簡析如何在物理解題中運用“微元法”

李偉成

摘要：本文結合例題簡要探究了“微元法”在物理解題中的應用，希望能給我們的物理解題教學帶來幫助。

關鍵詞：“微元法”；物理解題；應用

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）09-0125

“微元法”是分析、解決物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。利用“微元法”處理問題時，需將復雜的物理過程分解為眾多微小的、遵循相同規律的“元過程”（微元），從而將非理想物理模型變成理想物理模型，然后利用必要的數學和物理方法處理“元過程”（微元），從而解決問題。下面，筆者僅就“微元法”在物理解題中的應用，贅述膚淺認識。

一、“微元法”解題的一般步驟

1. 選取微元用以量化元事物或元過程；2. 視元事物或元過程為恒定，運用相應的規律給出待求量對應的微元表達式；3. 在微元表達式的定義域內施以疊加演算，進而求得待求量；

二、“微元法”在解題中的應用

1. 直接以微元為研究對象解題

對于連續變化過程中某個量，以全過程為研究對象難以求解，可選取微元為研究對象解題。

例1. 高壓采煤水槍出口的橫截面積為s，水的射速為v，射到煤層上后水柱的速度變為零，若水的密度為ρ，求水對煤的沖力。

【解析】用微元法分析，取沖到墻上的一小段水柱為研究對象，設這一小段水的質量為Δm，則Δm=ρvΔts。取水平向左為正方向，由動量定理得：FΔt=P′-P=Δmv=ρvΔtsvF=ρv2s由牛頓第三定律，水對煤層的沖力F′=-F=-ρv2s，其中負號表示方向水平向右。

例2. 陰極射線管中，由陰極K產生的熱電子（初速為零）經電壓U 加速后，打在陽極A 板上。若A板附近單位體積內的電子數為N，電子打到A板上即被吸收。求電子打擊A板過程中A板所受的壓強。（已知電子的電量為e、質量為m）

【解析】用微分法分析：

在時間Δt內打在A板S面積上的電子數：N′=N（νΔt）S①

動能定理：eU=■mν2②

動量定理：PSΔt=N′mν③

由①②③得：P=2NeU

2. 取微元為研究對象再求和解題

功是力在位移上的積累，沖量是力對時間的積累，位移是速度對時間的積累，電量是電流對時間的積累……一些習題中常需要求解一個變化量對另一個量的積累。解這類問題，微元法是常用方法。取微元，再結合微元的物理意義，運用數學工具（如運用圖象面積）求得微元之和，常可破解難點。

例3. 如圖所示，頂角θ=45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中，一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿導軌MON向右運動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r。導體棒與導軌的接觸點為a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸。t=0時，導體棒位于頂角O處，若在時

刻將外力撤去，求導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x。

【解析】導體棒做變加速運動，運動過程中導體棒有效長度、受力、速度都在不斷變化，故利用牛頓定律和運動學公式求位移，顯然不行。能否取微元求和，通過求面積來求位移？取足夠短時間微元Δt，在Δt內導體棒的運動可視為勻速運動，導體棒有效長度、電流均視為恒定。

撤去外力后，設任意時刻t導體棒的坐標為x，速度為v，有效長度為l，Δt內通過距離Δx，則在t～t+Δt時間內，由動量定理得

BllΔt=mΔν

■Δs=mΔν （極短時間內：lνΔt=lΔx=Δs）

■■Δs=■mΔν

■■Δs=mν0

導體棒掃過面積

Δs=■=■（x0=ν0t0）

x=■

（作者單位：廣西梧州市第十五中學 543000）endprint