運(yùn)動滑板數(shù)學(xué)模型的建立及動力學(xué)分析

胡仕成 曾 強(qiáng) 熊豪利

（1.中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南長沙410000；2.高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙410000）

0 引言

滑板運(yùn)動起源于沖浪運(yùn)動，第一塊滑板誕生于19世紀(jì)50年代。常見滑板由一塊板、兩個支架、兩個基座和四個輪組成，支架與基座連接，固定在車板上，支架基座組件是滑板最重要的結(jié)構(gòu)部件[1]，如圖1所示。

圖1 滑板二維正視圖

20世紀(jì)70年代末80年代初，M.Hubbard[2-3]提出了滑手在滑板上運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用動力學(xué)的基本定理，得出模型的運(yùn)動方程。A.S.Kuleshov[4]在M.Hubbard提出的模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析，使用Gibbs-Appell形式的運(yùn)動方程得到滑板運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型。本文利用ADAMS軟件建立滑板剛?cè)狁詈夏Ｐ停M(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，測量板面傾斜角度與車輪旋轉(zhuǎn)角度，代入數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證動力學(xué)模型的可行性。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)滑手在整個運(yùn)動過程中，板面傾斜角度為γ，引入OXYZ固定坐標(biāo)系，O為原點(diǎn)，位于平面的某個點(diǎn)上，軸線OZ引導(dǎo)為垂直于運(yùn)動平面；線段AB由其中心坐標(biāo)X和Y確定，角度θ由該線段和固定軸OX確定；當(dāng)板傾斜角度γ時，前軸順時針旋轉(zhuǎn)角度δf，同時后軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度δr，如圖2、圖3、圖4所示，那么：

圖2 滑板板面傾斜示意圖

圖3 滑板各輪軸偏轉(zhuǎn)示意圖

圖4 滑板0xy坐標(biāo)系

推導(dǎo)將滑板傾斜度和軸線轉(zhuǎn)動角度關(guān)聯(lián)起來的公式，引用微量旋轉(zhuǎn)理論，考慮滑板前軸圍繞傾斜軸線的微量旋轉(zhuǎn)ηf；軸線圍繞矢量e1轉(zhuǎn)動角度-γ，圍繞矢量轉(zhuǎn)動角度-δf；得：

2 動力學(xué)模型的建立

2.1 滑板虛擬樣機(jī)的建立

利用三維建模軟件SolidWorks建立滑板各零件的實(shí)體模型，然后進(jìn)行無干涉裝配，導(dǎo)入ADAMS，該系統(tǒng)需要添加的約束分別為：（1）滑板板面與基座固定；（2）兩側(cè)螺桿頭與基座固定；（3）滑板支架頂部半球與基座采用圓柱副；（4）螺桿與螺帽固定；（5）滑板支架與輪子采用旋轉(zhuǎn)副。建立的滑板虛擬樣機(jī)如圖5所示。

圖5 滑板虛擬樣機(jī)

2.2 基于ADAMS與ANSYS柔性體聯(lián)合仿真

ADAMS/Flex模塊允許在ADAMS模型中根據(jù)模態(tài)頻率數(shù)據(jù)創(chuàng)建柔性體部件[5-6]。PU墊材料為氯丁橡膠，其材料屬性定義如下：彈性模量E=1.5e6 Pa，泊松比μ=0.49，密度ρ=1.25 kg/m3。單元類型：solid185，對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分。根據(jù)實(shí)際接觸，建立主節(jié)點(diǎn)與剛性區(qū)域，生成MNF文件[7]，導(dǎo)入ADAMS。

2.3 確定接觸載荷與階躍力函數(shù)

滑板基座、支架、螺桿、螺母等材料為鋼材，PU墊、輪為橡膠材料。由上所述，確定各接觸副的參數(shù)，表1為ADAMS中部分材料的碰撞參數(shù)，代入各項(xiàng)參數(shù)。

表1ADAMS部分材料碰撞參數(shù)

定義三個作用力，F(xiàn)orce1水平作用于板面中心位置，提供滑板直行動力；Force2垂直作用于板面中心位置，模擬人給滑板的壓力；Force3垂直作用于板面邊緣，為滑板提供偏載。三個作用力STEP函數(shù)為：

Force1：STEP(time，0，20，0.5，0)

Force2：300*time

Force3：STEP(time，0.5，300，3，0)

2.4 仿真結(jié)果分析

經(jīng)過仿真計(jì)算，得到板面傾斜角度γ隨時間變化曲線圖，如圖6所示。由圖可知，0.5 s前，滑板平穩(wěn)向前運(yùn)動，板面傾斜角度保持在0°，平行地面；0.5 s后，板面在受到偏載后發(fā)生傾斜，隨時間變化傾斜角度趨于穩(wěn)定，得到板面傾斜角度γ=90°-86.55°=3.45°。

圖6 板面傾斜角度γ隨時間變化圖

與此同時，得到了在板面傾斜狀態(tài)下，前軸順時針旋轉(zhuǎn)角度δf，同時后軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度δr隨時間變化曲線圖，如圖7、圖8所示。由圖可知，前軸與后軸都發(fā)生了相應(yīng)的偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角度為δf=2.9°，δr=3.7°。

圖7 前軸旋轉(zhuǎn)角度δf隨時間變化圖

圖8 后軸旋轉(zhuǎn)角度δr隨時間變化圖

實(shí)測得λf=λr=42.3°，將λf、γ代入式（1）、（2）中，理論上可得δf=δr=3.14°，計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果偏差不明顯。從圖中可以看出，滑板在0.5 s后，前后軸旋轉(zhuǎn)角度都趨于一個穩(wěn)定值，與實(shí)際情況相符。綜上，驗(yàn)證了模型的可行性。

3 結(jié)論

本文從滑板的結(jié)構(gòu)出發(fā)，采用微量旋轉(zhuǎn)理論，得到滑板面傾斜角度與車輪旋轉(zhuǎn)角度的函數(shù)關(guān)系，利用剛?cè)狁詈辖⒍囿w動力學(xué)仿真，得到以下結(jié)論：

（1）根據(jù)矢量加法法則，得到前后軸旋轉(zhuǎn)角度δf、δr與γ的數(shù)學(xué)關(guān)系。

（2）滑板前后軸旋轉(zhuǎn)仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果偏差不明顯，且仿真過程中滑板前后軸旋轉(zhuǎn)角度都趨于一個穩(wěn)定值，與實(shí)際情況相符，驗(yàn)證了模型的可行性。

[1]胡小明，虞重干.體育休閑娛樂理論與實(shí)踐[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]HUBBARD M.Skateboard-A Human Controlled Non-Holonomicsystem[J].Philosophical Transactions of The Royal Society,1979,46:931-936.

[3]HUBBARD M. Human control of the skateboard[J].Journal of Biomechanics,1980,13(9):745-754.

[4]KULESHOV A S.Nonlinear Analysis of the Skateboard Dynamics[J].Journal of Biomechanics,2007,40:400.[5]鄭建榮.ADAMS——虛擬樣機(jī)技術(shù)入門與提高[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

[6]劉小平，鄭建榮，朱治國，等.SolidWorks與ADAMS/View之間的圖形數(shù)據(jù)交換研究[J].機(jī)械工程師，2003（12）：26-28.

[7]劉曉東，章曉明.基于ADAMS與NASTRAN的剛?cè)狁詈象w動力學(xué)分析方法[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2008（2）：168-170.