圓錐曲線的性質與推廣應用

李雪萌

【摘要】從幾何觀點來說，圓錐曲線指的是一個平面去截一個二次錐面時得到的交線.它通過直角坐標系，與二次方程是相一致的，因此，圓錐曲線又可以稱作二次曲線.它主要包括橢圓、拋物線和雙曲線.本文主要對圓錐曲線的定義及主要性質，也就是橢圓、拋物線和雙曲線的性質做了簡單的概述，由此也對圓錐曲線的推廣應用做了總結和說明，同時分析了圓錐曲線在實際生活和解題答題中的應用，以加深人們對圓錐曲線的認識，同時鼓勵人們利用所學數學知識來解決實際生活中的問題.

【關鍵詞】圓錐曲線；性質；推廣應用

一、圓錐曲線

從幾何觀點來說，圓錐曲線指的是一個平面去截一個二次錐面時得到的交線.它通過直角坐標系，與二次方程是相一致的，因此，圓錐曲線又可以稱作二次曲線.它主要包括橢圓、拋物線和雙曲線.

圓錐曲線屬于解析幾何的內容之一，也是中學學習的重要內容.所以，研究圓錐曲線對于解決數形結合的數學問題和幾何問題有重大的意義.

二、圓錐曲線的性質

圓錐曲線主要包括橢圓、拋物線和雙曲線.

第一：橢圓.橢圓是指圓錐與平面的截線.在一個平面內，兩個定點的距離之和等于常數（常數大于兩個定點的距離之和）的動點的軌跡叫作橢圓.它的方程式是x2a2+y2b2=1（a>b>0），其中離心率0

第二：拋物線.在一個平面內，一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.它的方程式是y2=2px，其中離心率e=1.

第三：雙曲線.在一個平面內，一個動點和兩個定點的距離差的絕對值是一個常數的點的軌跡叫作雙曲線.它的方程式是x2a2-y2b2=1，其中離心率e=ca>1.

為了更清晰地展現出三者的性質特征，我們可以通過表格直觀地看下：

類型橢圓拋物線雙曲線

方程式x2a2+y2b2=1（a>b>0）

y2=2px

x2a2-y2b2=1

范圍-a≤x≤a

-b≤x≤b

x≥0

y∈R

x≥a或x≤-a

y∈R

對稱性

關于x軸、y軸對軸

關于原點中心對稱

關于x軸

關于x軸、y軸對稱

關于原點中心對稱

頂點（-a，0）（a，0）（0，-b）（0，b）

（0，0）（-a，0）（a，0）

離心率0

e=1e=ca>1

焦點（-c，0）（c，0）c2=a2-b2p2，0

（-c，0）（c，0）c2=a2+b2

漸近線無無y=±bxa

準線x=±a2c

x=-p2

x=±a2c

三、圓錐曲線性質的推廣應用

第一：橢圓的應用.

光學特性.光線從橢圓的一個焦點發出，通過橢圓的反射，放射光線交匯于橢圓的另一個焦點上.我們去電影院觀看電影時會發現，電影放映機上聚光燈泡的反射鏡上面的軸截面是橢圓形的，這正是利用了橢圓的光學特性，計算好燈泡和電影膠片的距離就能獲得最強的光線，讓觀看達到最好的效果.

第二：拋物線的應用.

手電筒.手電筒里的小燈泡后面有一個鏡面呈拋物線形狀的反光鏡.對于拋物線來說，從焦點發出的光，通過拋物面的反射，反射光線會與拋物線的對稱軸相平行，這樣我們就能夠在晚上利用手電筒看清周圍的東西.

第三：雙曲線的應用

冷卻塔.火電廠和核電站里的通風冷卻塔的建立是為了節約水資源，從冷卻器排出的熱水在冷卻塔中冷卻后被循環利用.大型電廠的冷卻塔多是采用雙曲線型.雙曲線型冷卻塔占地面積較小，它的冷卻效果不受風力的影響，因此，水量損失小.雙曲線型冷卻塔關于電能方面的節約也是非常大的.

四、圓錐曲線在解題中的應用

圓錐曲線是中學數學的重要內容，因此，在數學和幾何中經常出現有關于圓錐曲線的問題.主要有利用圓錐曲線的性質來求解圓錐曲線的最值、相應直線與圓錐曲線的位置關系來求組成的四邊形的最大值和求離心率等這樣的問題.

五、總結

圓錐曲線不僅是中學教學中的一個重要內容，而且在我們的日常生活和解題中有著非常普遍又廣泛的應用.圓錐曲線包括橢圓、拋物線和雙曲線，想要深入了解圓錐曲線的性質，就必須對橢圓、拋物線和雙曲線的相同及不同的性質進行一一了解，最后歸納總結，這樣才能全方位地透徹地理解圓錐曲線的內涵與性質，有助于對圓錐曲線的推廣，從而才能更好地利用圓錐曲線為人類服務.

【參考文獻】

[1]常海波.例談圓錐曲線的性質在解題中的運用[J].高中數理化，2015（4）：9.

[2]謝高峰，陳紅.生活中的橢圓[J].數理天地（高中版），2009（1）：5.