具有Beddington-DeAngelis發生率的隨機SIS傳染病模型的定性分析

， ，，同遷

(山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

1 引言與模型建立

傳染病是人類的宿敵,人類的歷史充斥著與傳染病的斗爭。傳染病給人類造成了巨大的災難,天花、霍亂、艾滋病等讓人聞之色變[1]。為了控制傳染病,研究者建立了很多數學模型去研究傳染病的傳播動力學[2-6]。在傳染病動力學中,重要的數學模型是KERMACK和MCKENDRICK在1927年提出的倉室模型[7]。在這個倉室模型中,人們被分為三個相互隔離的倉室：易感者倉室“S”,染病者倉室“I”,以及恢復者或移出者倉室“R”。在模型中,易感者可以通過與染病者接觸而轉化為染病者,而染病者可以通過治療轉化為恢復者或移出者,并獲得永久的免疫能力,這個模型被稱之為SIR模型。然而有些疾病并不符合SIR模型,比如流行感冒,患者經過治療后,不能獲得永久免疫力,還有再次感染該種疾病的可能。這樣建立的模型被稱為SIS模型[8]。文獻[7-8]中采用了常見的非線性傳染率-雙線性傳染率βSI。研究者還研究了很多其他類型的非線性傳染率[9-11]。

眾所周知,隨機噪聲因素在傳染病的傳播中起著重要作用,因此,許多學者對傳染病模型隨機性的影響進行了研究[12-13],不同的隨機干擾方法被引入到傳染病模型當中,并取得了很好的結果[14-23]。 基于以上文獻分析,考慮傳染率受到隨機白噪聲干擾即β→σdB(t)及人口輸入、因病死亡率等因素,建立了一類具有Beddington-DeAngelis發生率的隨機型SIS傳染病動力學模型：

(1.1)

這里A表示人口的輸入率(包括人口的出生和遷入),a和b是測量抑制效果的參數,α表示因病死亡率,σ2是噪聲強度,B(t)是標準布朗運動。

2 預備知識

定義2.1對于模型(1.1),

幾乎處處成立。

引理2.4(伊藤公式) 設x(t),t≥0是方程dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),0≤t<∞的解,V∈C2,1(Rn×R+;R)。則函數V(x(t),t)仍是一伊藤過程,具有如下隨機微分：

dV(x(t),t)= [Vt(x(t),t)+Vx(x(t),t)f(x(t),t)

上式稱為伊藤公式。

3 模型的分析

3.1 確定型SIS傳染病模型的定性分析

首先我們考慮確定性SIS傳染病模型：

(3.1)

下面考慮模型(3.1)的平衡點的穩定性。

模型在疾病消除平衡點E0:(S0,0)處的雅可比矩陣為

顯然,若R<1，則疾病消除平衡點E0:(S0,0)是局部穩定的; 若R>1，則疾病消除平衡點E0:(S0,0)是不穩定的。

其特征方程為

λ2+(a11+a22)λ+a11a22-a21a12=0,

其中

顯然

而

從而特征根總有負實部,故若存在疾病平衡點E:(S*,I*)，則疾病平衡點必是局部穩定的。因此得到如下定理。

定理3.1.2對于模型(3.1),

1) R<1，疾病消除平衡點E0:(S0,0)是局部穩定的;

3.2 隨機SIS傳染病模型(1.3)的定性分析

定義

證明：設初值為(S(0),I(0))∈Ω。設(S(t),I(t))是模型(1.1)的具有初值的解。在模型(1.1)的第二個方程中應用伊藤公式得

(3.2)

兩邊在[0,t]上積分得

(3.3)

考慮二次函數

(3.4)

從式子(3.3)可得

(3.5)

(3.5)式兩邊同時除以t(t>0)，得

(3.6)

由引理2.3知

式子(3.6)兩邊同時取上極限得

(3.7)

(3.7)式兩邊同時取上極限得

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(3.8)

在上式中令ε→0，得到

(3.9)

另一方面,由引理2.2，可以得到

(3.10)

從而由方程(3.9)與(3.10)知

幾乎處處成立,證畢。

定理3.2.2若R*>1，則模型的疾病I(t)是持久的,并且有

證明：對式(1.1)兩端同時求從0到t求積分,并兩邊同時除以t(>0)，可以得到

接著可以得到

(3.11)

(3.12)

上式從0到t求積分,然后方程兩邊同時除以t(>0)得

(3.13)

不等式(3.13)可以寫成

(3.14)

對(3.14)式兩端取下極限：

圖1 模型(1.3)的時間序列圖

證畢。

4 數值模擬

為了驗證得到的理論結果,給出一些數值模擬。取基本參數為

A=0.2,μ=0.4,β=2,r=0.2,α=0.1,a=1,b=1。

計算知R=0.952 4<1，根據定理3.2.1,模型的疾病消除平衡點E0:(0.5,0)是局部穩定的(圖1)。若增大人口的輸入率A=0.5，此時R=1.587 3>1，根據定理3.2.2知,模型的疾病平衡點E*:(0.752 7，0.397 8)是局部穩定的(圖2)。

下面在持久的系統上考慮隨機干擾的影響。首先,令σ=1.9，滿足定理3.2.1的第一個條件,于是疾病最終消除(圖3)。其次，令σ=1.7，此時,R*=0.950 2<1， 滿足定理3.2.1的第二個條件,由定理3.2.1知,疾病最終消除(圖4)。若令σ=0.3，經過計算,R*=1.567 5>1，由定理3.2.2知,疾病是持久的(圖5)。

圖2 模型(1.3)的時間序列圖

圖3 確定性模型和隨機模型動力學行為對比

圖4 確定性模型和隨機模型動力學行為對比

圖5 確定性模型和隨機模型動力學行為對比

5 結論

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