中主應力系數對巖石強度準則的影響

傅鶴林，史越，龍燕，張加兵，黃震

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中主應力系數對巖石強度準則的影響

傅鶴林1, 2，史越1, 2，龍燕1, 2，張加兵1, 2，黃震1, 2

(1. 中南大學土木工程學院，湖南 長沙，410075；2. 中南大學 高速鐵路建造技術國家工程試驗室，湖南 長沙，410075)

為揭示真三軸條件下的巖石強度，基于Mohr?Coulomb準則、Hoek?Brown準則、Drucker?Prager準則、Mogi?Coulomb準則、統一強度理論等不同本構模型，引入中主應力系數，推導不同強度準則關于的計算公式；結合Mogi對Dunham白云巖試樣的試驗結果，將該問題等效為不同本構模型在變化下的比選問題。研究結果表明：隨著增加，當3較小時，統一強度理論比較適用，在統一強度理論計算峰值與試驗峰值之間Mogi?Coulomb準則和Hoek?Brown準則比較適合；當3較大時，Mogi?Coulomb準則失效，Hoek?Brown準則較為安全；采用統一強度理論在巖石強度峰值之后能較好地擬合試驗曲線；Drucker?Prager外接圓準則主要適用于一般三軸條件下或較小情況下的計算。

中主應力系數；巖石強度；本構模型；強度準則

1 基本理論

1.1 中主應力系數

定義中主應力系數為

在彈塑性理論中，常以Lode參數表示應力參數：

不難證明，和之間滿足如下關系：

1.2 Mohr?Coulomb準則

1900年提出的Mohr?Coulomb(簡稱M?C)準則實際上只考慮了1個剪應力及其面上正應力，沒有考慮中主應力對土抗剪強度的影響或者說中主應力對土抗剪強度無關。單剪強度理論是各種可能外凸理論的 下限。

在平面應力狀態下，M?C屈服準則可表示為：

1.3 Hoek?Brown準則

Hoek和Brown于1980年針對完整、黏聚力很強的巖石和巖體提出了Hoek?Brown(簡稱H?B)強度準則[11?12]，為了使其更具普遍性與適用性，于1997年又提出了廣義H?B準則[13]：

其中：

1998年SINGH等[14]提出修正的H?B準則：

結合式(1)和(8)為

1.4 Drucker?Prager準則

在主應力空間，M?C屈服面為一不規則六棱錐面；在π平面內，為一不等角六邊形。由于Drucker?Prager(簡稱D?P)屈服面在π平面內為一簇光滑圓曲線，表述簡潔且計算效率高，因此，常用D?P系列準則逼近M?C準則。

以應力不變量表示D?P準則[6]：

國外大型有限元軟件(如ANSYS、MARC)通常把M?C外角點外接圓準則作為D?P準則，如圖1所示。

圖1 π平面上M?C準則與D?P外接圓準則的關系

這時，有[15]

在真三軸情況下，結合式(1)和(11)，式(10)為

在一般三軸情況下(=0)，

化簡可知，式(13)為M?C準則。

1.5 Mogi?Coulomb準則

將Mogi經驗強度準則與Coulomb強度準則相結合，AL-AJMI等[16]建立了Mogi?Coulomb(簡稱Mogi?C)強度準則：

其中：

結合式(1)和(16)，整理式(15)得[17]：

其中：

如上得到巖石強度與中主應力系數之間的關系式。π平面上M?C準則與Mogi?C準則的關系如圖2所示，Mogi?C強度準則極限線為外接于M?C強度準則極限線的曲邊六邊形，在軸對稱的三軸壓縮狀態(=0)和三軸拉伸狀態(=1)即不考慮中主應力影響時，兩準則的極限線重合。

圖2 π平面上M?C準則與Mogi?C準則的關系

1.6 統一強度理論

1985年，俞茂宏等[7?8]建立了雙剪強度理論，1997年，魯祖統等[18]在數學上證明了單剪與雙剪強度理論分別為各種屈服準則的內外包絡線。

室內試驗表明[19]，圓柱形巖石試樣軸向壓縮強度與圍壓大致成線性關系(和均為強度準則參數)：

若以相同的參數進行線性插值，則得到

由式(20)分別整理得

兩式對比得

式(23)也為統一強度理論參數提供了算法，即為真三軸試驗狀態下巖石破壞時關于中主應力系數β的比值。

易得

此時巖石強度為

2 本構模型計算對比分析

表1 Mohr?Coulomb強度計算值

由1.2節及表1可知：M?C準則計算結果僅與小主應力有關，不隨中主應力的改變而發生變化。隨著中主應力的增加，保守性越來越明顯，有必要通過多軸強度準則來進一步挖掘巖石強度的安全儲備。

根據H?B準則相關參數回歸分析的結果[20]，強度隨中主應力系數計算結果如圖3所示。M?C與H?B準則區別在于前者的破壞線在主應力空間的π平面及子午面上均為直線，而后者為曲線，因此，H?B準則可以很好地描述巖石強度的非線性特征，但難以確定準則中參數，特別是巖石各向異性明顯時更限制了它的使用。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

圖5所示為Mogi?Coulomb準則強度曲線。根據巖石真三軸強度的統一強度理論參數(=298.9 MPa，=0.47)[19]，計算得到白云巖強度隨變化曲線如圖6所示。對比圖5和圖6可知：Mogi?C強度準則、統一強度理論考慮了中主應力作用效應及其作用的區間性，符合前述存在轉折點的特征。但兩強度準則在=0與=1時強度計算結果相等，這與試驗結果不相符。其主要原因是兩準則此時退化為不考慮中主應力效應的M?C準則。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

3 算例分析

3.1 試驗數據分析

圖7 Dunham 白云巖的真三軸試驗數據

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

3.2 中主應力系數β的影響

β：1—0；2—0.08；3—0.10；4—0.22；5—0.35。

1—實驗值；2—H?B準則；3—D?P準則；4—Mogi?C準則；5—統一強度理論。

1—實驗值；2—H?B準則；3—D?P準則；4—Mogi?C準則；5—統一強度理論。

從圖11和12可知：D?P外接圓準則在較低地應力場且中主應力效應較小(圖11，0＜＜0.10)時才能反映出巖石強度。

根據巖石強度隨中主應力系數變化規律及上述討論，在達到巖石最大強度對應的前(Dunham 白云巖的在0.35~0.40之間)，真三軸本構模型相比于目前大量應用的不考慮中主應力作用效應的M?C模型，能夠更好反映出巖石強度變化規律，滿足設計要求。

3.3 小主應力σ3的影響

根據前述試驗數據的分析，巖石強度隨小主應力的增大顯著增大，擬合曲線為直線，Dunham 白云巖試驗強度最大值對應范圍在0.35~0.40之間。在這里分別取為0，0.10，0.22和0.40，用擬合曲線來比對試驗值與不同的多軸本構模型計算值，如圖13~16所示。

在一般三軸條件下(圖13，=0)，M?C準則、D?P外接圓準則、Mogi?C準則、統一強度理論計算值相同，在低地應力場條件下小于試驗值；隨著增大(圖14，=0.1)，D?P外接圓準則計算值在低地應力場內能夠較準確的估算巖石強度，這與圖10所示結果相吻合，反映出大部分有限元軟件所內嵌的D?P外接圓模型較適合于一般三軸條件下的低地應力場計算。

1—實驗值；2—M?C準則；3—H?B準則；4—D?P準則；5—Mogi?C準則；6—統一強度理論。

1—實驗值；2—H?B準則；3—D?P準則；4—Mogi?C準則；5—統一強度理論。

1—實驗值；2—H?B準則；3—Mogi?C準則；4—統一強度理論。

1—實驗值；2—H?B準則；3—Mogi?C準則；4—統一強度理論。

根據巖石所處地應力場高低、強度峰前峰后、中主應力效應大小等條件，合理選擇與轉換不同的多軸本構模型，能夠更進一步利用巖石的塑性儲備。

4 結論

1) 基于中主應力系數定義，結合Hoek?Brown準則、統一強度理論，推導本構模型隨變化的計算公式；并引用Drucker?Prager準則、Mogi?Coulomb準則計算模型隨變化的計算公式，為真三軸條件下巖石強度隨中主應力系數變化研究提供了理論依據。

2) 得到統一強度理論中參數的又一計算方法，即真三軸試驗下巖石破壞時關于的比值，也說明了該系數的又一實用意義。

3) 對比真三軸條件下常用巖石本構模型隨中主應力系數變化的計算曲線，在不考慮中主應力影響時，Drucker?Prager準則、Mogi?Coulomb準則、統一強度理論將退化為Mohr?Coulomb準則，計算值一致，Hoek?Brown準則計算值較小，反映出它的安全性。

4) 在低地應力場、很小時，各本構模型基本能夠反映出巖石強度規律；在低地應力場，統一強度理論計算峰值之前(0.10＜＜0.20)，統一強度理論具有一定優越性；在統一強度理論峰值與試驗強度峰值之間(0.20＜＜0.35)，Mogi?Coulomb準則和Hoek? Brown準則比較適用；在高地應力場復雜狀態下，在巖石強度達到峰值之前(0＜＜0.35)，應用Hoek? Brown準則計算是偏于安全的；在巖石強度峰值之后(＞0.35)，統一強度理論能較好地擬合強度的變化。

5)廣泛應用于有限元計算的Drucker?Prager外接圓準則僅在低地應力場一般三軸條件下或較小時(0＜＜0.10)才能較好地預測巖體強度，反映出該準則應用于巖土體計算的局限性。

6) 本文僅基于白云巖的試驗數據，未對其他種類巖石展開分析，準則轉換節點還需精確算核，因此，本文結論存在一定前提條件和局限性，有待進一步 探討。

[1] MOGI K. Effect of the intermediate principal stress on rock failure[J]. Journal of Geophysics Research, 1967, 72: 5117?5131.

[2] MOGI K. Fracture and flow of rocks under high triaxial compression[J]. Journal of Geophysics Research, 1971, 76(5): 1255?1269.

[3] YAO Yangping, HU Jing, ZHOU Annan, et al. Unified strength criterion for soils, gravels, rocks, and concretes[J]. Acta Geotechnica, 2015, 10: 749?759.

[4] 許東俊, 耿乃光. 巖石強度隨中間主應力的變化規律[J]. 固體力學學報, 1985, 6(1): 72?80. XU Dongjun, GENG Naiguang. The variation law of rock strength with increase of intermediate principal stress[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 1985, 6(1): 72?80.

[5] FU Helin, ZHANG Jiabing, HUANG Zhen, et al. A statistical model for predicting the triaxial compressive strength of transversely isotropic rocks subjected to freeze-thaw cycling[J]. Cold Regions Science and Technology, 2018, 145: 237?248.

[6] DRUNKER D C, PRAGER W. Soil mechanics and plastic analysis in limit design[J]. Quarterly of Applied Mathematics, 1952, 10: 157?165.

[7] 俞茂宏. 線性和非線性的統一強度理論[J]. 巖石力學與工程學報, 2007, 26(4): 662?669. YU Maohong. Linear and nonlinear unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(4): 662?669.

[8] 昝月穩, 俞茂宏. 巖石廣義非線性統一強度理論[J]. 西南交通大學學報, 2013, 48(4): 616?624. ZAN Yuewen, YU Maohong. Generalized nonlinear unified strength theory of rock[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2013, 48(4): 616?624.

[9] 張傳慶, 馮夏庭, 周輝. 巖石多軸與常規三軸強度的關系[J]. 固體力學學報, 2011, 32(3): 228?234. ZHANG Chuanqing, FENG Xiating, ZHOU Hui. Relationship between polyaxial strength and conventional triaxial strength for rock[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2011, 32(3): 228?234.

[10] 劉運思, 傅鶴林, 饒軍應, 等. 基于 Hoek?Brown 準則對板巖抗拉強度研究[J]. 巖土工程學報, 2013, 35(6): 1172?1177. LIU Yunsi, FU Helin, RAO Junying, et al. Tensile strength of slate based on Heok?Brown criterion[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(6): 1172?1177.

[11] HOEK E, BROWN E T. Empirical strength criterion for rock masses[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 1980, 106(9): 1013?1035.

[12] HOEK E, BROWN E T. Underground excavation in rocks[M]. London: Institution of Mining and Metallurgy, 1980: 527.

[13] HOEK E, BROWN E T. Practical estimates of rock mass strength[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 1997, 34(8): 1165?1186.

[14] SINGH B, GOELRK, MEHROTRA V K, et al. Effect of intermediate principal stress on strength of anisotropic rock mass[J]. Tunnelling and Under-ground Space Technology, 1998, 13(1): 71? 79.

[15] 唐芬, 鄭穎人. 強度儲備安全系數不同定義對穩定系數的影響[J]. 土木建筑與環境工程, 2009, 31(3): 61?65. TANG Fen, ZHENG Yingren. Effect on safety factors in different definitions based on strength margin[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2009, 31(3): 61?65.

[16] AL-AJMI A M, ZIMMERMAN R W. Relation between the Mogi and the Coulomb failure criteria[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 2005, 42(3): 431?439.

[17] 呂彩忠. 基于Mogi?Coulomb強度準則的隧道圍巖理想彈塑性解答[J]. 土木建筑與環境工程, 2014, 36(6): 54?59. Lü Caizhong. Elastic-perfectly plastic solution of tunnel surrounding rocks using Mogi?Coulomb strength criteria[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2014, 36(6): 54?59.

[18] 魯祖統, 龔曉南.關于穩定材料屈服條件在π平面內的屈服曲線存在內外包絡線的證明[J].巖土工程學報, 1997, 19(5): 1?5. LU Zutong, GONG Xiaonan. Verification of inner and outer envelopes for the yield curve of stable material in π-plane[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 19(5): 1?5.

[19] 尤明慶. 統一強度理論的試驗數據擬合及評價[J]. 巖石力學與工程學報, 2008, 27(11): 2193?2204. YOU Mingqing. Fitting and evaluation of test data using unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(11): 2193?2204.

[20] 許宏發, 王發軍, 江淼, 等. 巖石考慮中間主應力Hoek?Brown強度參數分析[J]. 解放軍理工大學學報, 2012, 13(6): 636?639. XU Hongfa, WANG Fajun, JIANG Miao, et al. Parameters in Hoek?Brown’s failure criterion considering intermediate principal stress of rock[J]. Journal of PLA University of Science and Technology, 2012, 13(6): 636?639.

(編輯 楊幼平)

Influence of intermediate principle stress coefficient on rock strength criterion

FU Helin1, 2, SHI Yue1, 2, LONG Yan1, 2, ZHANG Jiabing1, 2, HUANG Zhen1, 2

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University,Changsha 410075, China)

To reveal the rock strength in the condition of true triaxial test, the intermediate principle stress coefficient was applied based on Hoek?Brown, Drucker?Prager, Mogi?Coulomb criterion and unified strength theory. With the modified strength criterion formulas referred toand the Dunham dolomite experiment data by Mogi, the problem was equivalent to contrasting and selecting different constitutive models appropriately. The results show that: With the increase of, the unified strength theory is suitable when the3is small, while Mogi?Coulomb criterion and Hoek?Brown criterion are appropriate when the related value ofranges between peak value calculated by unified strength theory and that of experiment; When the3is large, Mogi?Coulomb criterion is invalid and Hoek?Brown criterion is superior. After peak value of experiment condition, the unified strength theory is preferable in fitting the experiment value. Only in case of general triaxial or less value ofcan the Drucker?Prager circumcircle criterion fit experiment data better.

intermediate principle stress coefficient; rock strength; constitutive model; strength criterion

TU452

A

1672?7207(2018)01?0158?09

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.021

2017?02?25；

2017?05?05

國家自然科學基金資助項目(51578550)；國家自然科學重點基金資助項目(51538009) (Project(51578550) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(51538009) supported by the State Key Program of National Natural Science of China)

史越，博士研究生，從事巖石力學和隧道工程等研究；E-mail: yueshi@csu.edu.cn