《MATTER & INTERACTIONS》教學實施的重要支撐
——計算機技術的應用

何焰蘭 彭 剛 劉一星 鄭浩斌

(國防科技大學理學院，湖南長沙 410073)

《MATTER & INTERACTIONS》(Vol.1: Modern Mechanics；Vol.2: Electric & Magnetic Interactions)是由CHABAY和CHERWOOD撰寫的一本突破傳統物理學導論的教材，與本文作者于2016發表的關于另兩篇[2,3]同樣突破傳統物理導論教材《Six Ideas that Shaped Physics》[4]一樣由美國國家科學基金會的資助，已在美國大中型高校的工程和科學課程中使用，其中有普渡大學、佐治亞理工學院、加州州立長灘大學、得克薩斯州奧斯汀大學、卡內基梅隆大學、明尼蘇達州立大學Moorhead、維拉諾瓦、高點大學和西佛羅里達大學，還有密歇根大學在內的一些大學在普通物理或物理專業的課程中使用它。該教材也被用于許多較小的學院，包括Carleton、St.Olaf、Wellesley、Haverford、Albion、Sewanee等，或社區學院和高中[1,14]。在美國境外的不列顛哥倫比亞大學、加拿大的卡爾加里大學和瑞爾森大學、南非開普敦大學、澳大利亞國立大學、麥考瑞大學、澳大利亞哥德堡大學、瑞典哥德堡大學和赫爾辛基大學也有相應的專業使用。該教材的應用結果的評估請參看資料[5]。

《MATTER & INTERACTIONS》教材以新的物理導論教學理念于眾多物理導論教材中脫穎而出。其重要特點就是從極少的基本原理(特點1，如動量和能量定律)出發，而不是從推理(次級)公式開始分析，通過構建和分析彈簧-質點(特點2，真實物質，如鋁和鉛)簡諧振動力學模型，由一維模型擴展到三維乃至多維模型(通篇用向量表示各種物理量，以便用計算機軟件進行處理)，深入到原子層面，關注物質的原子性質。為此，作者特命名物理導論課程為“物質與相互作用”；本書以能量概念為橋梁(特點3)，為熱學與力學相結合提供了機會(特點4，認為熱學不應該作為物理導論的一個獨立章節)，加強微觀和宏觀描述與分析之間的聯系并自然延伸到近代物理內容(特點5，以能量量子化的方式)；將靜電和電路用場的理論統一(特點6)；而計算技術是該教材理念能在教學中完美實施的重要支撐(特點7)，并與理論和實驗一起并列成為物理導論課程(乃至物理學)的第三大支柱。其突破傳統的理念和模式希望能給國內高校物理教學改革一定的啟迪。

1 計算機技術應該也必然成為物理導論課程三大支柱之一[6]

50多年前由于數學工具有一定的局限性，將科學(工程)學科劃分為理論和實驗是合理的。計算機的出現，確實成為理論和實驗的重要工具，隨著計算機技術的快速發展，它已經模糊了理論和實驗之間的區別，從根本上改變了兩者的本質，無可非議地成為第三大支柱。例如，理論家進行計算，高能物理學家蒙特卡洛構建神經網絡識別大量數據的特殊事件等。因此，正如物理導論課程一開始就介紹理論和實驗一樣，計算機科學被引入的重要性等同理論和實驗。事實上，如果沒有這種變革，課程可能越來越過時，并與學生生活的世界日益脫節。目前美國生物學導論課程正在朝與計算機技術的融合方向發展[7]；國家科學基金會通過新的CPATH計劃[8]試圖通過建立計算機科學家和自然科學家之間的聯盟來激發本科科學課程中急需的計算科學擴展。

2 計算機技術的可視和實時為物理概念理解提供重要支持

在《MATTER & INTERACTIONS》的教學過程中，重要的教學策略就是從少數基本原理入手，構建和分析彈簧—質點(如鋁和鉛)簡諧振動力學模型。這種情況下，計算機建模顯然利大于本。對于沒有編程經驗的學生來說，面向對象的編程語言Python是最合適不過的[5]。由于它支持向量計算和三維可視化，因此《MATTER & INTERACTIONS》的教學過程中對所有物理量的引入和表示都采用向量，而不是較繁瑣的三角分析。

傳統物理導論課程大量工作一直致力于用初等微積分求解運動方程(恒定加速度，恒速圓周運動和簡諧振動)，這些特殊情況卻不足以讓學生看到基本原理的普適性，求解過程導致所做的特定選擇考慮因素太多以至于無法在此描述[9-12]。CHABAY和CHERWOOD認為：將計算機融合到物理導論課程中，可以為物理概念理解提供重要支持。比如，利用一些基本原理建模可使抽象的物理量以及其隨時間變化的實時狀態以三維動畫形式顯示。

圖1為計算機(教學中均采用Python編程)建模生成的由一維擴展到多維的球—彈簧5×5×5快速陣列[1]，其隨時間變化的動態效果使學生能深切體會一維彈簧諧振子的重要意義。

圖1 由計算機生成的球-彈簧模型框架的動畫

圖2為雙星圍繞著質心移動的軌道[1]。圖3為一組特定條件(包括初始條件)下經過數值積分復雜的三粒子相互作用的軌道[1]。圖2和圖3也揭示了雙粒子系統(如雙星)和多粒子系統(三體以上)軌跡的巨大差異：對于繞一質量很大的靜止粒子旋轉或互為軌道的雙粒子(總動量為零)，可能的軌跡只能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線或直線。而僅僅增加了一個粒子后的運動軌跡，其軌跡復雜得多，可以使學生想象星系的運動將是多么復雜！

圖4顯示了三粒子系統的軌跡對初始位置存在的微小差異的敏感程度[1]。考慮一個質量較小的粒子繞著兩個質量較大的粒子旋轉(假設兩個大質量粒子不動。這也可以代表小質量的負電荷繞著兩個位置固定的正電荷旋轉的情況。)，在略有差異的不同位置處從靜止開始運動，最終結束于與兩個大質量的不同粒子相撞，軌跡是完全不同的！(圖中一左一右)

對于靜電和電路用電場統一的理念，教材中以一對充電量很大的平行電容板[13](可用類似于Van de Graaff發生器中的輸送帶維持電容器兩板間電流的穩定)與一個截面積恒定的環形導線

相連，導線中會產生一定的電流。圖5(a)給出了環形導線內部各處電場強度的均勻分布(實線實心向量)，它是由電容極板上電荷產生的電場(實線空心向量)和導線表面電荷所分別產生電場(虛線空心向量)的疊加而成，圖5(b)標出了導線表面電荷極性及密度分布情況，圖5(c)標出了導線表面電荷密度梯度分布情況(其中顏色深淺對應強度)。圖6(a)、(b)分別給出了導線底部表面電荷極性及密度分布圖示。

3 計算機技術是實現以極少數基本原理為教學目標的有力支撐

圖2 雙星圍繞著質心移動的軌道(連接兩顆恒星的一條線穿過質量中心，質心更近質量大的恒星)

圖3 特定條件的三粒子系統萬有引力相互作用的軌跡

圖4 三粒子系統軌跡對初始位置微小差異的敏感示意

圖5 環形導線中電場，表面電荷以及梯度分布示意圖

圖6 環形導線底部電場，表面電荷以及梯度分布示意圖(省略了拐角處的分布)

作者對課程教學的要求就是學生要參與構建模型的過程，包括簡化和理想化混亂和復雜的真實世界系統，作出適當的近似、簡化假設以及估計量化。實際上這種思想在眾多教師中早有共識，但是具體教學過程由于傳統物理學導論的體系限制導致可操作性受阻，即使偶爾為之也很難全程貫徹。而作者對體系進行的新改革使得這種方法切實可行，計算機技術對此將扮演重要的角色。

例如對一個三粒子系統應用基本原理(如萬有引力和動量原理)，必須給出適當的近似和簡化假設，如圖4所示結果的假設(見前節)。

計算機技術進行的計算分析結果是否正確，課程對此也有相應的實驗，證實了近似表面電荷分析的有效性，對于教學的效果可謂是錦上添花。

如圖7所示[14]，4個串聯的80MΩ電阻(可將其簡化為非常細的電線)放置于泡沫塑料中并遠離其他元件(包括電表，以避免不必要的極化影響)，與兩個的5000V電源(串聯)串聯形成回路，兩電源連線中端接地。圖中同時也給出了導體表面的電荷分布示意。可以粗略地看出，左邊第一個電阻(AB)內的電場主要是由于A、B處由高到低一半的表面負電荷密度產生(但具有較大的密度梯度)，在緊接著的電阻(BC)中的電場也具有相同的大小，此時C處的表面電荷密度幾乎為零。右邊兩個電阻內的情況解釋類似。在連接電線的內部，電場非常小，而且電荷密度大致均勻(實際電荷分布的細節，除了電荷的符號，可能更復雜)。

圖7 一個具體電路的電荷分布以及測試示意

圖7中左側豎線為一個懸掛于絕緣桿上很薄柔軟的金屬聚酯薄膜，將其裸露部分放置于A附近，可以觀察到它會被吸引，接觸A處電線后由于帶有電線表面的同種電荷，立刻跳開。這個薄膜上所帶電荷很容易被證明為負電荷(因為它被一根剛摩擦過的塑料筆排斥)。將薄膜移至E處觀察到類似的效果，經檢驗帶正電。在B和D處的效果不如A和E明顯，而在C處則基本沒有檢測到表面電荷。

4 有效減少教授復雜的數值分析技術環節

計算機技術的引入還可以有效減少教授復雜的數值分析技術環節。例如圖4所涉及的計算機建模的動力學問題中，應用動量原理預測某一對象或某一系統的行為，給定相互作用對象的初始位置，可以計算它們施加于彼此的力。這些力在很短的時間內使動量發生改變(如Δp=F凈力Δt)，而新的動量又可以更新對象的位置，學生可以寫一個簡單的程序多次重復迭代這個過程即可得到相應的物理過程的數值解。目前的計算機運算足夠快，因此沒有必要教授復雜的數值分析技術，簡單地使用很小的時間步長就可以提供足夠的計算精度。對于系統總能量的繪制還可以作為對計算精度的簡單檢查，同時考慮動量和能量也有助于學生區分這些概念。

計算技術的應用還可以幫助學生弄清楚積分和離散數相加之間的聯系，這種聯系即使對于已經學習過好幾個學期微積分的學生而言也是很難弄清楚的。

由于程序的開放，改變程序中的時間步長或空間增量很容易，允許學生可在很長的時間軸上觀察相互作用對象的行為。例如對于軌跡性質不顯著的三體運動，通過改變步長等參數可觀察由此引起的物體行為、場分布模式的影響。通常學生所編寫的程序都很短，在與導論課程相適應的大多數問題中，完全不需要復雜的算法。對于運算足夠快的計算機，可以采取減小步長來充分提高歐拉積分的精度。

5 結語

可以看出，計算機技術的引入不僅僅停留在

純粹的技術層面，它已經使得物理教學發生了實質性的變革，這種變化必然要使老師對課程目標重新審視，對物理世界的認識和分析進行重新的思考。CHABAY和CHERWOOD以及他們志同道合的同事經過十多年的努力，認為：雖不能聲稱教學實現了前面概述的計算機技術教育的潛力。然而，他們已經有足夠的實踐活動，以使其他教師能夠利用其所開發的基礎。這些項目由國家科學基金會支持，授權號DUE-0320608，DUE-0237132和DUE-0618504。

實際上這本教材是筆者于2016年7月至11月在加拿大瑞爾森大學進行基礎物理課程的考察時發現的。該校將其用于計算機科學本科生開設的物理學導論課程。圖8為該系學生正在用計算機進行建模實驗的實景。

圖8 瑞爾森大學計算機科學專業學生正在用計算機進行建模實驗

本文附表1給出《MATTER & INTERACTIONS》教材中第一學期物理導論課程的計算機實踐要求以供參考。

本文對CHABAY和CHERWOOD撰寫的《MATTER & INTERACTIONS》(Vol.1)所融入的計算機技術作了一個簡單的介紹，其主要目的就是要將國外對高校基礎物理教學的改革介紹給國內同行。文中主要資料來源于作者對該教材敘述的文摘。不到之處敬請諒解。

附表1 計算機實驗項目要求

續表

和網站

[1] CHABAY R W, SHERWOOD B A. MATTER & INTERACTIONS(Vol. 1)[M]. New York: John Wiley & Sons，Inc. 2015.

[2] 何焰蘭，彭剛，劉一星，等. 《Six Ideas that Shaped Physics》以及其課程實踐——以華盛頓大學“物理學導論”的教學為例，[J].大學物理，2016，35(2)：41-47. HE Yanlan， PENG Gang， LIU Yixing, et al.《Six Ideas that shaped physics》 and its practice course——taking the practice of the“Introduction to the physics”course in Washington University as an example[J]. College Physics, 2016, 35(2): 41-47.(in Chinese)

[3] 何焰蘭, 黎雙, 楊筱,等.美國華盛頓大學的物理實驗教學——以華盛頓大學《物理學導論》的教學為例[J].大學物理，2016(1)：45-48. HE Yanlan, LI Shuang, YANG Xiao, et al. Physics experiment teaching in Washington University—Taking the teaching of “Introduction to Physics” as an example[J]. College Physics, 2016(1): 45-48. (in Chinese)

[4] MOORE T A. 六大思想構建物理學(影印本，1,2,3)[M].北京：機械工業出版社，2016.

[5] CHABAY R, SHERWOOD B. Matter & interactions[J]. Research-Based Reform of University Physics. 〈www.compadre.org/per/per_reviews/volume1.cfm〉.

[6] CHABAY R, Sherwood B. Computational physics in the introductory calculus-based course[J]. Am.J.Phys. 2008(76): 307-313.

[7] “BIO2010: Transforming undergraduate education for future research biologists,” (www.nap.edu/openbook.php?isbn=0309085357).

[8] “CISE pathways to revitalized undergraduate computing education (CPATH),” 〈www.nsf.gov/pubs/2006/nsf06608/nsf06608.htm〉.

[9] CHABAY R， SHERWOOD B. Matter & Interactions Ⅰ: Modern Mechanics and Matter & Interactions Ⅱ: Electric & Magnetic Interactions[M]. 2nd ed. New York: Wiley, 2007; also see 〈www4.ncsu.edu/～rwchabay/mi〉.

[10] CHABAY R, SHERWOOD B. Bringing atoms into first-year physics[J]. Am.J.Phys, 1999, 67(12): 1045-1050.

[11] CHABAY R, SHERWOOD B. Modern mechanics[J]. Am.J.Phys. 2004, 72(4): 439-445.

[12] CHABAY R, SHERWOOD B. Restructuring the introductory electricity and magnetism course[J]. Am.J.Phys, 2006, 74(4): 329-336.

[13] CHABAY R, SHERWOOD B. Surface charge distributions in circuits[J]. Spring Joint Meeting of the Texas Section of the Aapt, 2015.

[14] SHERWOOD B A, CHABAY R W. A unified treatment of electrostatics and circuits, 1-19，http://matterandinteractions.org/articles-talks/