從阿波尼斯圓談起

武占斌

摘要：高考試題，立足教材，能力立意；數學學習，發展思維，終身受益。數學是一種追求思維深度的藝術，寧靜方能致遠！探究要有深度、厚度、廣度，需要我們教師適時引領。本文以阿波尼斯圓為切入點展開了探究。

關鍵詞：數學教學；阿伯尼斯園；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）09-0127

已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點P的軌跡是一個圓。

這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。它的證明可用坐標法實現，也可用三角形的內外角平分線（逆）定理——幾何法實現（如圖）。

由∵∠1=∠2∴■=■由∵∠3=∠4∴■=■

可見∠2+∠3=■ ■=■=■∴PM⊥PN故P點的軌跡是以MN為直徑的圓。M、N分別是線段AB的內分點與外分點。

阿氏圓在現行教材人教社A版《必修二》第四章出現了三處之多，P134 B組3題，P139用《幾何畫板》探究點的軌跡：圓，P144B組2題。如此高頻率的出現，編者難道是無心插柳？事實上真可謂重要的事情說三遍！編者在P141寫到：“類似地，用《幾何畫板》可以探究許多軌跡方面的問題，《幾何畫板》為我們提供了一個實驗、發現、猜想的環境，這種環境可以啟發我們用數學思想方法驗證我們的猜想”試著想下去，阿氏圓是到兩定點的距離之比為定值，那么到兩定點的距離之和、差、積為定值？不得不說是暗暗為圓錐曲線的學習埋下了伏筆。

在教學實踐活動中，筆者以三處問題為載體，有機融合為一體，引入阿波羅尼斯圓，倡導學生勇于探索，大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法，學生能夠批判質疑，辯證地分析問題，做出選擇與決定。教師經常這樣不斷的引領，讓學生勤于反思，學會學習，才會具有終身學習的意識和能力，高考中才會立于不敗之地。

與阿波羅尼斯圓有關的高考試題近些年屢見不鮮，下面筆者縱向深入，以一個省份——江蘇高考與阿波羅尼斯圓的關系見證。

例1. （2008年江蘇）若AB=2，AC=■BC，則S△ABC的最大值——

分析：本題以求由初中知識三角形的面積切入，也可以由正余弦定理、三角形面積公式切入，還可以由海倫公式切入，都不及用以阿波羅尼斯圓半徑為高，面積最大，簡潔方便。本題以三角形面積為載體，巧妙將高中數學的主干知識與數學思想、數學方法交匯一體，真不失為一道看似淡雅，實則內涵濃深的好題！

例2. （2013年江蘇 14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4。

設圓C的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線上y=x-1，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍。

分析：第一問簡單。第二問如果能透過現象揭示本質，認清楚命題意圖是想考察阿波羅尼斯圓與圓C的位置關系，將會迎刃而解。

解：（1）聯立：y=x-1y=2x-4，得圓心為：C（3，2）.

當k存在，設切線為：y=kx+3，

d=■=r=1，得：k=0 or k=-■a.

故所求切線為：y=0 or k=-■x+3.

（2）設點M（x，y），由MA=2MO，知：■=2■

化簡得：x2+（y+1）2=4，

即：點M的軌跡為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.

又因為點在圓上，故圓C圓D的關系為相交或相切.

故：1≤|CD|≤3，其中|CD|=■

解之得：0≤a≤■

高考試題，立足教材，能力立意；數學學習，發展思維，終身受益。數學是一種追求思維深度的藝術，寧靜方能致遠！探究要有深度、厚度、廣度，需要我們教師適時引領。

（作者單位：山西省大同市第一中學校 037000）endprint