讓數學閱讀走進課堂
——“余弦定理”教學案例

張紅梅

（湖南省常德市第三中學）

一、教學設計

1.教學背景

提升數學閱讀能力是學生學習數學的需要,是學生未來生活的需要。數學閱讀能力包括：轉譯交流、分析推理、聯想記憶、概括總結。利用數學公式定理課的教學可以提升學生的數學分析推理能力。在數學公式和定理的學習中，需要學生具備多方面的能力，對新舊知識聯系的理解能力，對公式與定理的推理與演繹能力等。而數學公式和定理教學容易產生“一背二套”“公式加例題”的形式，這種形式的教學往往使學生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈。我在平常的教學中經常運用“創設數學情境與提出數學問題”進行教學，使學生從過去被動地接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。

2.教材分析

“余弦定理”是人教A版必修5第一章的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，要求學生正確理解定理的結構特征，通過定理的應用，體會方程思想在解決問題中的應用，激發學生探究問題的欲望，培養應用數學知識的能力。本節課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節課，主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。

3.設計思路

本課的教學采用探究式的教學方式，即教學過程中教師以問題為導向設計問題情境，學生通過自主探究和合作交流，解決問題、總結經驗、歸納規律，從而發現并證明“余弦定理”。

二、教學過程

1.創設情境

已知三角形三邊a、b、c，其中c為最大邊。根據勾股定理，當∠C=90°時c2=a2+b2，在斜三角形中a2+b2與c2有什么關系？

學生通過探究發現，當∠C＜90°時有 c2＜a2+b2；當∠C＞90°時有c2＞a2+b2。

教師引導學生歸納出關系：c2=a2+b2-m。且m的符號與∠C的大小有關。

設計意圖：通過類比引入，使學生對新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延展。

2.提出問題

師：大家想一想，能不能得到三邊a、b、c與∠C的具體關系，能否把這個具體問題抽象為數學問題？

能，△ABC 中，已知 a、b、∠C，求 c邊的長。

師：能用正弦定理求解嗎？為什么？

師：這個問題的實質是什么？

在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。

設計意圖：學生體會到正弦定理的不足，從而激發興趣，探索新知。

師：來看一個具體問題，在△ABC 中a=8，b=5，∠c=60°，求 c邊是多少。

教師引導學生從多方面進行分析，選擇簡潔的處理方法，引發學生的積極討論。

討論一：構造直角三角形，過A作BC邊的高AD，通過直角△ACD求出線段BD、CD的長度，進而求出AD的值，再借助△ABD求線段AB。

討論二：建立平面直角坐標系，設點 C（0，0），點 A（5，0），通過三角函數可求點，借助兩點距離公式可求AB。

注：運用向量解決這個問題學生不易想到，教師可適當引導。

設計意圖：通過具體問題的解題探究，為一般性問題的探究做鋪墊，使學生在探究新知時不會感到無從下手，培養學生從特殊演繹到一般的思考意識。

3.解決問題

師：通過這一具體問題的求解，我們能否借助這三種方法解決任意三角形中“邊角邊”的問題。

方法一：要對C是銳角、直角、鈍角進行分類討論。

在課堂上只展示銳角三角形中的證明。其他兩種三角形中的證明可留給學生課后完成。

方法二:建立直角坐標系，則 C（0，0），B（acosC，asinC），A（b，0）.

即 c2=（acosC-b）2+（asinC）2=a2cos2C+a2sin2C-2bacosC+b2=a2+b2-2abcosC

4.反思應用

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

教師板書余弦定理。

師：這幾個式子有怎樣的特點？可以解決哪幾類問題？

生：等式左邊的邊對應右邊的角，每個公式有四個未知量，知三求一，可解決已知兩邊一角，三邊的問題。

師：在△ABC 中 a=8，b=5，∠C=60°，求 c邊？（學生板書）

設計意圖：將知識歸納比較，發現特征，加強識記，同時首尾呼應，利用余弦定理解決一開始提出的具體問題。

師：如何看待勾股定理和余弦定理之間的關系？

若中，△ABC 中，∠C=90°，則 cosC=0，這時 c2=a2+b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

設計意圖：由于學習的階段性等原因，中學數學許多公式和定理是可以推廣的，教會學生推廣，讓學生看清知識的內部聯系，是把知識納入學生認知結構的有效途徑。

三、教學反思

數學具有系統性，新公式、新定理可以由舊公式、舊定理通過類比遷移而來。先通過類比引入使學生對新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延展，從一個解三角形具體問題出發，提出問題，引發學生思考，激發學生的求知欲，調動學生積極性，再對舊知識應用中提煉出新知識，從而新舊知識融為一體，使學生建立完整的知識系統。公式的推導和定理的證明是教學的核心。如果在教學中不重視推導，學生對它們的來龍去脈就會很模糊。在推導過程教學中，我盡量發揮學生的主體作用，能讓學生推導就讓學生推導，并注意指出學生推導中的錯誤。通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，讓學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”。知識、能力、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。余弦定理的證明是本節教學的重要一環，本節課的教學案例是在吸取傳統教學模式的優點下，結合新課改的要求進行設計，引導為主，重在發展學生的數學閱讀能力，培養其提出問題、解決問題的能力、分析推理能力。