學“數”以致用用“數”以促學

汪道智

【摘要】數學核心素養是近期數學教育研究的熱門話題.數學建模能力的培養更是在平常教學中被教育者所忽視的.我們的教學中，一方面，要讓學生學習數學知識后能在生活中使用數學，感受到數學的作用，另一方面，通過使用所學的數學知識能促進學生學習數學的興趣，發展能力.做到學“數”以致用，用“數”以促學.

【關鍵詞】核心素養；數學建模；能力培養

“數學素養”已經成為近年來數學教育研究中很多人關注的一個問題.首都師范大學王尚志教授在“關于普通高中數學課程標準修訂”的專題報告中提出：中國學生在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養.

其中，“數學建模”是在原高中數學課改大綱要求的抽象概括、邏輯推理、空間想象、運算求解、數據處理五大能力基礎上做出的新的要求.在教學過程中筆者發現很多學生看不到學習數學有什么用，學習數學的過程中也感受不到數學的作用，甚至很多數學教師在教育的過程中對學生說：“學習數學是為了高考.”這真的是數學教學中的一種悲哀.筆者認為，在教學中，一方面，要讓學生學習數學知識后能在生活中使用數學，感受到學習數學的作用，另一方面，讓學生通過使用所學的數學知識激發他們學習數學的興趣以及提高應用數學的能力.筆者將在本文中談談教學中對學生數學建模能力的培養問題.

一、數學教學中培養數學建模能力的必要性

R·柯朗在《什么是數學》的序言中有這么一段話：“今天，數學教學有時竟演變成空洞的解題訓練，這種訓練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考.數學研究已經出現一種過分專門化和過于強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系.”在我們的數學教學過程中，大部分教師也在對學生進行著大量反反復復的解題訓練，學生只能長時間地處于一種被動的學習狀態，一直到高考結束.然而，這樣的學習方式造成的結果是學生對數學學習的一種厭煩，不知道為什么學習數學.有這樣一個例子：一所“985”高校，學生的高考數學成績平均分在125以上，入學后僅一個月，學校再次組織學生考同樣的高考試卷，平均分降到了100分，再過了兩個月，考同樣的試卷，平均只有及格了.這說明很多學生在高考結束后原來學習的數學知識很快就忘了，這樣的教學還有什么實際的意義.可見，在數學教學中加強數學的應用意識的培養是非常必要的.而數學建模（mathematica modeling）是數學學習的一種新的方式，能讓學生體驗到數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗運用數學知識解決實際問題的過程，增強應用意識，利于激發學生學習數學的興趣.

二、關于高中數學建模

（一）《普通高中數學課程標準（實驗）》對數學建模的要求[1]

《普通高中數學課程標準（實驗）》要求：高中數學建模要以不同形式滲透于必修以及選修的課程中去.《標準》雖然對數學建模的課時和內容沒有做具體安排，但是教師可以根據學生實際情況安排數學建模活動的內容.實際上普通高中課程標準實驗教科書人教A版的教材中在很多章節里都設置了關于數學建模的問題.如，必修四第62頁例4、選修2-2第35頁例3.

筆者認為在教學過程中應該對教材中設置的部分數學建模的活動予以重視，因為它為學生創設了一個學數學、用數學的環境，為不同水平的學生提供展現他們創造力的舞臺.學生在參與數學建模的過程中能得到學數學、用數學的實際體驗，有助于對數學的理解，并能激發學習數學的動力.

（二）高中數學建模的問題選擇

不同的學生有不同的數學發展水平，開展數學建模活動的關鍵是尋找適合學生參與的好問題.筆者在教學中結合學生特點，并結合正常的課堂教學，在部分環節上“切入”建模的問題以及與學生的生活實際緊密相關的問題來進行數學建模活動.這樣不僅不會增加學生的學習負擔，而且在建模的活動中加深了對所學數學知識的理解，做到學“數”以致用，用“數”以促學，從而培養能力，激發興趣，形成學生主動學習的良性循環.

（三）高中數學建模的基本流程框圖

三、教學中引入數學建模活動的意義

（一）有利于開闊學生的視野

數學建模所要解決的問題往往不僅僅是數學這一門學科的問題，它除了要求學生要有扎實的數學基礎知識，還要求學生有較強的查閱資料的能力，必要時還需要了解實際生活中的很多問題，如工廠生產、物理化學原理、經濟投資等方面的相關知識.數學建模的過程能讓學生感受到原本想象中很簡單的事情做起來并不簡單，要解決問題，原有的知識根本不夠.需要翻閱大量的書籍或者充分利用網絡的力量拓寬自己的知識面.

（二）有利于增強學生的自學能力和創新能力

在傳統的課堂教學模式中，學生的很多知識都是在一種被灌輸的狀態下掌握的，尤其是高中的應試模式，都是教師先講例題，學生再模仿，不利于學生學習能力的發展.隨著社會的發展，在知識激增、科學技術日新月異的今天，人們要適應不斷發展變化的新的生活環境，沒有一定的自學能力必將被社會所淘汰.不會自學就更加不會創新，如今的時代更是一個創新的時代.學生在參與數學建模的過程中必然會去主動學習一些教材中所沒有的知識，在遇到問題時能迸發智慧的火花挖掘出內在的潛能去創造新的解決問題的方法.

（三）有利于培養學生相互合作的團隊意識

數學建模活動往往不是一個人完成的，它需要多人合作分工.俗語說：“三個臭皮匠，頂個諸葛亮.”一個人的思考總是不夠全面的，只有一個團隊密切合作、集思廣益、取長補短，才能從不同觀點的討論中綜合出最優的方案.這種相互合作的團隊意識，在未來的工作和生活中是極為重要的.

（四）有助于提高學生的綜合素養

數學建模首先需要將實際問題抽象為數學問題，有助于提高學生的數學抽象能力和想象力；數學建模的過程是反復利用數學知識對實際問題進行分析、推理與計算的過程，有助于提高學生的邏輯推理能力、數學計算能力以及對數據的處理能力等.所以，開展數學建模教學有利于對學生其他數學核心素養的培養和提高.endprint

四、高中數學建模教學案例分析

高中數學建模教學應該滲透到各個模塊的學習中去，如函數問題、三角函數問題、不等式問題、解析幾何問題、立體幾何問題、概率問題、數列問題、平面向量等等.

下面是筆者在教學過程中的一個數學建模案例“足球比賽中的射門位置問題”.

問題的提出：相信不少同學喜歡踢足球，請同學們思考，什么時候是射門的最好時機？

問題分析：在不考慮其他因素的情況下，射門的角度越大，就越容易進球.

資料準備：需要同學們了解足球方面的一些常識.

足球場：

國際比賽標準：長度最短100米（110碼），最長110米（120碼）；寬度最短64米（70碼），最長75米（80碼）.

模型假設：不考慮球員的個人能力問題，以點代替足球，以直線代替足球的軌跡，射門時沒有受到防守隊員的干擾.

模型的建立及求解：

國際標準足球場地的規格為：長104米、寬69米，足球門寬7.32米，中圈半徑9.15米.

問題討論1：右前鋒得球后，沿平行于邊線的直線PC帶球到前場，球門AB寬7.32米，球門柱A到PC的距離AC=a米，那么右前鋒要將球推進到距底線CD多少米時，為射門的最佳位置？

學生甲：當∠APB最大時為最佳射門位置.

如圖1所示，設PC=x，∠APC=β，∠APB=α，

則tanβ=ax，tan（α+β）=7.32+ax，

tanα=tan（α+β）-tanβ1+tan（α+β）·tanβ=7.32+ax-ax1+7.32+ax·ax

=7.32x+（7.32+a）·ax≤7.322x·（7.32+a）·ax

=7.322（7.32+a）·a，

當且僅當x=（7.32+a）·ax時，等號成立，即x=（7.32+a）·a 時，tanα取得最大值，由正切函數的單調性知此時∠APB最大.所以，當球員到底線距離為（7.32+a）·a時為最佳射門位置.

教師：非常好，現在甲同學已經把球員在邊路某一直線上的最佳射門位置找到了，同學們再思考能不能將球員在接近球門的某一區域內的最佳射門位置找到？

學生乙：可以建立如圖2所示的平面直角坐標系，球員在右側進攻時，設球員的位置P（x，y），剛才解法中的a=y-3.66，即x=（3.66+y）·（y-3.66），化簡得y2-x2=3662（x≥0，y≤34.5）.這樣，最佳的射門位置所形成的軌跡是雙曲線的一部分.

教師：太棒了，乙同學告訴球員進攻時按照這條雙曲線的軌跡找最佳射門位置，快點告訴他們，中國能去俄羅斯了.同學們再仔細思考，我們得到的射門最佳軌跡是在門框兩側的區域，那么如圖3所示，門框范圍線內的區域如何尋找最佳射門位置呢？

學生丙：如圖3所示，在門框區范圍線域內，若P點的縱坐標y保持不變，很顯然橫坐標x越小，∠APB越大；若橫坐標y保持一定，tan∠APB=AEx+BEx1-AEx·BEx，

由于AE+BE=7.32，且AE·BE≤（AE+BE）24，所以tan∠APB≤7.32x-7.3224x，當且僅當AE=BE時，“=”成立.即P點在x軸上時，∠APB取得最大值.

教師：非常好，三名同學把球場各個不同區域內的最佳射門位置找到了.剛才討論的問題都是局限于平面范圍內討論，也是相對簡單的研究結果.其實，這個問題遠遠沒有那么簡單.比如，我們還可以考慮球員射門時足球的飛行軌跡與地面形成的角度，也可以研究球員射門時守門員的最佳防守位置等等.當然，要解決這些復雜的問題，我們需要更多的知識和數據的收集，同學們可以在進入大學后深入研究這類問題.

在上述教學過程中，學生用到了兩角和差的正切公式、基本不等式、雙曲線的標準方程等高中數學常用的知識，充分調動了學生學習數學的積極性，使他們感受到學習數學是有用的，從而達到學以致用、用以促學的教學目的.

總之，數學建模是數學學習的一種新的方式，有利于開闊學生的視野，有利于增強學生的自學能力和創新能力，有利于培養學生相互合作的團隊意識，有助于提高學生的綜合素養.

在高中數學的教育過程中，應該穿插數學建模的教學，使得學生在學完一塊內容之后能感受所學知識的作用，體會數學的內涵與魅力.同時，培養學生的應用意識以及提高解決實際問題的能力.

【參考文獻】

[1]嚴士健，張奠宙，王尚志.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004：279-288.endprint