基于等效原理求解介質球極化場問題

曹斌照 費宏明 楊毅彪 陳景東

(太原理工大學物理與光電工程學院,山西 太原 030024)

介質球處于外場中的等效電偶極矩在電磁輻射、瑞利散射、金納米顆粒的介電效應等方面有著重要的應用[1-4]。在電磁輻射中，一對振蕩的等值異號電荷在遠區的輻射場即可視為電偶極子的輻射；瑞利散射是指在低頻極限或k0a?1(k0為真空中的波數，a為介質球半徑)條件下的電磁散射。在該條件下，散射體產生的輻射場也可等效為電偶極矩產生的場；對于幾何尺寸遠小于光波長的金屬納米顆粒，用介質球等效偶極矩模型能夠近似預見顆粒的光共振吸收頻率，也可以解釋這類材料的光致熒光以及拉曼光譜對激發光偏振的強烈各向異性等。球形電介質的極化模型也可以構成準靜態條件下電磁目標隱身的理論基礎[5]。從理論上講，靜態場中均勻介質球的等效偶極矩模型實質上是一個關于均勻電場中介質球的極化問題，該問題在“電磁場與電磁波”“電動力學”以及“數學物理方法”等課程的經典教材中均作為典型例子進行了分析。這類問題的求解最常用的方法是分離變量法，通過對拉普拉斯方程的定解問題進行求解，并借助于電介質極化的相關概念計算與分析[6-8]。雖然分離變量法推導嚴謹、邏輯性強，但對于理解介質極化的物理機制不直觀。文獻[9]基于疊加原理和反證法的思想分析了當導體球表面電荷密度滿足σ∝cosθ關系時球內電場一定為均勻場的問題，筆者認為存在一定的瑕疵。本文提出基于等效原理的分析方法，既能夠直觀理解物理概念，又靈活運用了特殊函數的性質，不失為一種好的嘗試。

1 模型及理論推導

圖1為一介質球處于均勻電場E0中場相互影響的示意圖。由于極化的存在，在介質球面上會出現束縛電荷，于是產生相應的附加電場E′，該場對原電場有削弱作用。從電偶極子觀點看，束縛電荷在介質球外產生的附加場可等效為一偶極子產生的場。總場為外加均勻電場E0和反方向的偶極子產生的附加電場E′的疊加。

圖1 介質球處于均勻電場中場分布示意圖

為了便于理解，我們分兩步進行考慮：首先分析處于均勻電場中導體球的感應場；以此為基礎，再分析處于均勻電場中介質球的極化場。

1.1 均勻電場中導體球的感應場

圖2 分析導體球外、球內電勢示意圖

(1)

利用連帶勒讓德多項式的母函數展開式[6]

(2)

以及連帶勒讓德多項式的正交性

(3)

其中，

可求得感應電荷在球體外產生的電勢為

(4)

同理可得感應電荷在球體內的電勢為

(5)

由E=-φ，不難得出球內、外感應電場分別為

(6)

則導體球內、外總電場強度分別為

(7)

1.2 處于均勻電場中介質球的退化場

設介電常數為ε1的理想介質球處于介電常數為ε2的理想基質中，若外加均勻電場E0，則極化的結果為介質球表面內、外側附近分布著一定數量的束縛電荷，且兩側的極性相反，因均勻極化，故球內無凈束縛電荷。設總極化電荷面密度為σp，則n·(E2-E1)=σp/ε0。本文對這一問題用等效原理方法求解。場等效原理即為：在一個給定的空間區域內由確定的源產生的電磁場可以看作是由另外的等效源所產生。不論等效源是否實際存在，只要它們在給定的同一區域內產生的場相同即可[4]。在該種等效原理下，只要所求的勢函數滿足原問題的邊界條件，根據唯一性定理其解是正確的[7,8]。鏡像法作為等效原理的一個特例，但等效原理中等效源的選擇方式遠比鏡像的選取靈活多樣。依據等效原理，在計算球內電場時不妨令球外電場E2=0，即所求問題可等效為一個填充介電常數為ε1的空心導體球殼，球內的電勢為等效電荷產生的電勢與外加均勻電場對應的電勢之和；在計算球外電場時令球內電場E1=0，即可以等效為一個導體球外填充介電常數為ε2的問題，從而可以直接利用式(5)、(6)的結論，其等效示意圖如圖3所示。

圖3 分析內、外區域電場等效原理示意圖

設球內、外電勢分別為φ1、φ2，等效面電荷密度分別為σp1、σp2。根據式(5)、(6)，有

利用邊界條件：D1n=D2n，φ1=φ2，可得

(10)

則介質球內、外電勢分別為

(11)

上式與文獻[7,8]結果相同。

1.3 推廣到均勻電場中介質球殼的極化場問題

設內、外半徑分別為R1、R2的介電常數為ε2的介質球殼內填充介電常數為ε1的理想介質，介質球和球殼均處于介電常數為ε3理想基質中。設外加均勻電場E0，兩介質層極化電荷面密度分別為σp1、σp2，球內、球殼和球殼外的電勢分別為φ1、φ2和φ3。根據上述等效原理，可得

利用邊界條件：D1n=D2n=D3n，φ1=φ2=φ3，可得

2 分析與討論

對于情形1.3，若取R1→R2,ε2=ε0,ε3=ε2，則退化為情形1.2。代入式(15)、(16)，得

結果與式(10)和文獻[3]一致。

可見，介質球表面內、外側附近分布著一定數量的束縛電荷，其兩側的極性相反，分界面兩側的窄隙可以看成一無載荷隔離薄層，其厚度與原子核中心與電子云中心的距離同數量級。在本文中基于導體球殼的靜電感應電荷分布規律，對介質球極化問題進行了等效，另辟蹊徑，從而使問題的理解更加直觀。

3 結語

本文基于電場的疊加原理、等效原理分析了介質球在均勻電場中的極化場問題。首先用場的疊加原理，通過嚴格推導得到均勻電場中導體球的感應場可以等效為電偶極矩的場。以此為基礎，利用電場等效原理分析了介質球、介質球殼在均勻電場中的極化場。最后，探討了時諧電磁場對介質球的極化在一定條件下可以用電偶極矩場近似，并闡明介質球的極化場在電磁散射、納米球顆粒共振以及電磁隱身中的重要作用。本文的探索對于更好地理解極化的物理本源以及實際應用具有理論指導價值。

[1] 林敬與.介質球在均勻電場中的極化[J].大學物理,1993，12(7): 9-10． LIN Jingyu. Polarization of a dielectric sphere in the uniform electric field[J]. College Physics, 1993, 12(7): 9-10. (in Chinese).

[2] 孫堅,黃楊,潘濤,等.金屬納米球顆粒的非局域等效電磁參數[J].大學物理,2015，34(12): 9-13． SUN Jian，HUANG Yang，PAN Tao et al. Equivalent electromagnetic parameters of the metallic nano-sphere particle[J]. College Physics, 2015, 34(12): 9-13. (in Chinese).

[3] 桑芝芳,李振亞.介質球在基質中的等效電偶極矩[J].大學物理,2014,33,6:4-6. SANG Zhifang, LI Zhenya. The equivalent dipole moment of the dielectric ball in the medium[J]. College Physics, 2014, 33(6): 4-6. (in Chinese).

[4] 龔中麟.近代電磁理論[M]．2版．:北京大學出版社，2010:11:12,252．

[5] ANDREA Alù, NADER Engheta. Achieving transparency with plasmonic and metamaterial coatings[J]. Physical Review E, 2005, 72: 016623.1-9.

[6] 梁昆淼.數學物理方法[M].4版.北京:高等教育出版社，2010:237,-250-259．

[7] 郭碩鴻.電動力學[M]．3版．北京:高等教育出版社，2008: 128-135．

[8] 許福永,趙克玉.電磁場與電磁波[M].北京:科學出版社，2005:38.

[9] 鐘錫華.電磁學通論[M]．北京:北京大學出版社,2014:54-57.