基于泰勒公式分析高等數學的解題技巧

司國星 閆麗娜

【摘要】泰勒公式作為高等數學中非常重要的數學公式，在高等數學中的應用非常廣泛，為學生解決高等數學問題提供了十分重要的幫助.本文介紹了泰勒公式的具體內容，對學生在學習高等數學過程中產生的問題進行了相應的分析，提出了怎樣運用泰勒公式提升高等數學的解題技巧的方法，加深學生的學習印象，促使學生在學習成績提高的同時，培養學生的學習方法.

【關鍵詞】泰勒公式；高等數學；解題技巧

一、泰勒公式的具體內容

在高等數學學習中，對于泰勒公式的應用十分普遍，通過利用泰勒公式將低級函數展開成為冪級數，求解函數的近似值.泰勒公式作為高等函數中的重要公式，在數學應用中具有重要作用.泰勒公式的具體內容為：設函數f（x）在點x0處的某鄰域內具有n+1階導數，對該鄰域內異于x0的任意點x，在兩點之中至少存在一點ξ，使得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x），其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1，ξ在x0與x之間.當公式中x0=0時，f（x）=f（0）+f′（0）x+12！f″（0）x2+…+f（n）（0）n！xn+Rn（x），此公式是泰勒公式的子公式，被稱為麥克勞林公式.在高等數學的學習過程中對這兩類公式的應用十分普遍.通常應用泰勒公式與麥克勞林公式解決函數的極限、求函數極值、應用到高階導數之中，從而為高等數學的解題提供方便的回答方式，為學生對數學知識的學習提供了方便.泰勒公式在高等數學中的應用，讓教師在為學生進行數學問題講解時，簡化了解題步驟，讓數學的解題過程更便于學生的理解，提升了課堂效率.

二、學習高等數學產生的問題

學生在學習高等數學時面對陌生的數學問題，極易產生疑問.學生在面對數學疑問的過程中，并不懂得如何利用數學公式解決數學問題.因此，學生在學習過程中應加強對數學公式的理解，同時多做題、勤翻書，讓自己對數學公式的印象更加深刻.學生在面對數學問題時總是把問題復雜化，如，在求解函數的極限時，學生運用公式的不恰當，讓解題方法復雜化，從而降低了學生的學習興趣，影響了學生學習成績.學生在處理數學問題的過程中，應總結教師的解題方法，面對數學問題時，認真分析，抓住問題關鍵點，從而解決問題.學生在面對高等數學問題時，對問題分析的準確性低，對問題矛盾的主要方面與次要方面把握不到位，學生對公式應用的不熟練，促使學生無法解答數學難題.學生在把握數學問題主次時，可以通過同學之間的相互討論，師生之間的相互交流，分析問題的主次程度，在這一過程中總結出適合自己的學習方法與學習習慣.學生在計算函數極值過程中對泰勒公式運用方法的不恰當，也讓學生無法求出極值，從而影響數學問題的解答.在應用泰勒公式的過程中，學生對高階導數的認知不夠全面，不懂得怎樣利用泰勒公式解決高階導數問題.同時，學生對廣義積分的收斂性判斷不夠準確，影響學生的運算過程，讓學生產生錯誤的運算結果，從而影響學生的學習.面對以上情況時，學生應該加強對公式的記憶，在做題的過程中多應用泰勒公式解題，提高運用泰勒公式的熟練程度，從而提升數學成績.

三、泰勒公式在高等數學中的解題技巧

（一）泰勒公式求函數的極限

函數作為高等數學中的一個難點.函數分為初級函數與高級函數，其中對于函數的極限求解也有不同的解決方法.泰勒公式在函數中的應用十分普遍，在函數的極限問題中，泰勒公式主要被應用于對函數極限結果的具體運算.以下用具體問題來說明.求 limx→0cosx-e-x22x4.解：cosx=1-12！x2+14！x4+o（x4），e-x22=1+-x22+12-x222+o-x222，所以 limx→0cosx-e-x22x4=-112.通過此計算過程，我們可以了解到，應用泰勒公式進行函數的極限求解過程中，學生對于泰勒公式的記憶一定要深刻，運用過程要熟練.泰勒公式在解答無窮小量中具有重要作用，泰勒公式被用于表達無窮小的階數和具體的表達式中的系數.具體例子如下：已知，當x→0時，ex-1+ax1+bx相對于x為三階無窮小，求a和b的值.解：首先要做的是把整個式子打開，ex=1+x+12！x2+13！x3+o（x3）+bx=1-bx+b2x2-b3x3+o（x3），所以ex-1+ax1+bx=ex-11+bx-ax1+bx=1+x+12！x2+13！x3-（1-bx+b2x2-b3x3）-（ax-abx2+ab2x3）+o（x3）=（1-a+b）x+12-b2+abx2+16+b3-ab2x3+o（x3），由整個題目的含義我們可以推斷出1-a+b=0而且12-b2+ab=0，依據這個結果我們可以算出a=12且b=12.通過泰勒公式在函數極限與求無窮小中的應用，我們可以清晰地認識泰勒公式對于解答函數問題的幫助.學生通過對公式的熟練掌握，有利于對函數問題的解答，方便學生對函數問題的探索.在對函數的解答過程中加深了對函數題型的了解，為函數的學習打下了基礎.

（二）泰勒公式在高階導數中的應用

泰勒公式除了在函數中的應用以外，還可以用于高階導數問題的解答.通過泰勒公式解答高階導數問題，簡化了學生的解題過程，讓學生學習高等數學的過程更加輕松.泰勒公式指導了高階導數的運算過程，為高階導數的解答，提供了解題思路，同時泰勒公式還可以應用于更復雜的高階導數之中.

（三）判斷廣義積分的斂散性

泰勒公式在高等數學中還可以應用于判斷廣義積分的斂散性，級數的通項表達式通常由不同類型函數表達式構成，函數的表達形式具有繁難性，往往是通過利用泰勒公式將級數進行簡化或進行相應的運算簡化，以便對廣義積分的斂散性的判斷.例如，討論級數∑∞n=11n-lnn+1n 的斂散性.分析：在解題過程中直接根據通項判斷函數是正級數或非正級數十分困難，所以也無法準確地判斷其收斂性.注意到lnn+1n=lnn+1n，若將其中的冪函數運用泰勒公式將其展開，形成冪的形式，在開二次方后與1n相呼應，讓其便于斂散性的判斷.解：∵lnn+1n=ln1+1n=1n-12n2+13n2-14n2+…<1n，∴lnn+1n<1n，∴un=1n-lnn+1n>0，故該級數是正項級數，∵lnn+1n=1n-12n2+13n3+o1n3>1n-1n2+14n3=1n-12n32=1n-12n32，∴un<1n-1n-12n32=12n32，∵∑∞n=112n32收斂，運用正項級數比較判別法判斷斂散性，知原級數收斂.泰勒公式通過對函數的展開與收縮簡化了函數的斂散性的判斷方式.泰勒公式對于廣義積分斂散性的判斷方式具有極強的簡化技巧，讓學生在運用過程中簡化了解題步驟，提高了學生的學習效率.在判斷斂散性的過程中通過應用泰勒公式提升了教師的講課效率，讓高等數學知識更加簡便易懂.

（四）運用泰勒公式判斷函數極值

泰勒公式在高等數學中的應用廣泛，為學生的學習提供了極大的幫助.運用泰勒公式解決求函數極值的問題，讓學生的解題過程更加簡單，簡化了解題過程，便于學生理解.同時，學生通過應用泰勒公式問題，提升了研究數學問題的興趣.泰勒公式在函數極值中的應用，增加了課堂解題的靈活性.

四、結語

總而言之，高等數學作為一門基礎性學科，在學習過程中對于公式的熟練應用十分重要，泰勒公式作為高等數學中最重要的公式之一，對于函數的極限、函數極值等問題的解答具有重要作用，提升了答題效率.同時，泰勒公式對于判斷廣義積分的斂散性也能起到重要作用.學生通過掌握泰勒公式在各種高等數學問題中的應用，提升了自身的答題技巧，培養了正確的數學學習方法，提升了數學成績.泰勒公式在教學課堂中的使用，便于學生對于數學問題的理解，讓教師的講課內容更加通俗易懂，提升了課堂的教學效率.

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