線性代數課程改革的思考與實踐

◆張書華 趙俊英

1 線性代數教學中存在的普遍問題

線性代數課程是高等學校理工、經管類專業開設的一門重要公共基礎課程，以線性問題為主要研究對象，處理問題的方法滲透到科學技術的各個方面，對培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、計算能力具有非常重要的作用。在后續的很多課程中都會涉及線性代數的相關理論知識，如信號處理、圖像處理、電路基礎、自動控制、計算機網絡優化等。因此，線性代數是后續課程的前提條件，也是繼續深造和進一步從事科學研究的理論基礎，對它的學習是非常有必要的。

線性代數課程的特點是有較高的抽象性和嚴密的邏輯性，概念和定理較多，計算量大，學好線性代數有一定的難度。在課程學習中，學生由于對線性代數的應用不了解，學習處于被動地位；又由于課程理論抽象，計算較為煩瑣，學生感覺不到線性代數理論體系存在的實際意義，對所學知識很迷茫，從而失去學習的興趣。因此，為了激發學生的學習興趣，提高學生學習課程的主動性，改革“黑板+多媒體”的教學模式勢在必行。

天津商業大學理學院長期重視大學生綜合素質的培養，不僅重視本科課堂教學的質量，更注重大學生創新能力的鍛煉，通過線性代數課程組教師的共同努力，在教學中研究探索，在線性代數課程改革方面采取一系列措施，取得不俗的成績。

2 課程改革應解決的問題

傳統的線性代數教材追求邏輯推理的嚴密性和理論體系的完整性，往往重理論而輕實踐應用，導致教學內容過于抽象，難以理解，且不利于與其他課程相聯系，從而出現學生“學不懂，不會用”的局面。因此，根據多年線性代數課程教學經驗，將線性代數課程改革目標定位為致力于解決線性代數課程“從何而來，為什么要學，學了有什么用”的問題，從教學內容、教學方式、考核方式等各個方面對課程進行改革，主要體現在通過重新編寫教材，改革課堂教學模式（增強數值計算實際案例，并引入數學實驗課教學），借助于網絡教學平臺，改革考核方式，使學生在獲得知識的同時，在綜合設計能力和創新能力方面有明顯提高。

3 采取的措施

編寫新的教材天津商業大學人才培養定位為培養復合型、創業型、應用型人才，根據學校的培養目標和學生的實際情況，于2010 年編寫了新的教材《線性代數及其應用》及配套輔導書《伴你學數學》。教材注重從實際背景和幾何問題引入概念，注重每章內容體現的數學思想，例如：通過行列式定義的引入，體現出由特殊到一般、由表及里的數學思想；通過矩陣運算的定義，體現數學中類比的思想等。結構安排邏輯性強，注重線性代數在經典案例中的應用。輔導書與教材緊密配合，給出各章節的基本題型和解題技巧，對于易錯題型給出分析；并對于一些抽象概念的發展歷史、幾何應用、數學家的故事進行介紹，讓學生明白線性代數課程中的概念“從何而來”。教材使用幾年來，受到師生的一致好評。

實行分層教學根據不同專業對線性代數課程要求的不同，將課程分為64 學時、48 學時、32 學時三個層次，這三個層次主要在要求學生掌握知識的全面程度、計算能力、應用理論和計算機解決問題的能力方面有所差異。對有特殊培養目標（如卓越工程師試點班）的學生單獨設立教學大綱和教學計劃，著重引入線性代數工程上的應用能力，培養學生應用代數解決問題的能力。總之，要將線性代數“因班制宜”。

改革教學方法學生只有明白“為什么要學”，才會重視課程，而對課程的重視程度對學生的學習至關重要。重視課程學習的學生在學習中會充滿熱情，積極主動地學習，學習中遇見困難會想辦法解決而不會被困難嚇退。因此，在教學中主要從以下幾方面入手。

1）讓學生重視線性代數課程。每學期授課開始，都會有學生問這門學科是研究什么的，對他們的專業有什么幫助等問題。因此，在開學第一課給學生講明線性代數的特點和內容之間的聯系，和其他數學課程的聯系，對今后學習專業課有什么幫助，使學生對線性代數的學習有一個初步的了解。可以舉一些簡單的例子來說明課程的目的和研究對象。如在第一次課上，可以向學生闡明“線性代數是解決數學中線性關系的問題”，因為線性關系對學生來說并不陌生，在中學就知道函數的線性關系，如y=2x，所以學生一開始就會有個直觀的感覺；然后強調線性代數不僅僅是研究簡單的一元變量之間的關系，它更強大的功能是解決多元變量之間的線性關系。

又如通過解線性方程組的思想告訴學生，線性代數的主要研究對象是變量之間的線性關系，同時讓學生感受線性代數是解決實際問題不可缺少的工具，他們的專業課中凡是可以轉化為線性方程組來解決的問題，都可用代數方法處理。

將最深奧的理論用最簡單的語言來解釋，例如：代數中“線性相關的定義”“向量空間的概念”等定義，可以借助于“三原色”來引入；而矩陣的運算，可以類比實數中的運算引入，讓學生真實地感受到產生這些理論的思想和方法其實很自然也很簡單，讓學生明白線性代數的知識不是抽象獨立的，增強學習的積極性。只有學生真正懂得一門課程的來龍去脈，體會到一門課程的重要性，才能做到想學、會學，能夠學懂、會用。

2）不斷提高教師的教學水平。要求教師認真設計每一節課“教”的方案，力求做到就像看精彩的電視連續劇一樣，讓學生聽課時享受其中，課下盼著下次課的到來；還應該設計出難度梯度，就像人們玩電子游戲一樣，既能過得了前面的關，又不會很順利地玩到通關。教師不一定能做到和電視游戲一樣，但只要以這個為目標去設計每一節課，總會有效果。另外，教師要及時總結教學過程，及時記錄每次講課成功的以及不成功的地方，以便下一輪備課時發揚優勢，改變缺點；聽取優秀教師、教學名師講課，學習如何設計一節課的教學計劃，如何處理重點、難點，如何引導啟發學生思考，如何控制課堂的紀律，更為關鍵的是如何生動有趣地教學等。

力求做學生信任的教師，正如全國教學名師朱士信所說：“如果學生不信任你，懷疑你的水平或能力，你的教學效果肯定不好，你說的話或你要求做的事，學生肯定不聽或不做；如果學生信任你，學生會盡力按你說的去做。”

3）讓學生參與教學。學生是學習的主體，在教學中盡可能讓學生參與其中，會充分調動學生的學習積極性。如果班級人數較少，給出討論題目，在課上由學生自由分組討論，教師做總結。

如一次討論課提前給出討論的題目：矩陣的初等變換及其應用。要求討論內容包括概念、求解方法、舉例、應用案例等。自由結組，每組選出一位組長，每人寫一份內容整理，由組內討論整理，確定內容后選一位同學報告，每組講解十分鐘。內容提示：兩個矩陣等價；將矩陣化為行階梯形、行最簡形、標準形；求矩陣的秩；求解線性方程組；判斷向量組的線性相關性；求向量組的極大無關組；應用案例（應用案例要結合自己的專業）。

通過分組討論，學生對基本概念、知識點之間的聯系、知識點的應用有了清晰的認識，鞏固了知識，也了解了線性代數“學了有什么用”，激發了學好課程的熱情，自覺地學習這門課程。如果班級人數較多，給出討論題目和建模案例，由學生在課下討論完成，教師做檢查和課上點評。

利用數學軟件進實驗課教學在線性代數教學中，利用Mathematic 軟件進行代數的運算和復雜數據的處理。線性代數課程通過上機練習，使學生學會利用數學軟件處理計算問題。這樣，學生在掌握課程的基本知識點和運算技能后，可以利用數學軟件輕松地解決計算問題，不會因計算量太大而失去學習的興趣。

利用網絡教學資源進行教學教師的授課時間有限，但是學生的課外時間很充裕。學生課下的自習是課堂教學的延續，是提高教學質量的重要環節。線性代數課程引進網絡教學資源“線性代數智能教學平臺”，學生可以利用資源進行自主學習和自主測試。在測試系統中，系統能自動批改、記錄成績，可以分析各知識點的得分情況，能讓學生及時發現自己掌握知識的不足。系統可以多次刷分，有利于學生實現自我挑戰和自我超越，也有利于學生之間的相互競爭。

智能教學平臺還有在線實驗系統，包括平面圖形的變換、矩陣在計算機圖形學、線性方程組的應用、九宮格游戲等13 個實驗。利用實驗系統可以讓學生了解線性代數“學了有什么用”，從而激發學生學習線性代數的興趣。

考核方法的改革改革課程的考核方式，增加平時成績在總評成績中的比例，平時成績由測試系統成績、實驗系統成績、上機成績、課堂練習成績組成，通過細化學習過程的考核，督促學生平時認真學習。在期末考試中增加基礎知識和應用的考核，減小計算量，重點考查學生對課程內容的理解能力和應用能力。將學習過程的形成性考核與期末考試的終結性考核有機結合，保證學習過程的連續性和完整性。

4 取得的初步成效

通過采取一系列措施，學生學習線性代數課程的興趣逐步提高，課上主動與教師交流，課堂氣氛熱烈，課下測試系統的成績不斷刷新，大部分班級30%多的學生的測試系統成績為滿分，課程整體考核及格率、優秀率不斷提高。學生參與數學建模空前積極，學校數學建模成績不斷刷新。

5 結語

多年來在線性代數課程的教學研究與改革上做了一系列嘗試，取得一定的成績，但課程的教學改革與建設是一項長期的系統工程，并且隨著時代的發展需要賦予其新的內涵，需要不斷探索，不斷實踐，不斷創新，共同把線性代數教學改革引向深入。■