定角定邊解三角形題的“輪回轉世”

林海衛

三角形的三條邊a，b，c和三個角A，B，C叫作三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.解三角形的主要工具是正弦、余弦定理.

解三角形問題，或注重考查“雙基”即基本知識和基本方法，或注重考查與三角函數知識、不等式知識、平面向量知識、解析幾何知識等綜合運用.解三角形問題，要注意三角形的隱含條件，如三個內角和為180°、大邊對大角、任意兩邊之和大于第三邊、角的正弦值為正數等.解三角形是研究任意三角形的邊角關系，其關鍵是要抓住解三角形的知識和方法，再掌握解三角形的一些基本題型及解題方法.

下面，筆者從任意三角形的定角定邊元素入手，通過三角形題的輪回轉世來分析解三角形過程中出現的一些題型及其解題思路.

例題在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若A=π3，a=3，求b+c的取值范圍.

解析（法一）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC，得b=2sinB，c=2sinC，

b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin2π3-B=3sinB+3cosB=23sinB+π6.

又因為B∈0，2π3，從而b+c∈（3，23].

（法二）由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA.

可得3=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，

從而（b+c）2=3bc+3，

因為b+c≥2bc即bc≤b+c22，

所以（b+c）2≤3b+c22+3，解得-23≤b+c≤23，

又因為b+c>a=3，從而b+c∈（3，23].

（法三）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R.

從而點A在實線圓弧上運動，如右圖從變化趨勢看，A趨向B，C時b+c最小，A位于A0處，b+c最大，因而，b+c∈（3，23].

注：此法對于選擇填空題相當簡便.

轉世為向量題：已知單位向量a，b，c，x，且a+b+c=0，記y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，則y的最大值為.

解析如圖所示，由已知可得，正△ABC，邊長為3，設OA=a，OB=b，OC=c，OD=x，

則|x-a|=|AD|，|x-b|=|BD|，|x-c|=|CD|，

從而y=|AD|+|BD|+|CD|，在△ADC中，AC=3，∠ADC=120°，從而（|AD|+|CD|）max=2，此時|BD|同時取到最大值2（即外接圓直徑），從而ymax=4.

轉世為實際問題：如圖所示，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米），如何設計能使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠）？

解析更換參照系，讓M，N定，則A在如右圖圓弧上運動，Q為MN中點，|PQ|=3，顯然易得|AQ|max=3，

此時AQ⊥MN，即A，Q，P三點共線，所以|AP|max=23.

轉世輪回題：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若A=π3，a=3，求△ABC內切圓半徑r的取值范圍.

解析（法一）3=a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，從而bc=13[（b+c）2-3].

又由S=12（a+b+c）r=12bcsinA，得

r=bcsinAa+b+c=32bc3+b+c

=36（b+c）2-33+b+c=36（b+c-3），

即求b+c的取值范圍（求b+c的取值范圍的解答詳見例題）.

（法二）由切線長相等，得|AD|=b+c-a2=b+c-32，又在直角△ADO中，tan30°=rAD，即|AD|=3r，從而可得r=36（b+c-3），即求b+c的取值范圍.

只要掌握解決問題的基本方法和策略，就可以以點帶面，提高解題效率.對于一些更復雜的三角形綜合題，可能是正弦和余弦定理、三角函數、不等式、平面向量、解析幾何等知識的綜合運用，只要掌握解三角形的解題思路，再利用轉化與劃歸思想、數形結合思想，解題就會游刃有余.

【參考文獻】

[1]趙建軍.例談用正弦余弦定理解三角形[J].數學學習與研究，2012（18）：108.endprint