亞微米級運動平臺結構優化及實現

徐聰，段吉安，唐皓，李帥

亞微米級運動平臺結構優化及實現

徐聰1，段吉安1，唐皓1，李帥2

(1. 中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南長沙，410083；2. 中南大學信息工程學院，湖南長沙，410083)

為實現一種直流電機驅動的亞微米級運動平臺的設計，并盡量減小其運動誤差，采用Simulink?M文件混合仿真的方法，結合Stribeck摩擦模型，探討運動平臺絲杠、同步帶的相關結構、精度參數對運動平臺精度的影響。通過分析并針對實際使用的要求，進行平臺最優結構設計。使用EMAC200控制器和XL-80激光干涉系統對運動平臺進行實際測試。研究結果表明：運動平臺誤差主要受絲杠導程、同步帶傳動比及它們精度的影響；隨著導程減小，傳動比增大，精度提高，穩態誤差呈減小趨勢；當行程為1 mm時，穩態誤差在±1.5 μm之內，并且可以達到50 nm的實際分辨率；通過Simulink?M文件混合仿真方法，可以實現精密運動平臺這種復雜非線性系統的結構優化，提高系統實際的定位精度。

精密運動平臺；Simulink?M混合仿真；結構優化；誤差

隨著超精密加工、半導體、微納制造、光電子通訊技術的飛速發展，人們對精密運動平臺的精度要求越來越高[1?3]。特別是隨著新型大容量、多通道光電子器件的出現，人們對光電子耦合精度要求越來越高[4]。光電子器件耦合精度主要由搭載其運動的光學運動平臺決定，作為光電子封裝領域基礎部件，提高運動平臺運動精度是提高光電子耦合效率的基礎。為獲得更高的定位精度和分辨率，近年來精密運動平臺出現了諸多新型的結構。直線電機、壓電陶瓷、音圈電機等驅動方式結合柔性鉸鏈、氣浮導軌等導向機構將精密運動推向了一個新的階段[5?8]。雖然這些新型結構具有分辨率高、零間隙、摩擦小等特點，但由于滾珠絲桿、滾動導軌結構簡單、系統剛性好，對控制器要求較低，容易實現魯棒控制，并且技術成熟、成本低廉，通過適當改進可以實現大部分極限定位[9?10]，因此，滾珠絲杠、滾動導軌在精密運動平臺的使用中依然占據主導地位。為此，本文作者采用同步帶、滾珠絲杠、交叉滾珠導軌結構，設計一款基于直流電機驅動的運動平臺，以期實現亞微米級運動。精密運動平臺主要技術難點在于如何減少誤差。運動平臺幾何誤差可以采用多體系統理論進行分析，用特征矩陣表示多體系統中個體間的相對位置及姿態，從而完成誤差傳遞分 析[11?12]。但由于存在摩擦、反饋噪聲、傳動間隙等非線性因素[13]，運動平臺還存在隨機動態誤差，它不僅與傳動鏈上的各個零件精度有關，而且與各個零件的質量、剛性以及尺寸等有關。若將運動平臺的動態誤差與其結構參數結合，探討它們之間的關系，則可以完成以誤差最小為目標的運動平臺結構的優化設計。本文作者采用Simulink?M文件混合仿真方法，對運動平臺的動態誤差與其結構參數之間的關系進行分析，從而實現運動平臺結構優化。Simulink是MATLAB中框圖式的仿真環境，可以快捷地建立系統的傳遞函數；M文件通過代碼執行，可以快速實現循環和數據處理。混合仿真過程首先在Simulink中建立系統模型，并通過M文件中相關函數設置Simulink的相關參量，然后返回Simulink仿真得到穩態誤差，并對不同結構參量所得到的誤差進行分析，從而得到它們與運動平臺誤差之間的關系，達到運動平臺結構優化的目的[4]。

1 基于DC驅動的亞微米級運動平臺建模

1.1 平臺結構

本文設計的平臺采用直流電機驅動、同步帶、滾珠絲杠傳動、交叉滾珠導軌導向結構。絲杠和同步帶傳動結構具有較大的傳動比，結合高分辨率的TONIC光柵尺以及直流測速機，使運動平臺具有很高分辨率。采用直流電機驅動，運動平臺不僅響應快，而且具有更好的低速穩定性、更小的震動。交叉滾珠導軌代替傳統的直線導軌，由于減少了滾珠循環環節，因此，阻尼更小，導向精度和剛性更高。整體采用內嵌式布局，運動平臺結構更加緊湊，有利于提高多維系統的整體精度。

1.2 運動平臺控制方式

運動平臺包含位置、速度、電流三環反饋，見圖1。系統位置反饋采用5 nm分辨率的光柵尺；速度環反饋使用高分辨率的直流測速機，電流環則直接集成在電機驅動器內，由驅動器自行調整；使用EMAC200作為系統控制器，內置PID算法通過PWM對電機進行調速控制，從而完成運動平臺的運動控制。

圖1 運動平臺控制和傳動示意圖

1.3 機電耦合數學模型

對于所研究的運動平臺驅動機構，電機可以簡化成電阻、電感組成的等效電路。同步帶則可以簡化成2個具有一定轉動慣量、阻尼并通過彈簧連接的輪傳動系統。滾珠絲杠的轉子與螺母之間的連接可以等效為具有一定斜度的兩鍥塊間的彈性阻尼環節，見圖2。

圖2 運動平臺等效模型

圖2中：d為電動機電樞電感；d為電樞電阻；d為電樞電流；為電動機輸入電壓；1為電動機轉角；2為大同步帶轉角；1和2分別為小、大皮帶輪直徑；1為小帶輪及電機轉子轉動慣量之和；2為大帶輪轉動慣量；3為絲杠的轉動慣量；b為皮帶的勁度系數；sd為絲杠的轉動阻尼系數；為平臺的質量；0為運動平臺的摩擦力；s絲杠與螺母間的剛度；為平臺位移；s為絲杠螺母螺桿間的阻尼系數。

1.3.1 直流電機數學模型

直流電機通過改變電樞電壓進行轉速調節。根據電動機回路電壓方程、轉速和電流方程以及系統動力學方程[14]，可得到直流電機的機電耦合方程，然后對其進行拉氏變換，得到直流電機旋轉角度與電樞電壓的傳遞函數為

式中：m為轉矩常數；R為電機軸上的等效轉動慣量；R為電機軸上等效阻尼。

1.3.2 同步帶傳動數學模型

同步帶建模首先將同步帶轉動慣量等效到電機軸上，將其假設為2個具有一定預緊力的彈簧，并進行無質量化處理。根據簡化的皮帶模型可得到系統動力學模型，然后對其進行拉氏變換，可得皮帶輪輸出角度和輸入角度的傳遞函數為

1.3.3 滾珠絲杠傳動數學模型建立

式中：-f為滾珠絲杠的輸入力矩。

2 基于Simulink?M混合仿真過程

2.1 Simulink?M混合仿真介紹

Simulink是Matlab中框圖式仿真模塊，具有結構清晰、建模迅速等優點，但實現循環和尋優等操作復雜，執行效率低。M文件編程環境代碼執行，對數據處理較方便，但程序結構復雜，對復雜模型建模較困難[16]。將這兩者結合起來，首先通過M文件set_param( )函數設置Simulink模型中的參數、sim( )函數運行Simulink函數仿真，并運用Simulink中OUT輸出模塊將穩態誤差輸出到workspace中，運用M文件中meshgrid( )函數生成網格采樣點、surf( )函數進行繪圖，完成穩態誤差與結構參數的關系分析，達到優化系統結構的目的。基于Simulink?M混合仿真示意圖見圖3。

圖3 基于Simulink?M混合仿真示意圖

2.2 STRIBECK摩擦模型

當克服靜摩擦力之后，在低速下摩擦力隨著速度的增加而減小[17]，如圖4(a)所示。該模型很好地描述了低速、微動摩擦行為。由于Stribeck效應的存在，摩擦力將產生不穩定效應，能夠較好地模擬運動平臺微行程時的摩擦情況。

在Simulink中，設計了1個基于Stribeck摩擦模型的反饋模塊，通過仿真分析得到的摩擦曲線可以很大程度地模擬Stribeck摩擦曲線，如圖4(b)所示。

2.3 絲杠擺動誤差和同步帶傳動誤差模型

絲桿與同步帶屬于旋轉零件，導程和傳動比誤均具有一定周期性，其中絲桿的導程誤差由累計誤差和在絲桿旋轉周內周期性變化的擺動誤差組成，見圖5；同步帶傳動比誤差與同步帶輪節距誤差相關，也是1個周期性誤差。

(a) Stribeck摩擦模型；(b) Simulink仿真曲線

在Simulink內，使用1個常數模塊和正弦模塊之和模擬實際的絲桿導程、同步帶傳動比的誤差。

圖5 絲杠導程誤差

2.4 系統Simulink模型

圖6所示為系統的閉環Simulink框圖，包含PID控制、式(1)所得到的直流電機傳遞函數(電機參數由使用條件已經確定)、式(2)所得到同步帶傳遞函數、式(5)所得到絲桿傳遞函數，結合誤差干擾、Stribeck摩擦模型等，采用Step模塊模擬系統輸入，Backlash模塊模擬絲桿、同步帶反向間隙。其中，相關系統結構參數如絲杠導程、直徑、精度a、同步帶傳動比倒數、同步帶寬度、同步帶精度a，其值通過M文件設置(模型中忽略了極小項參數)。圖7所示為Simulink單次階躍仿真結果，其中，s為穩態誤差，通過M文件計算穩定時間內(100~200 ms)最大位移與最小位移之差而得(在實際過程中，只通過M文件計算s，不進行階躍響應繪圖)。

聯合仿真過程，首先通過M文件設置相關參數(絲杠導程、直徑、精度a、同步帶傳動比倒數、同步帶寬度、同步帶精度a)，然后將每次仿真生成的誤差通過Simulink中的out模塊輸出到workspace中，最后通過M文件分析數據。仿真初始設定PID參數和Stribeck模塊中相關摩擦參數。在仿真過程中，絲杠導程從1~5 min，直徑從4~8 mm，絲杠精度a從0.001~0.01 mm，同步帶傳動比倒數從0.2~1.0，同步帶寬度從1~10 mm，同步帶精度a從0.002~0.010 mm進行線性變化。

圖6 系統Simulink框圖

圖7 運動平臺時域響應曲線

3 仿真結果分析

3.1 穩態誤差與傳動鏈參數的關系

通過Simulink?M文件的混合仿真，經過多次循環后分別得到運動平臺1 mm響應下的誤差s與絲桿導程、同步帶傳動比倒數、絲桿精度a、同步帶精度a、絲桿直徑、同步帶寬度的關系，見圖8。

通過仿真發現：當同步帶傳動比倒數在0.8以上、絲桿導程在3 mm以上時，系統穩態誤差s基本保持不變；而當絲杠導程從3 mm、傳動比倒數從0.8不斷減小時，穩態誤差s呈現急劇減小趨勢(圖8(a))。

在傳動精度影響方面，隨著同步帶精度a、絲杠精度a不斷提高，穩態誤差s不斷減小，但穩態誤差s在絲杠、同步帶為某些特定組合時有突變，在設計時應避免這些區域(圖8(b))。

通過研究絲杠直徑、同步帶寬度時發現：2個結構對穩態誤差s影響趨勢一致，均是隨著結構的增大，穩態誤差s先增加后減小，在中間處達到極值。從穩態誤差a的變化可以發現這2個結構變化引起的誤差變化非常小(圖8(c))。

(a) 穩態誤差Es與絲杠導程L同步帶傳動比倒數R的關系；(b) 穩態誤差Es與同步帶傳動精度Ra、絲杠精度La的關系；(c) 穩態誤差Es與絲杠直徑D、同步帶寬度B的關系

3.2 運動平臺誤差敏感性分析

傳動鏈誤差敏感性是分析傳動鏈誤差來源的重要依據。優化敏感性較高的零件，可以減小系統的整體誤差。選擇合適的結構參數作為基值，以一定的誤差變化量考察，從而得到結構參數的變化。定義參數為誤差敏感性因子，即基值與結構參數的變化量的比值。通過分析仿真，以2 mm，0.5，0.003 μm，0.005 μm，5 mm和6 mm分別作為絲桿導程、同步帶傳動比倒數、絲桿精度a、同步帶精度a、同步帶寬度、絲杠直徑的基值，以系統1 μm誤差作為變化，得到基值與各結構參數變化量的比例，見圖9。從圖9可見：同步帶、絲桿的精度對系統整體影響最大，其次是它們的傳動比及導程，而絲桿直徑、同步帶寬度對誤差影響最小。因此，采用較大的同步帶傳動比、較小的絲桿導程并提高它們的傳動精度可以有效地減小運動平臺系統的整體誤差。

圖9 誤差敏感性因子

4 實驗測試

通過仿真分析，并結合結構設計要求，最終選擇導程為1 mm、直徑為8 mm、精度等級為C3的滾珠絲桿，傳動比為2、寬度為5 mm的高精度同步帶作為運動平臺傳動部件的最優結構，并選擇EMAC200控制器作為運動平臺控制器，完成運動平臺的樣機研制，見圖10。

圖10 運動平臺測試圖

實驗測試使用雷尼紹XL-80激光干涉系統。系統由XL-80激光頭、反射分光鏡組、XC-80溫度補償器組成，通過PC機處理測試，測試結果如圖11所示。從圖11可見：當行程為1 mm時，定位誤差在±1.5 μm以內(圖11(a))；在進行50 nm最小行程運動時，定位誤差穩定在±10 nm以內(圖11(b))，滿足實際需要。通過對運動平臺進行1.0 μm和0.1 μm階梯定位測試后發現，運動平臺在微小行程運動時具備較好的定位性能，運動平臺實現了亞微米級運動的能力(圖11(c)和圖11(d))。

(a) 1 mm位移測試結果；(b) 50 nm位移測試結果；(c) 1 μm階梯定位測試結果；(d) 0.1 μm階梯定位測試結果

實驗測試結果表明：通過優化運動平臺的結構，基于DC驅動的光學精密運動平臺可以達到50 nm的運動分辨率；系統超調量明顯偏大，不利于實際應用，后期將結合軌跡規劃、模糊PID控制策略等方式實現無超調系統設計。

5 結論

1) 基于Simulink?M文件混合仿真的方法，可以方便地得到基于直流電機驅動的運動平臺誤差與傳動環節的零件誤差、傳動比、結構的關系，從而實現這種復雜非線性系統的優化設計。

2) 同步帶、絲桿的精度對系統整體影響最大，其次是傳動比及導程，而絲桿直徑、同步帶寬度對誤差影響最小。采用較大的同步帶傳動比、較小的絲桿導程并提高它們的傳動精度可以有效地減小運動平臺運動誤差。

3) 使用滾珠絲杠、同步帶驅動方式，結合高分辨率光柵尺、高響應直流電機可以實現亞微米光學運動平臺的設計，而采用Simulink?M文件混合仿真的方法可以實現基于誤差最小為目標的優化設計。

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(編輯 陳燦華)

Structure optimization and achievement of sub-micron optical motion platform

XU Cong1, DUAN Jian1, TANG Hao1, LI Shuai2

(1. State Key Laboratory of High Performance and Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

In order to design a sub-micro platform driven by DC motor and reduce its motion errors as much as possible, an method which was based on hybrid simulation by Simulink?M and a stribeck friction model, the impact of ball screw and synchronous belt on the motion error was analyzed. The structure was optimized based on the analysis results and the demand. The motion platform was tested with the EMAC 200 controller and XL-80 laser interferometer system. The results show that the motion error is mainly affected by the ball screw’s lead, synchronous belt’s transmission ratio and their accuracy. Error will reduce when the lead decreases, ratio increases as well as their accuracy is improved. The error is within ±1.5 μm when the displacement is 1 mm and a 50 nm actual resolution can be achieved for this platform. The high-precision motion platform, as a complex nonlinear system, can be optimized based on hybrid simulation by Simulink?M.

precision motion platform; hybrid simulation by Simulink?M; structure optimization; error

TN252

A

1672?7207(2018)01?0080?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.011

2017?03?10；

2017?05?21

國家自然科學基金資助項目(50975293)；中南大學研究生自主探索創新項目(2016zzts290) (Project(50975293) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2016zzts290) supported by the Postgraduate Exploratory and Innovative Program of Central South University)

段吉安，教授，博士生導師，從事光電子器件制造技術與裝備、機械設計理論與方法、精密運動控制研究；E-mail: duanjian@csu.edu.cn