以拋物線為載體的特殊圖形

林天國

摘要：在拋物線為背景的前提下，動態探究特殊三角形、平行四邊形等存在性試題。

關鍵詞：拋物線；存在性；分類討論

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）09-0126

在近幾年的各地中考數學試題中，壓軸題備受關注，各地中考的壓軸題基本上都是動態幾何問題，動態問題常與存在性問題結合，二次函數的拋物線上的點的存在性探究的壓軸試題是探究性問題中的一類重要題型。在拋物線為背景的前提下，動態探究特殊三角形，平行四邊形等存在性試題，其綜合性較強，變式多樣，這類問題綜合性較強，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，解題時要特別關注運動和變化過程中的不變量、不變關系和特殊關系。本文對近幾年全國各地中考數學試題中考查以拋物線為載體的特殊幾何圖形的存在性，進行分類歸納。

一、等腰三角形的存在性問題

在討論等腰三角形的存在性問題時，一般要先分類討論。如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三種情況。

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在y軸上是否存在點M，使△ACM為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：（2）討論△ACM為等腰三角形，若AC為腰，有兩種情況：AM=AC，CM=CA；若AC為底，則頂點M在AC的垂直平分線上。

簡解：（1）y=-■x2+■x+3

（2）由A（-2，0）、C（0，3），得AC=■。

①如圖1，當AM=AC時，M、C關于x軸對稱，此時M（0，-3）。

②如圖2，當CM=CA=時，OM=+3，或OM=-3。

此時M（0，3+■），或（0，3-■）。

③如圖3，當MA=MC時，作MN⊥AC于N，那么■=■，即CM·CO=■CA2。

所以，CM·CO=■×13=■，CM=■×■=■所以OM=3-■=■。此時M（0，■）。

2. 直角三角形的存在性問題

解直角三角形的存在性問題，一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程。有時根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便。

如圖，拋物線y=-x2+4x-3與軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點D，在拋物線上是否存在一點P，使△BDP得是直角三角形？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由。

解：由y=-x2+4x-3=-（x-1）（x-3），得D（0，-3）、A（1，0）、B（3，0）.

所以OB=OD=3，BD與坐標軸的夾角為45°.設點P的坐標為（x，-x2+4x-3）.△BDP是直角三角形分三種情況討論：

①如圖1，當∠PBD=90°時，∠PBO=45°，所以PH=BH

解方程-x2+4x-3=3-x，得x=2或x=3（與B重合，舍去）.此時P（2，1）

②如圖2，當∠PDB=90°時，∠PDM=45°，所以PM=DM

解方程x=-3-（-x2+4x-3），得x=5或x=0（與D重合，舍去）.此時P（5，-8）

③如圖3，當∠BPD=90°時，△PEB∽△DFP，所以■=■.

解方程■=■，整理，得x2-5x+5=0.解得x=■

此時P（■，-■）或（■，-■）

圖1 圖2 圖3

3. 平行四邊形的存在性問題

解平行四邊形的存在性問題一般分三個步驟：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算。難點在于尋找分類標準，尋找恰當的分類標準，可以使得解的個數不重復不遺漏，也可以使計算又準又快。

已知直線y=kx+b（k≠0）過點F（0，1）與拋物線y=■x2交于B、C兩點。

（1）如圖，當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；

（2）在（1）的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

（上接第126頁）

分析：（1）首先求出C的坐標，然后由C、F兩點用待定系數法求解析式即可；

（2）因為DM∥OF，要使以M、D、O、F為頂點的平行四邊形，

則DM=OF，設M（x，-■x+1），則D（x，■x2），表示出DM，

分類討論列方程求解。

簡解（1）y=-■x+1

（2）要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則MD=OF

設M（x1，-■x+1），則D（x1，■x12）因為MD∥y軸，所以MD=-■x+1-■x12，由MD=OF，可得-■x+1-■x12=1，①當-■x+1-■x12-1時，解得x1=0（舍）或x1=-3，所以M（-3，■）（如圖1）

②當時-■x+1-■x12，解得x1=■，

所以M（■，■）或M（■，■）（如圖2）

綜上所述，存在這樣的點M，使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，M點坐標為（-3，■）或（■，■）或（■，■）

以拋物線為載體、滿足某種條件的幾何圖形是否存在的問題，是中考的熱點和難點。解決這類問題的關鍵是，弄清函數與幾何圖形之間的聯系，在解題過程中將函數問題幾何化，幾何問題數量化，數形統一，同時要學會將大題分解為小題，各個擊破。

（作者單位：福建省莆田青璜中學 351111）endprint