含貯備元件的復雜系統可靠度置信下限

王琦 張國志

摘?要：對于由最小路徑描述的含有備用元件的復雜系統，在子系統壽命服從形狀參數m已知的威布爾分布條件下，針對定數截尾樣本，運用WCF方法，我們給出了由最小路徑矩陣表示的含備用元件的復雜系統的可靠度置信下限，同時此結論也適用于元件壽命服從指數分布的情形。

關鍵詞：復雜系統;備用元件;WCF方法;置信下限;最小路徑

DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.026

中圖分類號： O213.2

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）06-0146-05

Abstract：In this paper?we study the complex system containing stand-by components and describe the minimal path.?Under the condition that the subsystem life obeys Weibull distribution with the m is given?for the sample of type-ΙΙ censoring?we give the lower confidence limits of reliability for the system by WCF method.?In addition?when the subsystem life obeys exponential distribution?this conclusion is still valid.

Keywords：complex systems; stand-by components; WCF method; lower confidence limits; minimal path

0?引?言

對于由多個子系統構成的系統，其可靠度置信下限的研究一直倍受國內外學者的關注。目前，對于特定系統置信下限研究的成果很多，對于串聯系統，Winterbottom（1974）[1]提出了W排序法及工程上廣泛使用的L-M法（Lindstrom和Madden法），鄭忠國等[2]研究了其漸近性質，并提出了修正的L-M法[3]。Fang和Chen（1999）[4]對于并聯系統進行了研究。

對于復雜系統可靠性的研究，通常是基于子系統的壽命樣本，而由于系統的結構復雜，要得到其精確的置信下限是非常困難的。1979年，Winterbottom[5-6]在Cornish-Fisher[7-8]展開方法的基礎上，根據James?G.S.?[9-10]提出的變量的累量的性質，假定系統可靠度函數已知，給出了系統可靠度函數置信下限的漸近展開式，稱為WCF方法。閆霞，于丹，李國英[11]利用WCF方法的原理，對于參數估計量不獨立的參數函數的置信限進行了研究，這一理論應用到威布爾型元件和含有該類型元件的系統的可靠度評估上，文章對簡單系統進行了模擬研究。于丹[12]在子系統壽命服從單參數指數分布，樣本為定時截尾實驗數據時，利用WCF方法對系統可靠度置信限進行了研究，其結果適用于某特定的系統，并對串聯系統，并聯系統進行了模擬。于丹等[13-14]在假設復雜系統可靠度函數已知且子系統具有不同的可靠度這一情況下，利用WCF方法獲得了系統可靠度的置信下限，該下限是由假定已知的可靠度函數來求得的，其中涉及很多復雜運算。

然而對于基于最小路徑矩陣或最小割集矩陣表示的一般復雜系統僅有少量的研究成果。舒印[15]基于成敗型數據給出一般復雜系統在完全數據下的可靠度置信下限，廖春芳[16]給出不完全數據時子系統壽命服從指數分布的復雜系統可靠度置信下限。

對于含備用元件的這類復雜系統，其研究成果卻很少。威布爾分布又是壽命分布中較廣泛的一種常見分布，它包含了指數分布。因此探求威布爾分布下含備用元件的復雜系統的可靠度置信下限，這是一個既有理論意義又有應用價值的課題。張國志[17-20]對于最小路徑矩陣描述的復雜系統，給出了其可靠度函數的解析表達式。這為后續的研究工作奠定了基礎。

1?復雜系統的可靠度函數

首先引入文[17]的結論，在此以引理形式給出。

4?結?論

一般的復雜系統通常是由最小路徑矩陣或最小割集矩陣描述的。本文研究的系統是基于最小路徑矩陣描述，且子系統含有備用元件的復雜系統。在假各設子系統壽命服從形狀參數m已知，尺度參數不盡相同的威布爾分布及定數截尾樣本下，結合WCF方法給出該系統可靠度的置信下限的解析表達式。

此置信下限表達式的給出，既方便了理論研究，也便于實際應用。對于元件壽命服從形狀參數m已知的威布爾分布的含備用元件的復雜系統，可以通過計算機編程實現：只要輸入系統的最小路徑矩陣及每個子系統的定數截尾壽命樣本，便可以得到系統可靠度置信下限，同時該結論也適用于元件壽命服從指數分布的情形。

參 考 文 獻：

[1]?WINTERBOTTOM A.?Lower Confidence Limits for Serial Systems Reliability from Binomial Subsystem Data.?JASA?1974（69）：782-788.

[2]?鄭忠國?蔣繼明.?L-M法置信下限的漸近性質.?應用概率統計?1992?8（4）： 403-410.

[3]?鄭忠國?金華.?串聯系統可靠性的兩層數據虛擬系統法置信下限.?北京大學學報?1993，29（1）： 26-33.

[4]?FANG X?CHEN J.?A Method to Compute Confidence Limits with EM.?Research Report of School Mathmetical Sciences.?Peking： Peking University.

[5]?WINTERBOTTOM A.?Asymptotic Expansions to Improve Large Sample Confidence Intervals for System Reliability.?Biometrika?1980?67： 351-357.

[6]?WINTERBOTTOM A.?Cornish-fisher Expansions for Confidence Limits.?J R Statist Soc B，1979?41： 69-75.

[7]?FISHER R A?CORNISH E A.?The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants.?Technometrics?1960?2： 209-225.

[8]?CORNISH?E.A. FISHER?R.A.1937）.?Moments and Cumulants in the Specification of Distributions.?Int.?Statist.?Rev.5?307-322.

[9]?JAMES?G.S.（1955）.?Cumulants of a Transformed Variate.?Biometrika 42?529-31.

[10]JAMES?G.S.??MAYNE?A.J.（1962）.?Cumulants of Functions of Random Variables.?Sankhya A24?47-54.

[11]閆霞?于丹?李國英.?求參數函數置信限的一般性WCF方法及其應用[J]. 數學物理學報?2007?27A（2）： 229-239.

[12]于丹?趙勇輝?薛宏旗. 指數壽命定時截尾數據下可靠度的置信限[J]. 系統科學與數學?1999?19（2）： 240-245.

[13]于丹?戴樹森. 復雜系統可靠性綜合評估方法研究?研究報告?中國科學院系統科學研究所?1996.

[14]于丹.?復雜系統可靠性分析中的若干統計問題與進展[J]. 系統科學與數學?2007，27（1）： 68-81.

[15]舒印?張國志.?基于最小路徑的復雜系統可靠度置信下限的研究[J]. 哈爾濱： 哈爾濱理工大學?2012： 12-31.

[16]廖春芳?張國志.?不完全數據下復雜系統可靠度置信下限的研究[J]. 哈爾濱： 哈爾濱理工大學?2015： 1-33.

[17]張國志.?復雜系統可靠性研究[D]. 北京： 北京工業大學?2009： 19-60.

[18]張國志.?復雜系統可靠性分析[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社?2009： 1-185.

[19]ZHANG Guozhi?LIU Di?KONG Fanliang?et al.?Expression and Algorithm Implementation of Reliability for Complex System.?Advances in Systems Science and Applications.?2008?8（3）： 421-429.

[20]ZHANG Guozhi，ZHAO Wenhui，KONG Fanliang，et al.Properties of Estimation of Distribution Function for Complex System.Advances in Systems Science and Applications.2008?8（4）： 667-674.

（編輯：關?毅）