中小學數學閱讀教學策略的實踐探索

吳樂樂，柏 楊，吳龍龍

（1.重慶市教育科學研究院，重慶 400015；2.重慶市大渡口區百花小學，重慶 400084；3.重慶市實驗中學，重慶 401320）

數學起源于人類早期的生產活動，應用于解決實際問題，是一門古老的工具學科。數學學科的本質是一種語言，核心功能是交際工具。中小學數學課程標準明確指出，“數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具”[1]。“數學作為對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學、技術科學等科學的基礎，而且在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮著越來越大的作用。”[2]引導中小學生學習數學語言、掌握數學語言、運用數學語言，進一步深化數學閱讀、跟進數學表達、強化數學交流，最終實現掌握舊知、探究未知、獲取新知、發展已知，提升數學核心素養已經成為中小學數學課程與教學改革關注的重點。

一、數學閱讀是數學學習的重心

經濟合作與發展組織、歐盟、加拿大、英國、法國、日本、新加坡等紛紛將“語言溝通與交流”“數學表達和理解”納入21世紀學生發展核心素養。[3]數學作為一種科學語言和交際工具，其溝通與交流能力、理解與表達能力更是學生發展的關鍵能力和數學學習的側重點。

數學語言，不僅具有漢語、英語、法語等語言具有的符號性、系統性、傳承性和交際性等特征，更具有嚴謹性、準確性、簡約性、不變性等特點。正如數學基本符號、基本公式、基本公理等，在任何國家所傳遞的信息均不會改變。數學語言已經成為全世界、全科學領域內通用的“無障礙”交際語言。

學習一門語言，最重要的是培養“聽、說、讀、寫、譯”五大能力，概括起來就是“輸入”與“輸出”兩大維度的能力。通過“聽、讀”輸入信息，通過“說、寫、譯”輸出信息。結合數學學科的特點，數學語言的學習關鍵應該是培養學生的閱讀與表達能力。數學閱讀是數學表達的前提，為數學表達提供信息、奠定基礎，是數學學習的關鍵。正如我們在語言學習過程中，第一個環節大體都是搞懂、明白、理解對方的意思，然后才有針對性地組織語言，做出相應的語言表達。

數學閱讀是一種理解、領悟、吸收、鑒賞、評價和探究的思維過程。數學閱讀是深入貫徹數學學科三大核心思想——抽象思想、推理思想和模型思想[4]，有效轉化數學學科三大特征（也是三大重難點）——高度抽象性、嚴謹邏輯性和廣泛應用性[5]，有效培養數學學科十大核心素養——數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識[6]的重要載體和重要保障。數學閱讀能夠實現抽象問題的具體化、生活化處理，能夠科學有序地開展嚴格的邏輯推理及論證，能夠準確建構數學模型高效解決社會實際問題。

中小學教育教學實踐表明，數學閱讀能力是優秀學生必須具備的關鍵能力，也是優秀學生變得更加優秀的關鍵能力。而絕大多數學困生，歸因于數學閱讀綜合能力低，具體表現為：一是數學閱讀興趣低，內動力不足；二是數學語義理解能力、邏輯判斷能力、分析概括能力、組織轉化能力、聯想創造能力等偏低，閱讀基礎薄弱；三是數學閱讀材料以及方法的選擇提煉能力低，閱讀效果不佳。因此，數學閱讀能力的培養是數學語言學習的核心，是數學課程實施的關鍵。

二、中小學數學閱讀教學的著力點

認知結構主義心理學家布魯納強調學科結構的重要性，提出“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構”，指出“學科的基本結構是指一個學科圍繞其基本概念、基本原理以及基本態度和方法而形成的整體知識框架和思維框架”。[7]“基本概念”“基本原理”“基本態度與方法”成為學生掌握學科基本結構的框架體系和關鍵載體。

數學作為一種思維形式的判斷與推理，通常以定理、法則、公式等方式表現出來。林崇德指出，提高數學能力的關鍵是“合并同類項”，實質就是培養由個別到一般的概括能力。數學教學的重點在于講清楚基本概念，而數學概念的掌握需要概括能力做基礎，同時又促進概括能力的發展。[8]史寧中在《基本概念與運算法則》一書中，明確并強調了“基本概念”與“運算法則”是數學教學的核心內容。[9]李光樹指出，數學概念、定理、公式、法則等以及它們之間的聯系是構成數學認知結構的物質基礎。[10]

結合數學教學實踐，不難發現“基本概念”“公式法則”“基本定理”“問題解決”等，既是教師教學與學生學習的重心，也是考試評價的重心；既是培養學生運用數學語言、數學工具探究未知、獲取新知的關鍵，也是發展理性思維和智力文化的關鍵。數學“基本概念”“公式法則”“基本定理”和“問題解決”成為中小學數學閱讀教學關注的重要內容。

三、中小學數學閱讀教學的策略

張楚廷指出，“哲學就是一門尋根究底的學問，或者說就是打破砂鍋問到底的學問”[11]。數學被古希臘學者視為“哲學之起點”“學問的基礎”，那么數學“基本概念”“公式法則”“基本定理”“問題解決”等閱讀教學，更應該做到“咬文嚼字”“追根溯源”“厘定關聯”等。

（一）基本概念的閱讀策略——咬文嚼字、發散聯想

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。數學概念的教學一般要經過從孤立到系統、從抽象到具體、從表面到本質的過程[12]，基本策略是“咬文嚼字、發散聯想”。

如“鄰補角”是指“兩個角，有一邊是公共邊，另一邊是互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角”。閱讀教學過程中，從質性的位置關系解讀，“鄰”就是“相鄰、鄰居”的意思；從量性的數量關系解讀，“補”就是“互補”的意思，言外之意，滿足“相鄰”的位置關系和“互補”的數量關系的兩個角，就是互為鄰補角。鄰補角不是一個角的性質特征，而是兩個角之間的質性、量性關系。

又如“系數”是指“單項式中的數字因數”。閱讀教學過程中，“系”要與“一女牽牛過獨橋”的“牽”，也就是“在前邊拉、拽”等關聯起來。“系數”也要充當位居前邊的角色，這與單項式的表達規則，即“數字因數寫在字母因式之前”的規則相吻合。

按照“咬文嚼字”和“發散聯想”相結合的方式開展數學基本概念閱讀，能夠深度解讀、挖掘、理順字與字之間的關聯，能夠準確掌握概念界定的科學性和嚴謹性，能夠極大促進學生認知。

（二）公式定理的閱讀策略——追根溯源、系統建構

數學公式定理通常具備三種功能：一是表達理論依據；二是表達規則及作用；三是表達遵循的基本程序或方法。公式定理是建立在數學基本概念之上的，是聯結多個基本概念、厘清并表達概念與概念之間內在關聯的核心主線。數學公式定理的閱讀和學習，需要做到“追根溯源”“系統建構”，以理順核心知識主線，強化認知聯結。

如“一元二次方程求根公式”是在“降次”思想指導下，通過“配方法”，將等式的一邊化成關于未知數的“完全平方式”，另一邊化成不含未知數的式子，然后根據“求平方根”的運算，實現“降次”的目標。同時，根據“求平方根”的基本原則，得出“一元二次方程求根公式”有意義的條件是“被開方式子非負”，由此得出一元二次方程“根的判別式”結論。甚至通過設置問題，引導學生驗算得出“韋達定理”的結論。

進一步延伸，“一元二次方程求根公式”是求解“一元二次方程”的通法，但不是唯一的方法。“一元二次方程”的求解是建立在“一元一次方程”的知識、方法儲備基礎上的。聯想到“多元一次方程組的求解”是通過“加減消元、代入消元”等方法，將“多元”成功轉化成“一元”，那么“一元二次方程”的求解也應該通過“降次”的思想，將“二次”甚至“高次”成功轉化為“一次”，然后再求解。

“降次”的對立面是“升次”。我們可以通過“求平方根”，即“開平方”實現“降次”，還可以通過哪些知識實現“降次”？繼續引導學生進行深入挖掘和系統建構，“開平方”的逆運算是“平方”，正如“除法”的逆運算是“乘法”，“因式分解”的逆運算是“整式乘法”一樣。我們在“因式分解”中學過運用“十字相乘法”分解“二次三項式”，而“一元二次方程”含有未知數的一側恰好也是“二次三項式”，如果我們能夠把“一元二次方程”含有未知數的一側因式分解成兩個“一次因式”的乘積，那么也能夠實現“降次”，求解出方程。這樣，通過“一元二次方程求根公式”，我們把“完全平方公式”“配方法”“因式分解”“整式乘法”等知識與方法的內在關聯進行了系統梳理和建構，促進學生數學知識圖譜的建構和推導運用。

（三）綜合問題的閱讀策略——學思知行、雙向轉換

中小學數學課程的學習涉及“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”等四個領域，“知識點的瑣碎性使綜合應用題、幾何證明題的求解具有多樣性、困難性，使不少學生因難度大而難以解決此類問題”。[13]實踐表明，“讀不懂題意”“理不順關系”是求解綜合應用題、幾何證明題的最大障礙。歸根結底，原因在于不會用數學的眼光觀察問題，不會用數學的思維思考問題，不會用數學的語言表達問題。[14]“數學的語言表達”是一切數學學習和教學活動的最終落腳點和最終升華點。這類綜合問題閱讀教學的基本策略是“學思知行”“雙向轉換”。

“學思知行”是數學教育的基本要求，也是處理數學綜合應用問題和幾何證明問題的基本策略。數學綜合問題的解決過程是學、思、知、行相互交織、共同作用于學生學習和教師教學的整體。打造“學思知行”有機結合的數學課堂是破解課堂教學難題的一大突破口。[15]“學”要做到有目的、有計劃、有組織，聚焦待解問題，提綱挈領地學習、掌握題干內容、已知條件的內在關聯和主旨要義。“思”要做到解題思維“雙向轉換”、語言符號“雙向轉換”、方法思路“雙向轉換”，分析問題采取由問題到條件的逆向思維，解答問題采取由條件到問題的正向思維，細讀、深究已知條件與待解問題之間的內在關聯，確定解題思路，做到“能進能退”。“知”是建立在“學”與“思”的基礎上的，是數學思想、數學知識、數學方法、數學策略等學科素養的綜合體現，需要長時間的積累和升華。“知”能夠為我們求解綜合應用問題、幾何證明問題提供“頓悟”式解題思路和策略，這與赫爾巴特建構的“基于已有經驗、知識、興趣、態度等而產生的一種自發心理活動，即統覺”是相一致的。“行”是綜合問題閱讀教學的最后一個環節，也是數學解題能力提升的最重要的一個環節。“行”是將“學”“思”“知”三個環節的分析、建構、頓悟等結論，用數學符號、數學語言表達出來的過程，需要做到思路清晰、邏輯嚴謹、簡明扼要、表達規范。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京:人民教育出版社，2012：1-5.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京:北京師范大學出版社，2012：1-7.

[3]黃四林，左璜，莫雷，等.學生發展核心素養研究的國際分析[J].中國教育學刊，2016（6）：8-14.

[4]史寧中.漫談數學的基本思想[J].中國大學教學，2011（7）：9-11.

[5]曹培英.從學科核心素養與學科育人價值看數學基本思想[J].課程·教材·教法，2015，35（9）：40-43，48.

[6]馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015，35（9）：36-39.

[7]布魯納.布魯納教育論著選[M].邵瑞珍，張渭城，等，譯.北京：人民教育出版社，1989:23.

[8]林崇德.從智力到學科能力[J].課程·教材·教法，2015，35（1）：9-20.

[9]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京:高等教育出版社，2013.

[10]李光樹.小學數學學習論[M].北京:人民教育出版社，2014.

[11]張楚廷.課程與教學哲學[M].北京:人民教育出版社，2003：18.

[12]徐同,翟士杰.高中數學概念教學淺議[J].當代教育科學，2015（6）：61-62.

[13]李燦釗.初中數學教學要注重學生綜合應用能力的培養[J].中國教育學刊，2017（6）：106.

[14]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017，37（4）：8-14.

[15]馬曉丹.“學思知行”是破解數學課堂教學難題的關鍵[J].中國教育學刊，2017（6）：106.