體外預應力筋不同有限元模型的比較分析

鄧繼華，涂文強，黃學文，彭 暉

(1.長沙理工大學 土木工程學院，湖南 長沙 410114； 2.廣州大學 工程抗震研究中心 廣東 廣州 510405；3.安徽省交通控股集團有限公司，安徽 合肥 230088)

體外預應力結構具有預應力筋套管布置簡單、調整方便、施工快捷及可更換的優勢，不僅被新建橋梁和結構所采用，而且在已有結構的加固中得到廣泛的使用[1]。在體外預應力結構設計中，體外預應力筋在外荷載作用下的內力(應力)增量計算是一個很重要的課題，許多學者對此進行了研究[2-11]，采用的方法有簡化計算法和有限元法等。目前，采用有限元方法進行體外預應力筋內力增量分析的模型有3種：① 常規帶剛臂桿單元模型(將體外預應力筋與梁體在錨固塊和轉向塊或2個轉向塊之間視為固結)；② 多段多節點桿單元模型(體外預應力筋與梁體只在錨固塊處固結，在轉向塊處可自由滑移)；③ 等效節點荷載模型(不計體外預應力筋剛度)，其只考慮將體外預應力筋初張力轉化為等效節點荷載，不計其對結構剛度的貢獻。這3種有限元模型各有其優、缺點：常規帶剛臂桿單元模型在橋梁通用程序中均有考慮，無需特殊處理，但其缺點是忽視了體外預應力梁中體外預應力筋與轉向塊之間可自由滑移而導致體外預應力筋為常應變構件的受力特點，計算出的體外預應力筋各段桿件內力各不相同；多段多節點桿單元模型考慮了體外預應力筋為常應變構件的受力特點，其計算結果較為合理，但是該模型較難與現有橋梁線彈性分析程序相融合(因轉向塊數量不同，涉及梁單元的節點數也不同，難以形成統一的單元剛度矩陣，結構總剛矩陣也不再具有稀疏特征，難以一維壓縮存儲)；等效節點荷載模型則無法計算體外預應力筋在外荷載作用下的內力(應力)增量。現有的研究成果在分析體外預應力筋時均采用常規帶剛臂桿單元模型、多段多節點桿單元模型及等效節點荷載模型中的一種。因此，本研究在這3種模型基礎上，根據體外預應力梁中體外預應力筋與轉向塊之間可自由滑移而導致體外預應力筋的受力特點，結合已有的橋梁線彈性分析程序[12]，擬提出適用于大跨徑節段施工體外預應力橋梁計算的基于迭代的帶剛臂桿單元分析模型，并對一簡支體外預應力混凝土梁進行計算，分析比較了4種模型的計算結果。

1 體外預應力筋有限元模型

1.1 常規帶剛臂桿單元模型

常規帶剛臂桿單元模型如圖1所示。a，b均為帶剛臂平面桿單元節點號；i，j均為剛臂與直桿的連接點；XOY為固定不變的結構坐標系。

圖1 帶剛臂平面桿單元Fig.1 Plane truss element with rigid arm

設直桿ij在結構坐標系下的節點力Fij=[XiYiXjYj]T，節點位移為δij=[uiviujvj]T，兩者之間存在的關系：

Fij=Kij·δij。

(1)

式中：Kij為常規的平面桿單元在結構坐標系下的剛度矩陣，其所含元素的值除與桿單元截面面積、長度及材料彈性模量有關外，還與單元方向及結構坐標系中軸的夾角有關。

(2)

(3)

剛臂兩端i和j與桿單元節點a和b之間的位移關系為：

δij=A·δab。

(4)

設節點a和b在結構坐標系下的節點力Fab=[XaYaMaXbMb]T，由虛功原理得到Fab與Fij之間的關系為：

Fab=AT·Fij。

(5)

聯立式(5)，(4)和(1)，可得到：

Fab=Kab·δab。

(6)

式中：Kab=AT·Kij·A就是所求的帶剛臂桿單元ab在結構坐標系下的剛度矩陣。

設體外預應力筋的初張拉力為N0，它所引起的帶剛臂桿單元的等效節點力為：

(7)

式中：A0和T的計算式見文獻[10]。

1.2 多段多節點桿單元模型

該模型的主要特點[4]是認為體外預應力筋與轉向塊之間可自由滑移，因而體外預應力筋在通常范圍內為常應變構件。以三段四節點桿單元模型為例，求解其在結構坐標系下單元剛度矩陣，如圖2所示。

圖2 多段多節點桿單元模型Fig.2 An element model for multi segment-node truss

圖2中，i,j,…,n為平面梁單元節點，i′，k′，l′及n′分別為與i，k，l和n對應的錨固塊和轉向塊處位置點。在結構坐標系XOY下，對于平面梁單元，設各節點坐標為(xm,ym)，m=i,j,…,n,發生的節點位移為[umvmθm]T,m=i,j,…,n；對于體外預應力筋，設各節點坐標為(xm,ym),m=i′，k′，l′，n′，對于體外預應力筋上任意一節點(如：i′)。設其節點位移為[ui′vi′θi′]T，在小位移假定下，它與平面梁上對應節點位移的關系為：

(8)

式(8)為體外預應力筋各節點位移用平面梁單元節點位移計算的表達式，其體外預應力筋i′k′l′n′的總伸長量ΔLi′k′l′n′則可用δikln=[uiviθiukvkθkulvlθlumvmθm]T表示為：

ΔLi′k′l′n′=F·G·S·δikln。

(9)

在體外預應力筋為常應變構件的基礎上，體外預應力筋應變εi′k′l′n′的計算式為：

εi′k′l′n′=ΔLi′k′l′n′/Li′k′l′n′=B·δikln。

(10)

式(9)中F，G和S以及式(10)中B的具體表達式見文獻[4]，且式(10)中Li′k′l′n′為體外預應力筋i′k′l′n′的初始長度。

運用虛功原理，可得到體外預應力筋三段四節點桿單元在結構坐標系下的剛度矩陣為：

Ki′k′l′n′=EABTB/Li′k′l′n′。

(11)

式中：E和A分別為體外預應力筋的彈性模量和截面面積。

當體外預應力筋的初張拉力為N0時，它所引起的等效節點力為：

(12)

1.3 等效節點荷載模型

等效節點荷載模型基于式(7)得到體外預應力筋初張力的等效節點力，再將其施加于結構上，該等效節點力在后續計算中始終保持不變。該模型忽略了體外預應力筋對結構剛度的貢獻，導致計算結果不夠精確。又因無法計算體外預應力筋在活載作用下的應變(應力)增量，極大地限制了該模型的使用范圍。

1.4 基于迭代的帶剛臂桿單元模型

為避免常規帶剛臂桿單元模型和多段多節點桿單元模型的缺點，同時，又利用2種模型的優點，作者提出基于迭代的帶剛臂桿單元分析模型。

對于如圖2所示的三段四節點體外預應力筋i′k′l′n′，基于常規帶剛臂桿單元模型將其劃分成3個帶剛臂桿單元ik(兩端剛臂分別為ii′和kk′)，kl(兩端剛臂分別為kk′和ll′)及ln(兩端剛臂分別為ll′和nn′)。根據常規的線彈性結構分析，可分別得到直桿i′k′，k′l′及l′n′的軸力。根據體外預應力筋與轉向塊之間可自由滑移而導致體外預應力筋為常應變(應力)構件的受力特點，取3個軸力的平均值為假定的常數，分別求出3個軸力與其平均值的差，再將每根桿件在結構坐標系下的轉換矩陣轉換為3個帶剛臂桿單元ik，kl及ln的等效節點荷載(實際上就是采用式(7))，第2次進行線彈性結構分析(此次分析所施加的節點荷載僅為其平均值的差形成的等效節點荷載)，求出位移增量后與第1次結構分析得到的位移相加得到位移總量，再次求解得到直桿i′k′，k′l′和l′n′的軸力，由此步驟重復下去，直至計算得到的3個軸力與其平均值之差均小于規定的容許值為止。

2 算例分析

某體外預應力簡支梁橋如圖3所示。混凝土彈性模量Ec為30 GPa，混凝土梁截面面積Ac為0.5 m2，截面慣性矩Ic為1/24 m4，體外預應力筋彈性模量Es=200 GPa，截面面積As=0.030 8 m2，荷載P=30 kN對稱作用于節點2，3處。

本研究以平面桿系靜力分析通用程序FR2為基礎[10]，將多段多節點桿單元模型和基于迭代的帶剛臂桿單元模型嵌入其中，對本算例進行了分析，4種模型及文獻[4]的計算結果見表1(因多段多節點桿單元模型與文獻[4]的計算結果完全相同，故列于同一列中)。以多段多節點桿單元模型計算結果為標準，其他3種模型的誤差見表2。

圖3 集中力作用的體外預應力梁(單位：cm)Fig.3 External prestressing beam under concentrated force(unit：cm)

從表1和表2中可以看出，以多段多節點桿單元模型的計算結果為標準，無論是位移還是體外筋軸力，基于迭代的帶剛臂桿單元模型精度最高；并且該模型在迭代時僅需重新計算不平衡力，無需重新形成結構剛度矩陣，因而該方法較適用于按節段施工的大跨度橋梁分析。

表1 位移和內力計算結果Table 1 Results for the displacement and the internal force

表2 模型和誤差Table 2 Models and errors

3 結論

1)介紹了體外預應力結構常用的3種分析模型，即常規帶剛臂桿單元模型、等效節點荷載模型及多段多節點桿單元模型。在3種模型的基礎上，提出了基于迭代的帶剛臂桿單元模型。

2)基于4種模型，對一體外預應力混凝土簡支梁進行了計算分析。以多段多節點桿單元模型得到的計算結果為標準，基于迭代的帶剛臂桿單元模型得到的位移最大誤差為7.2%，體外筋軸力的最大誤差為12.5%，與其他2種模型相比精度大為提高；相對于多段多節點桿單元模型，基于迭代的帶剛臂桿單元模型在程序設計及與現有程序連接更為便捷。

此外，體外預應力筋在轉向塊處存在的滑移和接觸及可能的梁體大位移使得體外預應力結構本質上是個幾何非線性(極限狀態下還涉及材料非線性)問題，這也是筆者正在研究擬解決的問題。