從學生思維最近發展區啟發學生的解題思維

吳正春

【摘要】數學是一門抽象性和復雜性較強的學科，學生在解決數學問題時需要具有開放性的數學思維.本文將對從學生思維最近發展區啟發學生的解題思維進行探討.

【關鍵詞】思維最近發展區；解題思維；數學

教學生解題是教師的分內事，可如何使學生解好題，會解題，這也是教師們所要追求的.從學生的思維最近發展區去啟發學生的解題思維不失為一個有效的方法，現把我一節解題課的部分環節介紹給大家，望得到大家的賜教.

例已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點P（3，1）其左、右焦點分別為F1，F2，且F1P·F2P=-6.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點，且F1M⊥F2N，則以MN為直徑的圓C是否過定點？請說明理由.

一段時間過后橢圓E的方程基本上學生能求對x218+y22=1.對于第二問卻不知怎么辦.

對此我抓住學生原有的知識生長點，以此鋪墊一步一步地啟發與提示，獲得此類問題的一個大致解題模式.

學生熟悉直線過定點的問題：如，y=kx+1這條動直線是否過定點？學生幾乎全知道過定點（0，1）.問：為什么知道過定點（0，1）？學生們的回答是令x=0，算出y=1，所以過（0，1）點.再問：為什么想到令x=0？就沒有學生回答上來了.

學生回答不上來，估計理由有兩點：一是沒有明白“y=kx+1是否過定點”是什么意思；二是令x=0的根據是什么？解決好了這兩個問題，估計例題的解題思路也就有個七八成了.

先解釋“y=kx+1是否過定點”是何意.

若動直線y=kx+1過定點的話，意思就是說k取每一個不同的值，y=kx+1就代表一條不同的直線.如果這無數直線都過同一個點的話，我們就認為動直線y=kx+1過定點.

怎樣求y=kx+1過的定點呢？根據上面的解釋，當k=k1時，y=k1x+1過此定點；當k=k2時，y=k2x+1也過此定點.所以，定點即為直線y=k1x+1與y=k2x+1的交點.因此，只需任取k的兩個值，求這兩條直線的交點即可.不妨設k1=1，k2=2，由y=x+1，y=2x+1， 解得x=0，y=1. 又∵（0，1）坐標符合方程y=kx+1，∴定點為（0，1）.

學生能理解，但上述的解法不便模式化.換種方式解釋“y=kx+1是否過定點”.若y=kx+1過定點（x0，y0），不就是說y0=kx0+1對k∈R都成立嗎？不就是說關于k的方程x0k=y0-1有無數多個解嗎？

初一時，學生們就討論過方程ax=b的解答.再次強化學生們已有的思維生長點：（1）當a≠0時，方程有唯一解：x=ba；（2）當a=0，b≠0時，方程無解；（3）當a=0，b=0時，方程有無數多個解.

同學們，你們知道關于k的方程x0k=y0-1什么時候有無數多個解嗎？

當x0=0，y0-1=0， 即x0=0，y0=1 時，方程有無數多個解.

∴定點就是（0，1）.

現在知道當初為什么令x=0的理由了嗎？

其實，若直線y=kx+1過定點，意味著關于k的方程xk=y-1有無數多個解.令x=0，y-1=0 x=0，y=1 定點即可求出.

從學生思維的最近發展區出發，激發學生思維的生長點.一步一個臺階，順藤摸瓜，學生自然會找到解題的切入點.回到本例：

師：有哪名同學能說說你的想法嗎？

過了好長的時間，有學生站起.

生A：想把圓C的含有參數的方程寫出來，然后尋求關于這個參數的方程是否具備無數多個解的條件.如果具備，則圓過定點，如果不具備，則圓不過定點.

師：你能再重復一遍的你想法嗎？說慢一點，看同學是否有異議.

基本無異議后，教師又問：誰會寫出圓C的方程？

生B：設M（5，m），N（5，n），則圓C的方程為：（x-5）2+y-m+n22=m-n42.

有兩個參數，關于哪個參數的方程有無數多個解呢？學生又不會了.

師：你能消去一個參數嗎？m與F1M⊥F2Nmn=-9之間有依賴關系嗎？還有條件沒有用嗎？

生C：有.由F1M⊥F2Nmn=-9.

師：現在消去一個參數，理論上可行.想想消去一個參數后方程可能有些復雜.在mn=-9的條件下，方程可以化簡為……

生D：（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0.

師：這些圓是否過定點，誰能用自然語言描述一下其思考方向.

生E：在mn=-9的前提下，不論m，n取何值，上式表示的圓均過同樣的點，這樣就表示動圓過定點.

師：再想想，往上面所說過的話上想，再說說.

生E：即關于（m+n）的方程y（m+n）=（x-5）2+y2-9是否具備有無數多個解的條件？

令y=0，（x-5）2+y2-9=0 x=8，y=0 或x=2，y=0.

∴圓過定點（8，0）和（2，0）.

本節課盡管只講了兩道題（講此題前講了一題）復習的效率看似低了一些，但內心很高興，學生們差不多都會了這種題的解題思路.學生們的數學基礎不是很好，這就要求教師還要更多地去了解學生，了解初中數學課程，做到今后的分析和講解能更貼近學生的思維最近發展區.

【參考文獻】

[1]姜潔.淺析中學生數學解題思維能力的提升[J].新教育時代電子雜志，2016（4）：38.

[2]吳帶春.從學生思維最近發展區啟發學生的解題思維[J].讀寫算，2015（11）：49.endprint