研究，總結起來大致有以下幾種方法：

（1）方法1：如果已知粒子在有界磁場中軌跡上任意兩點的速度方向，由圓心一定在和速度方向垂直的那條直線上以及洛倫茲力F垂直于速度v的定理，分別確定出兩點洛倫茲力F的方向，其交點即是粒子運動軌跡的圓心。

（2）方法2：如果已知粒子運動軌跡上的某一點的速度方向以及另一點的位置，和方法1一樣，先做出速度方向上的垂線，然后將已知兩點連接起來，做出該連線的中垂線。做出的這兩條直線的交點即為圓弧軌跡的圓心。

（3）方法3：若已知粒子軌跡上的兩點和能求得的半徑R，則可作出此兩點連線的中垂線，從連線的端點到中垂線上的距離為R的點即為圓心。

1.2.2 求半徑

在確定好圓弧軌跡的圓心之后，半徑也就迎刃而解了。主要有以下兩種求解半徑的方法：（1）運用物理規律，由，可推出：。

（2）可運用平面幾何知識來求半徑的長度。

1.2.3 求時間

為求粒子在有界磁場中的運動時間，首先得求出粒子運動軌跡對應的那個圓心角設為，且已知帶電粒子在磁場中一周的運動時間是T，則時間t可表示為：。由該公式可以看出：（1）粒子軌跡所對應的圓心角越大，時間就越久。且運動時間與粒子運動軌跡的長度和半徑都沒有關系。（2）由周期可以看出，粒子運動一周的時間T與粒子比荷和磁場相關，但和粒子運動速度大小是無關的。

2 實例分析

上述已經對圓心、半徑以及時間的確定方法做了一個簡單的綜述，接下來運用幾個實例對粒子在磁場中的圓周運動進行分析，讓我們能夠熟練掌握其運動規律和特點并且能靈活運用這些規律來解決相關問題。

（1）兩平行直線之間存在如圖1所示的勻強磁場，兩帶電粒子沿MN方向射入到該磁場中，并分別以速度v1和v2射出磁場。求1）兩粒子射出磁場速度v1：v2？2）兩帶電粒子通過該勻強磁場所需時間t1：t2？

解析：根據前述解題步驟，利用求圓心的方法1做出速度的垂直支線，可分別確定兩粒子的圓心，并且利用上述確定半徑和時間的方法就可以很容易的求解出答案。由圖中幾何關系，兩粒子圓弧軌跡半徑存在以下關系：

所以可得出兩粒子運動時間之比：

（2）有一個圓形的勻強磁場，半徑為r，如圖1所示。一個帶電粒子從M點沿著半徑的方向以速度vo射入該勻強磁場，經過一段時間之后由N點射出，O點為軌跡的圓心。已知角MON等于120度，求：粒子在磁場中的運動時間以及偏轉半徑R。

分析：首先確定粒子運動圓弧軌跡的圓心，由上述方法1可知，過M、N兩點分別作出半徑OM以及ON的垂線，這兩條垂線的交點就是運動軌跡的圓心，如圖2所示。圓心確定之后半徑也就確定下來了，根據圖2運用幾何知識，可以看出半徑R：

又由公式可以推出：

所以粒子軌跡的運動時間：

（3）在xy坐標中y<0的部分存在均勻磁場示于圖3。強度為B的磁場指向紙外且垂直于平面。一個帶正電的粒子從O點射進磁場，速度為vo，方向為與x坐標軸正向存在夾角。已知粒子在經過磁場之后在距離O點單位1的位置射出，求粒子的電量q與質量m的比值。

分析：因為該粒子帶正電，進入電場之后在洛倫茲力的作用下將沿著圖4示出的圓弧軌道運動，從點A射出磁場，由已知可得距離OA=1。確定出射出位置且已知射入方向，則由方法2可得出運動軌跡的圓心C，并設半徑為R，運用幾何知識就可求解此題。

3 結語

電磁場和圓周運動結合對我們來說是一個重點也是難點，在分析帶電粒子在電磁場中的圓周運動時，只要能夠根據以上方法確定出圓心，半徑以及時間，問題就能迎刃而解。

參考文獻

[1]程傳滿.“帶電粒子在有界磁場中的勻速圓周運動”案例研究[J].湖南中學物理， 2015，（12）：60-63.

[2]尹鵬.解決磁場中圓周運動問題的一般方法[J].試題與研究：教學論壇，2011，（2）：70-71.

[3]吳偉俊.帶電粒子在磁場中做圓周運動的求解策略[J].中學課程輔導：教學研究， 2015， 9（21）：191-191.

[4]侯建敏.磁場中圓周運動問題“弦外有音”[J].河北理科教學研究，2013，（5）：24-28.

[5]應德勇.弦長與帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的完美結合[J].中學生數理化：高二高三版，2016，（21）：31-34.

[6]郭文教.帶電粒子在勻強磁場作勻速圓周運動的求解策略[J].數理化解題研究，2016，（28）：69-70.

[7]王志明.帶電粒子在磁場中做非勻速圓周運動問題探析[J].理科考試研究：高中版，2016，23（8）：48-48.

[8]萬璟.帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動[J].讀書文摘，2016，（20）：75.

[9]劉崎.讓“軌跡圓”動起來——分析帶電粒子源在磁場中做圓周運動的臨界問題[J].中學物理教學參考，2016，（4X）：56-57.

[10]王平水.破解帶電粒子在磁場中的圓周運動問題——定圓心、算半徑、畫軌跡[J].考試：高考理科版，2005，（2）：36-36.endprint