分類討論思想在高中數學解題中的應用

馮小倫

（達州市高級中學2015級三班 四川達州 635000）

引言

分類討論可實現解題的化繁為簡，還可對學生思維及其轉換能力進行有效培養。現階段，高中數學在內容方面相對多且比較抽象，其理解難度愈加升高。而該思想應用至諸如函數等問題當中，可使解題思路更為明晰，將抽象向著形象思維推進，進而使解題速率得以有效增強。若想強化解題速率、效率，必然應對分類討論具體運用進行分析。[1]

一、分類討論思想對數學解題的意義及其分類標準

1.分類討論對解題的重要性

數學問題往往含有多類情形，而分類討論則對其主要因素進行關注，對其條件范圍以及發展方向進行有效把握，從而緊抓各類情形特點來分類討論。該思想要求進行分類意識的重點強化，并明確如何分類與研究，最終統一整合形成完整答案。以分類討論為導向，能夠有效對邏輯思維進行強化，因為高中數學通常比較抽象，解題時存有較大難度。而利用邏輯思維便可實現問題的有效把握，從而使解題不論是精度還是效率都得以提升。同時，分類討論有助于對實際問題進行解決，能夠將其化整為零而后實現各個擊破，對于學生概括、條理以及邏輯等能力的強化有著重要意義。但教師需明確數學思想并非分類一種，實際解題需要與諸如數形結合、函數方程等多種思想進行有效結合，從而使解題更為迅速與精確。教學時切忌使學生對該方式進行機械背誦或者是盲目地套用，必須以題目實際為基礎，選取正向思路。[2]

2.分類討論具體劃分標準

首先，分類需要保證科學與合理，在分類方面不可發生遺漏，而后避免分類重復現象的發生。以不重不漏為基準與題目性質、條件等進行有效結合，降低分類數量。其次，需要對分類標準進行明確。下面從多角度來明確標準：首先，可以數學概念為基礎來劃分，部分概念本身便以分類進行定義，例如絕對值。其次，可以運算法則或者相關定理來劃分。高中數學包含較多法則、定理，它們一般以分類形式來給出，比如等比數列相關求和、求積等便分成了q（公比）是否為1來介紹；還有指數函數在單調性方面，其以a的值為基準分成大于1或者是介于0、1間兩類。第三，可以圖形位置為基準來劃分。通常位置變化也會導致問題分類：兩點處于平面上的同側或者是異側；對稱軸就定義域的位置等等。第四，還能夠以特殊要求為導向來劃分，比如排列組合相關的計數、概率等問題。第五，可以根據參數量變來分類，若函數問題存有參數，其參數有時的“量變”會使其問題出現“質變”，而這便需分類。[3]

二、高中數學對分類討論進行有效運用的具體策略

1.集合解題的應用

集合題目一般要以元素和集合或者是集合間各類關系為導向進行分類。在部分含參集合中，只有分類才可對其進行解答。此類問題一般出現于選擇、填空等，應對其進行謹慎分類，切忌遺漏等問題的出現，進而整合出正確結論。

2.函數解題的應用

解題時，函數參數與其結果密切相關。因此，以分類討論形式來解決函數題目，必須對其參數進行恰當分類，使學生可從多維度來剖析函數問題，強化其解題精度、效率。比如，在“若k=?時，函數y=（k+2）x2k+3+3x-4（x≠0）應為一次函數”進行解答，便可考慮分類進行研究，綜合考慮其參數變化。首先，如果2k+3=1，同時k+2不為0，也就是k是-1時，那么此時y=4x-4，便成了一次函數；其次，如果2k+3=0，也就是k為-3/2時，這是函數就是y=3x-4，也成為一次函數；第三，如果k+2為0，即k為-2時，這時y=3x-4也為一次函數。由于該題在（k+2）x2k+3并不知道其具體形式，所以需要對該式子進行分類。

3.概率解題的應用

概率模對分類應用較廣，該思想需從其本質出發，以問題要求為導向進行分類，從而整合求得最終結論。首先，需要對其概率類型進行明確，而后對條件內數字采取編號措施，最后通過分類來假設其變量數值，從而確定有效計算的方式。比如，某地對足球隊員進行選拔，共有編號從1到16的隊員，若想從群體中選擇3人，前三人中必須選擇一個，并且他們的編號可以構成公差是4的等差數列，那么概率應為多少？該題就其類型而言，應是古典概型。基本事件共有C163種，也就是16*5*7=560種，我們可設其編號是a=a1+4（n-1），如果a1是1的話，那么隊員便可從編號是1、5、9、13里面選擇3個，也就是4種選取方式；如果a1是2的話，那么隊員便可從編號是2、6、10、14里面選擇，也是4種；如果a1是3的話，那么隊員便可從3、7、11和15里面選擇，也是4種，所以綜上而言，其概率P=16/560=1/35。該種分類方式對概率問題而言至關重要，其不論是節約時間還是準確度方面都較強。[4]

4.數列解題的應用

數列解題對于分類的應用主要表現于等比求和、數列周期等方面。學生以該思想為基準來討論相關數列問題十分有效。比如，“若等比數列，其公比是q，并且前n項和需要大于0，其中n=1，2...對q范圍進行計算”，因為此題并未對q范圍進行明確，因此解題應對其分類來深入研究。解答時，可以q是否是1為導向來討論，對其取值范圍進行合理確定。

結語

總之，數學解題對分類討論進行正向應用，不但能夠使解題效率得以強化，還可使學生思維等得到有效拓寬與發散。此外，教師應將該思想滲透至教學之中，指引學生以分類觀點對數學問題進行觀察，并掌握好相應分類標準以及范圍，為其后續學習奠定基礎。

[1]成壘.淺談分類討論思想在高中數學解題過程中的運用[J].科技風,2016(21):41.

[2]劉祝蕓.關于分類討論思想在高中數學解題中的應用思考[J].經貿實踐,2016(19):80.

[3]王芳芳.淺談分類討論思想在數學解題中的應用[J].亞太教育,2015(18):41.

[4]周劍.分類討論的思想在高中數學解題中的應用[J].求知導刊,2014(05):123-124.