用“五環節”模式上好《雞兔同籠》問題

賴瑜靜

中圖分類號：G633.6? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2018）12-0086

教學內容：人教版四年級下冊第九單元數學廣角第103—105頁。

教材說明：“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，最早出現在《孫子算經》中。教材在四年級下冊數學廣角中安排“雞兔同籠”的教學內容，其教學方法與常規課不同。因此，在教學此內容時，一方面可以通過生動有趣的古代數學問題使學生在感受我國古代數學文化的同時激發學生的民族自豪感和愛國熱情，另一方面在解決問題的過程中，了解解決問題的不同方法和策略。“雞兔同籠”問題的解法包括：列表法、假設法、方程法等。由于四年級的學生還沒有學方程，因此，這里主要引導學生通過猜測、列表、假設等方法來解決問題，培養學生猜測、有序思考及邏輯推理的能力。

設計理念：采用五環節課堂教學模式上好《雞兔同籠》問題。

第一環節：創設情境，理解題意。即由生動的情境引入，激發學生的學習興趣。首先通過富有情趣的古代課堂，引入《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”問題，理解題目的內容及已知與所求，并激發學生解答我國古代數學問題的興趣。

第二環節：多法探究，感受體驗。即用多樣化的策略和方法引導學生探究體驗。讓學生在經歷、體驗、解決問題的過程中，感悟解決問題的策略及方法的多樣化。首先，將《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題數據變小，引出例1，讓學生感悟化繁為簡策略在解決問題過程中的作用。其次，讓學生經歷猜測到列表法，再到用假設法解決問題的探究過程，在這個過程中，感受解決問題的多樣化。另外，在最后介紹古人的巧妙解法，拓寬學生的解題思路。

第三環節：知識應用，鞏固內化。即鞏固與內化對“雞兔同籠”問題的認識，感知其在生活中的廣泛應用。即配合“雞兔同籠”問題，在教學中，應編排類似習題，例如“龜鶴算”問題等，鞏固列表法、假設法等解題策略。

第四環節：拓展練習，深化提高。即編排一些生活中與雞兔同籠問題相關的實際問題，進行深化提高。例如，購物、租船等。讓學生拓展視野，實現轉化，感受這類問題在日常生活中有著廣泛應用。

第五環節：知識總結，學法遷移。即對全課知識，以學生為主體進行全面總結，對學到的解題方法，根據不同的情況實現快速遷移。

教育目標：

1. 知識與技能：了解“雞兔同籠”問題的結構特點，滲透化繁為簡的思想，掌握用列表法、假設法解決“雞兔同籠”問題，初步形成解決此類問題的一般性策略。滲透培養學生合作、探究、形式邏輯思維與分析解決問題的能力。

2. 過程與方法：讓學生經歷猜測、探究、嘗試用列表、假設等方法解決“雞兔同籠”問題，有序建構解決“雞兔同籠”問題的知識結構，獲得自信、愉悅、成功的體驗。

3. 情感態度與價值觀：了解我國古代數學文化，感受古代數學問題的趣味性，借助古代解法，學習古人的科學態度，感知其應用價值，增強民族自豪感，培養愛國情懷。

教學重點：經歷自主探究解決問題的過程，掌握運用列表法、假設法解決“雞兔同籠”問題。

教學難點：理解掌握假設法，能運用假設法解決數學問題。

教學過程：

一、創設情境，理解題意

1. 情境導入

師：同學們喜歡畫畫嗎？（生：喜歡）老師也喜歡畫畫，看看老師畫的是什么？（生猜的答案多樣性）

師：那我想讓它表達的是一種動物，它有著大紅冠子花外衣，油亮脖子金黃腿，猜它是什么？（生：是雞）恭喜你們答對了，圓形我們可以看作它的頭，兩條豎線可以作為它的腿。如果我給它再添加兩條腿，它有可能是什么動物？（生猜的答案不唯一）都有可能，今天老師想讓它代表兔子。

2. 問題理解

早在1500年前，我國古代數學名著《孫子算經》中就記載了一道與這兩種動物有關的數學趣題——“雞兔同籠”問題。（課件出示情境圖）

師：知道這是什么意思嗎？

生：籠子里關有雞與兔，從上面數，有頭35個，從下面數，有腳94只，問雞與兔各有幾只？

師：這個問題，已知什么，求什么嗎？

生：已知籠子里雞與兔的頭共35個，腳共有94只，求雞與兔各有幾只。

師：知道如何求嗎？這就是本節課要探究的新知識。

自我評析：情境圖的呈現，一方面借助古代數學問題讓學生感知我國古代數學文化的源遠流長，在感受數學文化的同時激發民族自豪感和愛國熱情;另一方面，讓學生經歷古文字到白話文，去理解題意，明確已知與所求，為學生探究“化繁為簡”的解題經歷做好鋪墊。

二、多法探究，感受體驗

1. 列表法探究

（1）化繁為簡

師：我們知道雞有腳（生：2只），兔有腳（生：4只）這個問題如何求呢？為了使探究方便我們將已知數適當減小，再進行研究。（課件呈現例1，生同步讀題：籠子里雞和兔，從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。問雞和兔各有多少只？）

師：我們從簡單的問題入手，看看用列表的方式能不能從中找到一些解決問題的方法，你想不想試一試？那現在可以自己思考然后4人組討論，然后在本子上填表，開始。

（2）猜測尋找

生：填表，發現答案：3只雞5只兔。

師：大家都同意3只雞5只兔，對嗎？哪個組來說一說你們是怎么樣推算出答案來的？

生：第一組，抓住總頭數8保持不變，依次逐一減少雞頭數，同時逐一增加兔頭數，在變化中使總腳數等于已知條件26只腳，通過列表觀察求得3只雞5只兔;或相反推算，即逐一遞增雞頭數，同時逐一減少兔頭數，同樣可求得3只雞5只兔。第二組，或先估算4只雞4只兔共24只腳，與已知條件26只腳比，少了2只，因此，可增加一只兔，減少一只雞，就剛好26只腳，所以是3只雞5只兔。第三組，先估算2只雞6只兔共28只腳，與已知條件26只腳比，多了2只，因此，可減少1只兔增加1只雞，就剛好26只腳，所以是3只雞5只兔。

師：真厲害！對，頭數不變，兔子增加1只，雞就會減少1只，腳就會增加2只。我們把兔子增加1只，而雞減少1只，實際就相當于把1只雞換成1只兔。

師：反過來呢，誰來說一說看？

生：減少1只兔換成1只雞，腳數就減少2只。

師：也就是把1只兔換成1只雞，腳數就（生：減少2只）

師：看來這個2很重要，那么假設我要增加4只腳，那該怎么辦？生：增加4只腳那就要把2只雞換成2只兔。

師：那如果要增加10只腳呢？（生：把5只雞換成5只兔）

師：你們是怎么算的？（生：10除以2）

師：真厲害！那如果要減少6條腿呢？（生：把3只兔換成3只雞）

師：同意嗎？看來同學們發現了雞和兔之間隱藏的腳數的秘密。

（3）列表法界定

師：剛才我們通過總頭數不變的方式進行有序列表，或跳躍式列表，通過一步一步調整，找到了這個正確的答案，我們把這種方法叫列表法。（板書：列表法）

自我評析：在教學過程中，第一層，筆者滲透化繁為簡的思想，引導學生理解題意，找出隱藏條件，然后在小組中運用開放式的列表求解“雞兔同籠”的問題。第二層，讓學生在自主猜測與嘗試，初步經歷有序填表或跳躍式填表，抓住頭數不變，再通過一組數據算出腳數，與題中腳數條件相對照，然后再做調整，直到找到正確答案為止，同時滲透函數思想。第三層，教師組織有層次的匯報和交流，意在讓學生逐步清晰地認識到：雞和兔的腳數差中有一個2或幾個2，就要把一只雞或幾只雞（或兔）換成兔（或雞）。有了這樣的感悟，對于假設法的探究就打下了良好的基礎。第四層，指出列表法的本質特征。這樣安排有條理，層次分明，前后呼應。

2. 假設法探究

（1）引導發現

師：請大家仔細觀察這個表格，我們一塊來發現？（生觀察思考）

師：表格中左起第一列，8和0各代表什么？

生：就是8只雞和0只兔，也就是假設全是雞。（點擊課件出示全是雞的圖形）

師：那實際上籠子里是不是全是雞呢？（生：不是）這也就是把什么當作雞來算了？

生：把兔子當作雞來算

師：這樣算會有什么結果呢？

生：腳的總數要比實際的腳的數量少10只。

師：腳的數量少了該怎么辦？（師指這課件說）

生：把雞換成兔子，應該用5只雞換5只兔。

師：真厲害，對，每把一只雞換成一只兔，腳數就增加2只，把5只雞換成5只兔就增加了10只腳。

（2）感受列式

師：你們能把這個思考過程列出算式表示出來嗎？請你們自己試一試。（教師巡視）

師：誰來說一說你是怎么列式的？（指名一個學生說，教師板書）

生：（26-2×8）=10;10÷（4-2）=5（只）;8-5=3（只）

綜合算式：（26-2×8）÷（4-2）=5（只）;8-5=3（只）

師：你們都明白某某同學列的這些算式所表達什么意思嗎？

10÷（4-2）=5這個算式的意義以及求出來的結果代表什么？

生：同學質疑或表達自己對某一步算式不明白之處，其他同學解疑，明確每一步算式的意義。10÷（4-2）=5（只）表示兔數，4-2表示每只雞比兔少2只腳，共少10只腳，所以除得的結果5表示兔數，雞數是8-5=3（只）。

（3）簡單應用

師：我們剛才假設全是雞的方法找到了答案，那能否假設全是兔來解決呢？

生：列式是：（4×8-26）÷（4-2）=3（只）;8-3=5（只）。

答：籠內有雞3只;兔5只。

師：點擊課件，出示全是兔的圖形，對照算式進行解讀，強化驗證。

（4）認識假設法

師：仔細觀察這兩種方法，你有什么發現？相同的地方在哪里？

生：都是假設法。兔與雞的腳數相差都是2。

師：對，都是假設法，不同之處呢？

生：假設全是雞，腳數比實際數少;假設全是兔，腳數會比實際數多。通過腳數的相差數，用對應的方法，我們可求出雞和兔的數量。

師：剛才我們通過假設全是雞或兔出發，進而發現規律，求出答案的方法，我們把它叫做假設法。（板書：假設法）

自我評析：此環節是本課的重點也是本課的難點，假設法的算理對于大部分學生來說，都是比較難以理解和掌握的，所以在實施時仔細引導，層層推進，并采用畫圖、數形結合，再依據圖與算式，讓學生準確地說明算理，學會思考，學會解析，可以讓學生更加直觀地掌握假設法與感受它解法的優越性。

三、知識應用，鞏固內化

1. 計算原題

師：同學們，我們現在回到《孫子算經》雞兔同籠的這道原題，你們覺得用哪種方法解決更好？（點擊課件）

師：為什么不用列表法？

生：數字大，要浪費比較多時間。

師：那現在你能用假設法來解決嗎？來，試一試。

生：學生獨立計算，教師巡查，然后叫一名學生投影自己的方法并說明解題思路。

2. 兩種算法

生：假設全是雞，0只兔，則雞換兔，算式一：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）兔，35-12=23（只）雞。生闡述算理（略）;假設全是兔，0只雞則兔換雞，算式二：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）雞，35-23=12（只）兔。生闡述算理（略）

自主評析：運用已學的方法解決古代“雞兔同籠”問題，有利于鞏固新知，另外，還有利于創設課堂教學文化氛圍，提高學生探究數學的熱情，培養學生勇于實踐的精神。激勵每一位學生成為現代版的孫子，增強學生的民族自豪感，培養愛國情懷。

四、拓展應用，深化提高

1. 拓展典題

師：呈現內容：（1）日本的“龜鶴算”問題：龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？（2）日常生活中相關問題：全班共有38人去公園游玩，要租8條船，大船每條船坐6人，小船每條船坐4人，每條船都坐滿了，請問大小船各租了幾條？

2. 解答深化

生：在組內完成，可相互幫助。

第一題，方法一：設全是龜，0只鶴，則龜換鶴算式：（4×40-112）÷（4-2）=24（只）鶴;40-24=16（只）龜

方法二：設全是鶴，0只龜，則鶴換龜算式：（112-2×40）÷（4-2）=16（只）龜;40-16=24（只）鶴

第二題，方法一：全部租大船，0個小船，則大船換小船數算式：（6×8-38）÷（6-4）=5（條）小船;8-5=3（條）大船

方法二：全部租小船，0個大船，則小船換大船數算式：（38-4×8）÷（6-4）=3（條）大船;8-3=5（條）小船

師：第二題，如何轉化成雞兔同籠問題？

生：將租船數8看作頭數，大船載人數看作6只腳，小船載人數看作4只腳，人數38看成總腳數，大船與小船腳數差2，就可用雞兔同籠法解答了。

3. 介紹《孫子算經》中的算法（書本p105）：（學生在課后可以點擊課件）

（1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，相當于腳數去掉了一半，還有 94÷2=47只腳。（2）這時，每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。籠子里只要有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。（3）這時腳的總數與頭的總數之差 47-35=12，就是兔子的只數。

古人的算法是讓頭的數量和腳的數量對應起來進行思考。

自主評析：從“雞兔同籠”問題到日本“龜鶴算”問題再到生活實際問題，它們實際上都是同一類型的題，雖然很多生活實際問題里沒有出現“雞和兔”，但解決問題關鍵在于在 理解題意時找準題中把什么比喻成“雞、兔、雞兔頭數總和以及腿相差數”，再運用所學方法解決生活中的實際問題，因此，在拓展題教學中，應著重抓轉化去深化認識。最后安排介紹《孫子算經》中雞兔同籠的算法，一則顯示我們祖先的智慧，另則讓學生在課外閱讀中進一步拓展視野，學到祖先另類的算術解法。

五、知識總結，學法遷移

師：同學們，一節課總是很短暫，在這短短的四十分鐘里你們有什么收獲？

生1：以后碰到復雜的問題，我們可以像今天一樣先通過化繁為簡的策略去解決，也就是可以先從簡單的問題入手，找到解決問題的方法 。

生2：我學會了用列表法和假設法來解決“雞兔同籠”問題。

生3：數字比較大的時候用列表法時要不斷調整，會比較浪費時間，這時用假設法會更快更優。

生4：我注意到了用假設法解決問題時，如果假設全是雞，那么腳數比實際腳數少，用比實際腳數少的數除以4減去2的差求出來的是兔子的只數，為什么不是雞的只數呢？因為我們是假設全是雞，腳數少了，是要用雞換成兔，腳數才會和實際腳數相符，所以求出來的是兔，不是雞。最后再用雞兔總數減去兔得到雞的只數。

生5：同理，假設全是兔，那么腳數會比實際腳數多，用比實際腳數多的數除以4減去2的差求出來的是雞的只數。

生6：在生活中好多的問題我們都可以用“雞兔同籠”的方法去解決。

自主評析：這個環節，以學生為主體，全面的總結本節所學知識與學法，可使學生對知識的建構更加系統，對知識的調用與遷移更加明白。

（作者單位：廣東省珠海市珠海高新區唐家小學 519000）