數(shù)字“1”的妙用

章立

摘要：數(shù)字“1”在我們學(xué)習(xí)過程中是我們接觸最早的數(shù)字也是最簡單的數(shù)字。隨著知識的積累，我們不難發(fā)現(xiàn)，“1”有不同的用處。高中知識點繁多，題目靈活機動，而“1”是多功能的，扮演著重要的角色。 最常見的是在三角函數(shù)中的應(yīng)用，不等式中的應(yīng)用和多項式整除中的應(yīng)用。許多與“1”有關(guān)的關(guān)系式，在數(shù)學(xué)解題時，常常可以將“1”轉(zhuǎn)化成不同形式的關(guān)系式，從而把問題簡單化。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);不等式;妙用

中圖分類號：G633.6? ?文獻標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2018）12-0121

一、數(shù)字“1”在三角函數(shù)中的妙用

在這個例題中有個暗含的條件就是畢達哥拉斯定理1=sin2α+cos2α，在很多題中都不會直接給這個條件的。

從上例我們可以看出和數(shù)字“1”有關(guān)的一些關(guān)系式經(jīng)常和其他知識點聯(lián)系起來，就像三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于做題工具。有些題目借助這些關(guān)系可以讓題目變得簡單化。

二、數(shù)字“1”在不等式中的妙用

在高中數(shù)學(xué)中，不等式是重要的內(nèi)容之一，而平均值不等式和柯西不等式又是不等式中的重難點。所以平均值不等式和柯西不等式是高中數(shù)學(xué)中的重中之重，而平均值不等式和柯西不等式與“1”有關(guān)的內(nèi)容越來越多同樣也越來越重要了。從近幾年全國各地的高考試題中或者數(shù)學(xué)競賽中與數(shù)字“1”有關(guān)的平均值不等式和柯西不等式的題目成了熱點，同時出現(xiàn)的種類越來越多、難度不等靈活性也高了很多。應(yīng)用的方法也越來越多，如：代換法又分成直接代換，變換條件再用代換法，還有創(chuàng)造條件再代換。一般直接代換的題目比較簡單，現(xiàn)在大家越來越重視后兩種代換的方法了。添項、拆項，添項的方法也有很多，有的是添加數(shù)字“1”，這有很多形式，加“1”再減“1”，減“1”再加“1”，乘“1”，除“1”等形式。拆項的方法主要表現(xiàn)在把“1”拆成幾個數(shù)的和，或把“1”拆成幾個數(shù)的乘積。在證明不等式時最常用的是放大縮小，在放縮的時要放縮適當(dāng)，放得過大或縮的過小都很難使不等式成立。

有時若能巧妙利用“1”的代換，常常能使問題得以巧妙的解決。

這一題先利用任何數(shù)乘“1”等于其本身的特點，恰好可以用柯西不等式，然后判斷等號是否成立，在求最后得數(shù)用到了代換，這題的方法比較綜合。在證明不等式時要學(xué)會靈活應(yīng)用，上例看似很復(fù)雜，但只要理清關(guān)系，適當(dāng)?shù)陌选?”變形或者創(chuàng)造一個條件再轉(zhuǎn)換，都能把問題簡單化。

這一題先在根式內(nèi)乘“1”，利用任何數(shù)乘“1”等于其本身的特點，恰好可以用均值不等式把根式放大，然后判斷等號是否成立，在求最后得數(shù)用到了代換，這題的方法比較綜合。在證明不等式時要學(xué)會靈活應(yīng)用，例7看似很復(fù)雜，但只要理清關(guān)系，適當(dāng)?shù)陌选?”變形或者創(chuàng)造一個條件再轉(zhuǎn)換，再或者添“1”拆“1”，都能把問題簡單化。從上述兩題來看證明不等式一般需要多種方法，上述只涉及到一部分與“1”有關(guān)的證明方法，還有其他沒有用到的方法，并不是這些不重要，在不同的題目中，“1”有不同的方法這些需要我們?nèi)ヌ剿鳎グl(fā)現(xiàn)，去挖掘。

三、“1”在復(fù)數(shù)中的妙用

“1”在實數(shù)中的應(yīng)用有多種多樣的，妙處更是形形色色的，在實數(shù)中有這么多的用處同樣在復(fù)數(shù)中也有很多的用處。我們很熟悉-i2=1這個關(guān)系式，他是聯(lián)系實數(shù)和復(fù)數(shù)的橋梁。下面我們討論-i2用來代替1解題。

例：求2i的平方根。

解：因為2i=1+2i+i2=（1+i）2，所以2i的平方根是±（1+i）。

在實數(shù)中負(fù)數(shù)的平方根是不能求出來的，而在復(fù)數(shù)中是可以實現(xiàn)的，如：-1的平方根是±i。這一題并不是那種直接計算的，我們可以先試著加1再減1，然后把-1換成i2可以得到1-2i+i2，恰好是完全平方公式，這時候可以用完全平方公式開方就求出了-2i的平方根。

本文通過數(shù)字“1”在三角函數(shù)、不等式中的應(yīng)用及在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用，都反映出了“1”的妙用，說明了“1”雖是一個很簡單的數(shù)字，卻有很多的用處。無論是添“1”還是把“1”拆開都巧妙地使用“1”來解決了問題，告訴我們在解決不同的問題是需要進行不同的變換。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越靈活，新課標(biāo)的學(xué)習(xí)點就在“1”上，用“1”的巧妙方法輕易就解決了。解決這些問題需要發(fā)散思維，應(yīng)靈活運用“1”的不同性質(zhì)及一些與“1”有關(guān)的關(guān)系式，巧妙地解決問題。以上所談?wù)摰臄?shù)字“1”的作用只是冰山一角，只是起到拋磚引玉的作用，數(shù)學(xué)中還有大量與“1”有關(guān)的問題等待著我們共同發(fā)現(xiàn)。

（作者單位：安徽省蕪湖縣一中 241100）