淺談導數的應用

（建陽第一中學 福建南平 354200）

一、導數的定義和性質

1.導數的概念

導數是微積分中的重要基礎概念。以下是幾條重要的概念和定理。

概念1：當時，是一個確定的數。當x變化時，便是x的一個函數，我們稱它為的導函數（簡稱導數）。的導數也記作

即

概念2：當函數的自變量x在一點上產生一個增量時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx→0時的極限a如果存在，a即為在處的導數

記作

2.導數的幾何意義

函數在點的導數的幾何意義為函數曲線在點的切線斜率。導數的幾何意義是在可導的前提下，該函數曲線在這一點上的切線斜率。

定理1：若曲線在x0點處不連續或不存在斜率，則改點處不存在導數，即在x0處不可導。

定理2：當時，在該點處切線的傾斜角為銳角；當時，在該點處切線的傾斜角為鈍角；當時，在該點處切線與x軸垂直。

二、導數在解析幾何的簡單應用

1.利用導數性質研究函數性質

在研究函數性質時，特別是研究高次函數、超越函數的連續性、單調性、奇偶性、極值最值等重要性質時，通過從函數的導數出發，把研究較難的函數問題巧妙地轉化到研究較簡單的導數的問題上，使人們對一些較復雜的函數性質得到更充分的認識，拓寬了人們對函數性質認識和發展的途徑，為我們解決函數難題帶來重要的方法基礎。

利用導數的幾何意義，將為導數在研究幾何問題中的應用，特別是在解析幾何的問題中提供有力的思想方法。在求函數的單調性時，如果僅從函數的單調性的定義出發來解決是十分困難的，這時通過導數的連接工具，將問題迅速解決。

利用導數的方法還可畫一些超越函數的圖像。在畫的圖像時，如果僅從函數一些基本性質上的定義出發，解決此題是麻煩和困難的，如果能引進導數，將函數的圖像問題升華為研究導數性質和特點的問題，將求函數單調性、極值點、凹凸性、連續性的問題化為研究導數的正負性、零點、單調性、存在連續性的問題，做到用導數工具描繪函數圖像，函數思想化歸導數思想。

2.利用導數解決切線、切點問題

切點切線的問題在幾何性質認識中是基礎而重要的問題，以導數為研究工具正是解決切線切點問題的有力方法。面對解決函數中有關切線、切點等問題時，通過結合導數的幾何意義，巧妙地將一些繁雜的解析幾何問題以導數的幾何意義來說明并巧妙地解決，這樣對于一些本來需要更加復雜的幾何證明思路或思想化為簡單的從導數的幾何思維出發，降低了難度的門檻。為人們在某些特定而有限的條件下探索一些幾何性質的過程提供了一種方便、快捷的方法。

下面用兩個例題展開論述。

例1：求函數過點（2，1）的切線方程及切點

例2：若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，求b

分析：以上兩題通過設點的坐標，并從導數的幾何意義出發，求出切線的斜率，并列出方程，從而求出點的橫坐標及切線斜率，是一種快捷、有效的方法。體現了從導數幾何意義出發，求解有關函數簡單的切線切點問題。

對于切線問題也可通過設切線方程，結合判別式等于零解決也是一種方法。但相比于導數而言，有時計算量更加的繁雜 ，且局限性更大，而導數使問題更加具體化、簡便化、易懂化。

在解析幾何中切線、切點的問題是幾何中基本的和重要的組成部分，往往許多問題要通過切線切點問題加以展開，通過導數的思想加以解決。鮮明體現了導數在解決幾何基本問題時的重要優勢，為解析幾何的應用和發展提供了重要的方法基礎。

3.利用導數解決幾何中的最值問題

在數學中幾何的最值問題是一個重點，特別是在解析幾何中求一些曲線、直線距離圍成面積的最值時，不僅要有力地結合到函數，更要以導數作為根本方法快速巧妙地解決解析幾何中簡單和復雜的問題。下面僅以解析幾何中簡單的導數應用作為鮮明例子展開論述。

例3：已知直線與拋物線交于A、B兩點，o為坐標原點，試在拋物線弧AOB上求一點P，使ΔAOB的面積最大。

分析：

本題如果僅從定義出發使用三角形面積公式：底×高， A B為定長，關鍵在于求P 到A B距離的最大值，可求出最大面積。但根據點到直線距離公式計算的繁瑣和難度來看，用這樣的方法較麻煩，在計算時容易出錯，走了許多彎路。

如果能在拋物線上取一點P，使P為與直線A B平行的切線與拋物線的切點，再結合導數的幾何意義，輕松的算出切線的斜率，巧妙運用導數的思想解決幾何中距離、面積的問題。將導數應用于幾何中時期更加鮮明化、特色化、應用化、具體化，更加彰顯導數作為數學基礎工具的巨大作用。

例4：設直線x=t與曲線的圖像分別交于M、N，則當達到最小時，t為多少。

分析：

本題如果單單畫出兩個曲線的大致圖像，僅靠觀察和意識的淺層理解是不準確的，也是錯誤的方法。像這樣以函數為背景解決曲線直線等幾何圖形的最值問題時，如果僅從定義出發是難以判斷和解決問題的。面對這種問題時要大膽地運用數學的重要工具--導數，用導數的思想和函數的背景。將上方的曲線解析式減去下方曲線解析式，構造一個新的函數，再通過導數的思想求出該函數的最值。尋根溯源，最終方法就是要依靠導數作為根本方法，展開以函數的背景解決實際中幾何的最值問題。

三、導數在參數問題中的應用

1.利用導數解決函數零點問題

例5：已知函數有兩個零點，求a的取值范圍。

分析：

本題看上去雖是簡單，但是其中所包含的思想是豐富的。如果僅從零點的定義角度去解決理解這一題，思路是僵化的且沒有方向性的。面對本題是一個超越函數且含有參數，所以直接從定義出發，則難上加難。

如果從函數的性質出發將函數進行求導利用導數的正負性求函數的單調性，利用導數的零點，求函數的極值，將函數的性質研究轉移到研究導函數的性質上來：求導后得到：從而對a的值進行必要的分類討論，求出函數的單調性，再結合函數根的分布思想和零點存在定理進行綜合分析、數形結合得出問題的答案。

導數有時候是數形結合上巧妙的聯系點，在一些解決困難的有關函數交點、零點等數形問題時，通過構造函數，把函數的導數求出，巧妙地應用導數的最值等觀點解決疑難的數形結合問題

2.利用導數解決不等式的問題

例6：證明：當x＞0時，

分析：

此題如果直接比較是非常難得出結論的，即使是特殊值代入也不能完全的說明問題本質。所以要解決問題需要通過連續構造多個函數，將函數的單調性進行深入研究。因此需要巧妙地用到導數的思想把問題的源頭轉移到研究導數的性質上來。

追根溯源，面對大多數為超越函數的不等式問題時，不僅要從表面思考，更要從本質出發，通過構造函數把問題轉移到研究導函數的層面上來。實現多角度、多層次、抓重點、追根源的思想素養，體現了導數在數學中重要的方法地位和應用價值。

3.利用導數解決存在、恒成立的參數問題

例7：已知函數對不等式恒成立，求a的取值范圍。

分析：

對于此類在絕對值下求參數取值范圍的恒成立問題，需要結合轉化劃歸的思想把題目化為求函數最值的問題，將導數的思想滲透于其中，如本題：可等價為對求導：用導函數的性質來研究和求出原函數的單調性和最值。

導數是維系著一些不等式、恒等式、存在性的證明和定義問題，將復雜的問題化為簡單的問題，將無形化為有形。如本題是一個超越函數，要直接解決他，是非常困難的。如果通過導數這一轉化化歸，可將恒成立的問題輕松巧妙地轉化為求導數最值的問題，通過導數這一聯系點解決疑難。

四、導數在實際生活問題中的應用

1.導數在經濟生活中的簡單應用

隨著經濟的發展越來越多難而復雜的經濟問題逐漸顯露出來，許多問題，特別是在數學的背景一下，需要亟待解決。其中導函數的應用就是其中一個很重要的基礎。把握好導數與經濟生活相結合，發揮出導數重要的根本方法優勢和巨大的基本工具作用。

例8：某銀行準備新設一種定期存款業務，經預測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數K，若存款的利率為0.048，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去，為使銀行獲得最大收益，則存款利率為多少。

分析：本題要從實際經濟的角度問題出發，表示出收益的函數關系，通過對函數的求導，求出元函數的最值，把一到經濟問題具體到導函數的問題上來，實現導數與實際生活中的應用轉化。這里僅討論導數在經濟中簡單的應用而導函數在經濟領域中的應用不只這一類例子，還有更多重要的應用與思想。

2.導數在生活中材料優化問題的應用

在解決實際問題當中的最值問題時，如求面積、體積、長度等實際生活中事物的變化規律時，通過結合函數導數的變化思維，把生活中困難的問題升華為研究函數、導數的變化規律，使實際問題和數學的導數思想緊密而巧妙地結合，做到由抽象到具體的重要數學思想。從而簡化和拓展了人們認識一些事物的運動規律的途徑。

例9：某市擬在半徑為R的圓形花園中心豎建一高桿頂燈，若地面各點的亮度和光線與地面所成角的正弦值成正比，與該點到燈距離的平方成反比。問高桿頂燈的燈柱設計為多高時，花園周邊小路的亮度最大。

分析：本題是一個與實際生活聯系緊密的問題，解決該類問題往往通過設計和構造與提干相關的函數，進行解決。本題難點在于所設的變量之多和構造的函數比較復雜。如果僅從函數的層面來解決最值問題較困難。要意識到導數的重要性，讓函數問題維系與導數問題之中，使實際問題簡單化、具體化、方法化、嚴謹化。因此應用導數是在解決實際優化問題中關鍵的一步。

結語

在生活實踐中，處處離不開導數，作為基本而有力的工具，導數在數學、物理、化學、經濟等各方面領域提供了較為重要而基本的方法之一。導數在解決一些數學問題中常常起到舉足輕重的作用，例如：在解決函數恒成立、存在、極值、單調性等問題時巧妙應用導數的方法。實踐證明，導數知識的不斷應用和創新是符合客觀規律的，是引導人們正確認識世界的一種重要工具和基礎方法，為人們不斷開拓各領域研究做出重要的貢獻。只有正確把握好導數的應用，發揮出其巨大的優勢，不斷認識、理解、創新，才能讓導數的思想煥發出更大更強的生命活力。

[1]普通高中課程標準實驗教科書（數學2-2） 2005：5-9.