在平面向量教學中培養學生數形結合思想

劉順強

由于向量是中學數學課程改革中新增的內容，所以在教學實踐方面必然會經歷一個實驗、探索、調整、完善的過程，在平面向量教學中出現一些誤區.例如，過于強調向量的工具性與優越性，而很少提及向量應用背后的思想方法體系，是相當普遍的現象.其實，向量的引入有助于學生更好地建立代數與幾何的聯系，能讓中學生盡早地了解和掌握向量的思想方法；用向量研究問題時可以實現形象思維和抽象思維的有機結合，發展學生數形結合的思想方法，以向量為載體，可以讓學生初步了解用“數”的知識處理“形”的問題的一般步驟和方法（向量法與坐標法），進而培養學生數形結合思想.

一、在向量的線性運算中滲透數形結合思想

向量不同于數量，它既有大小又有方向，是一個具有幾何與代數雙重身份的概念，同時也是一個具有一套優良運算通性的數學體系.向量的幾何成分很多，有的概念可以用有向線段來表示，有的運算直接用幾何作圖來定義，有的處理方法則滲透著數與形的辯證關系，向量的這些幾何屬性為培養學生的數形結合思想提供了條件.

幾何作圖不僅是平面向量中的一項基本技能，而且也是滲透數形結合思想的絕佳素材.教學時多讓學生畫圖，多讓學生辨認復雜圖形中各向量之間的關系，例如，“向量的加法與減法”，教學中要讓學生在幾何作圖中學運算，更要學生在運算中體會數形結合思想，教學實踐中，可以分為四個階段.第一階段要求學生用定義作出兩個向量的和向量，通過作圖讓學生深刻領悟定義中“取”“作”“則”三個字的含義.第二階段要求學生通過兩個向量進而掌握三個、四個向量的和向量.先在三角形、平行四邊形等簡單圖形中辨認向量，再在復雜的五邊形、六邊形等復雜圖形中辨認向量，通過作圖讓學生探索向量加法的法則和運算規律，實現知識由表象向本質深化的目標.第三階段要求學生先作出一個向量的相反向量，再作出兩個向量的差向量，通過作圖讓學生自行定義向量的減法，實現知識的主動構建.第四階段要求學生先進行向量加減法的幾何作圖訓練，再進行向量代數運算訓練，實現向量運算由直觀形象向抽象符號的過渡.這樣教學不是對向量運算簡單地下定義，而是引導學生在作圖中感悟隱含于向量運算之中的數形結合思想，分階段展示向量運算的形成過程，使得學生所學的不再是零散的知識點，而是有序的知識鏈，把數學知識結構內化成學生的認知結構，有利于滲透數形結合思想.例如，已知|a|=|b|=1，|a+b|=2，求|a-b|.

很多學生在解本題的時候傾向于模長、數量積的代數公式，而且容易計算錯誤，如果通過向量加減法的平行四邊形法則作圖就可以直接畫出答案，在教學中充分利用了幾何直觀性的特點，注意從形和數兩個方面來理解.

二、在向量與數量的對比中突出數形結合思想

向量與數量的概念之間，運算體系、處理方法之間等都可以用來對比，通過對比，可以減少負遷移的產生，使學生認清向量的運算對象，并能正確運用向量的運算法則進行學習.比如，向量數量積的結合律a·（b·c）≠（a·b）·c，但是在多項式的運算中乘法的結合律a（bc）=（ab）c卻是正確的.了解了向量的幾何意義，就能清楚地認識這兩種運算律在本質上的區別，會通過舉例的方式指出其錯誤.又如，向量的運算法則、運算律與實數的運算法則、運算律的對比，向量的平行與垂直的條件、直線平行與垂直的條件的對比，向量夾角、直線的傾斜角、復數的輔角的對比，對于初次接觸向量的學生來說，教學難度就在于向量存在著多條與應用了十多年的數量運算格格不入的法則，存在一些與以往不合邏輯的性質，比如，“0向量的方向任意，可平行，可垂直”“向量包含大小，但不可以比較大小”等，教學中重視向量這些不合常理的性質的分類與對比，做到化解難點，顯示向量帶方向的圖形特征，所以，對比是學習向量的一種良好方法，也是突出數形結合思想的有效途徑.

三、在向量的應用中發展數形結合思想

1.重視用數形結合思想指導解向量題.在向量解題活動中，我們經常可以看到這樣的現象：學生只是滿足于用某種方法進行問題的解答，而不再進行進一步的思考和研究，未能對向量解題過程中的教學思想進行升華，以教“入寶山而空手回”.向量解題教學不要以題論題，要多引導學生“是如何想的”，要教會學生“要如何下手”，學生最關心的問題是：以后遇到類似的問題，思路遇阻的原因，以及如何找到解題方法，要解決上面的問題，關鍵把數學思想貫穿于解題教學的各個環節，實現向量解題教學的優化，向量解題的思維過程常常離不開數形結合思想的指導，它是開通解題途徑的金鑰匙.例如，已知a=（-3，4），|a-b|=1，求|b|的最大、最小值.如果設b=（x，y），利用條件列方程組計算比較麻煩，很難利用代數運算實現目標，可以借助向量減法的三角形法則（a，b，a-b構成三角形）、坐標的幾何意義、向量模長的幾何意義求解：作出a的坐標，a與b的三角形法則，則b的終點軌跡為圓，圓的半徑是1，圓心是a的終點，從而可知最大值是5+1=6，最小值是5-1=4.

利用數形結合的思想讓學生理解向量運算的形的特征，主動通過“畫”出答案，在圖中顯示數學思維過程，有效地反映數學知識的應用過程.

2.重視在向量的加法、減法、數乘、數量積運算教學中發展數形結合思想.由于向量具有幾何與代數的雙重屬性，這就為“數”與“形”的問題搭起了橋梁，利用這座橋梁，我們根據“數”的結構特征，構造出與之相應的“形”，并利用“形”的特性與規律，解決數的問題；或者將圖形的信息轉化成數的信息，使要解決的問題轉化成對數量關系的討論.

縱觀高考這幾年的試題，考查向量的比重有所下降，但是向量與復數、解析幾何、三角函數的交匯較多.在平面和向量的章末小結中，應以數形結合思想方法為主線貫穿相關知識：平面向量的一個基本定理，平行與垂直的充要條件，向量的三種表示方法，向量的四種運算及運算律.在復習向量時，抓住向量與解三角形的交匯，向量與函數（特別是三角函數）的交匯，向量與橢圓、雙曲線、拋物線的軌跡方程的交匯，引導學生適當綜合歸類，能起到強化數形結合應用的意識.數學家華羅庚曾說：“數無形時少直覺，形少數時難入微.”向量教學中要努力體現數形結合思想，不失時機地向學生滲透這種思想，培養學生運用數形結合思想解決向量問題的能力.endprint