引導學生深度參與數學實驗過程

李新

小學數學“學為中心”的課堂， 以學生數學學科核心素養的發展為中心目標、以學生數學學習活動的組織為中心內容、以引導并促進學生數學學習主體性的發揮為中心方法， 有效推進了小學數學課堂教學的改革與發展。數學實驗是讓小學生借助于一定的物質儀器或技術手段， 在數學思想和教學理論的指導下， 通過對實驗素材進行數學化的操作來學 （理解） 數學、用 （解釋） 數學或做 （建構）數學的一類數學學習活動。因此， 引導學生深度參與數學實驗過程， 是小學數學“學為中心”課堂的重要實踐路徑。

一、參與數學實驗的設計過程

開展數學實驗， 首先要進行實驗的設計。數學實驗設計， 通常由教師進行， 但是， “學為中心”的課堂， 主張并積極引導學生參與數學實驗的設計過程， 使學生對于為什么要實驗、怎樣做實驗、實驗需要哪些材料等問題進行主動思考。

（一） 提出問題

問題是學生開展數學學習、參與數學實驗、進行數學思維的起點。學習動機理論認為， 促使學生想要學習并愿意努力學習的因素是多方面的， 通常要涉及興趣、需要、驅力、誘因等要素。數學實驗教學中， 教師引導學生發現并提出問題， 能誘發學生學習興趣、產生學習需要并維持學習內驅力， 使思維始終處于積極狀態。教師引導學生發現并提出數學實驗的問題， 可以采用觀察法， 比如， 讓學生觀察直徑大小不同的自行車輪滾動路程的遠近不同， 提出“圓的周長可能與直徑相關”的問題， 并以此起點進行實驗探索；還可以采用類比法， 比如， 學生因2、5的倍數的特征， 想到“個位上是3、6、9的數是3的倍數”——當然這個想法是錯誤的——引出“3的倍數的特征究竟應該看什么”的問題， 進而開始“計數器撥珠表示3的倍數”的數學實驗。

以“學為中心”的課堂， 更加注重引導學生透過數學的現象， 提出有效的問題， 通過數學實驗來探索現象背后的道理， 感悟其中的原理。比如， 蘇教版五年級下冊探索規律《和與積的奇偶性》， 教師引導學生通過寫算式、比較、歸納， 初步發現規律“兩個偶數相加和是偶數、兩個奇數相加和也是偶數；一個奇數和一個偶數相加， 和是奇數”后， 啟發學生討論， 提出“為什么會有這樣的規律”的問題， 進而教師讓學生用方格代表數 （如圖一） ， 擺加法算式及其結果。在“擺”的過程中， 學生領悟到：奇數比2的倍數多1或少1， 一個奇數與一個偶數相加， 這個多1或少1沒有辦法“消掉”， 所以和還是奇數。這一道理的“悟得”， 也為接下來繼續探索并理解“和的奇偶性， 取決于加數中奇數的個數”這一規律做了準備。

（二） 做出假設

小學數學課堂教學中的實驗不同于科學實驗， 但可以借用科學實驗的思路引導學生參與實驗過程， 其中就包括引導學生在實驗之前做出假設。在數學實驗之前做出假設， 能促進學生更深入地思考數學實驗的目的、特點， 通過運用發散性思維對實驗的結果進行預測， 更周到地思考實驗過程中可能運用的操作方法、思維方法、表達方法等， 提高實驗方案的合理性、可行性。數學實驗前的假設， 與學生對相關知識、經驗的積累與激活程度有關， 比如， 教學《平行四邊的面積》， 課的開始， 教師讓學生嘗試用實驗的方法 （如數方格、測量、剪拼轉化等） 求得一張平行四邊形紙片的面積， 不同的學生就有不同的“假設”：有的學生認為， 平行四邊形的面積和長方形一樣， 用鄰邊長度相乘；有的學生認為直接用面積量具 （一種印有1cm×1cm正方形網格的透明塑料片） 蒙在上面數一數；有的學生認為， 可以將這個平行四邊形沿著高剪開， 分成三角形和梯形， 再拼成長方形， 求得面積。經過交流討論， 學生們認識到第三種方法， 也就是“平行四邊形能轉化成長方形”這一假設對于解決平行四邊形的面積計算問題可能有普遍意義， 在教師的指導下， 開始設計并做起了新的數學實驗。

（三） 設計方案

小學數學實驗的方案， 包括實驗的名稱、目的、材料、過程、記錄與討論等內容。“學為中心”的小學數學課堂， 主張引導學生參與設計數學實驗的方案， 重點是讓學生參與討論設計實驗的過程，即“怎樣做實驗”。教學實踐表明， 如果“怎樣做實驗”是學生參與討論得到的， 那么在實驗過程中， 學生表現更投入， 能更細致地觀察實驗現象并展開思考， 遇到困難更愿意自己想辦法克服。通常， 教師通過提供有結構的數學實驗材料， 啟發學生根據要解決的問題、教師提供的材料， 主動思考實驗過程。比如， 五年級教學《解決問題的策略——列舉》時， 教師在學生明確了問題 （用22根1米長的木條圍長方形， 怎樣圍面積最大） 后讓學生討論“想怎樣解決這個問題”， 并相機向學生展示了一捆22根同樣長的小棒、方格紙、表格等材料， 學生們紛紛領悟到每種材料的使用方法， 明確了實驗過程并開始實驗。

奧蘇伯爾認為， 學生面對新的學習任務時， 如果原有認知結構中缺少同化新知識的適當的上位觀念， 或原有觀念不夠清晰或鞏固， 則有必要設計一個先于學習材料呈現之前呈現的一個引導性材料， 構建一個使新舊知識發生聯系的橋梁， 這種引導性材料被稱為先行組織者。教師引導學生參與實驗設計， 也可以安排先行組織者。比如教學《圓的面積》時， 教師先讓學生回憶以往探索平面圖形的面積計算公式方法、過程， 學生發現以前很多是采用“轉化”的策略， 由此想到， 圓能否轉化成已經得出面積計算公式的圖形， 比如長方形、平行四邊形、三角形或梯形。之后， 學生進行小組討論， 設想相應的實驗過程， 再全班討論， 逐步形成比較清晰完整的實驗方案。

二、浸入數學實驗的進行過程

學生進行數學實驗， 應做到全身心充分投入， 以觀察操作啟迪數學思考， 以思維分析引導實驗過程， 才能真正站立在課堂的“中心”位置。

（一） 以深度感知為基礎

觀察、操作是小學生做數學實驗的基本方法， 兩者都與感知直接相關。這也符合小學生學習數學的基本規律， 正像蘇霍姆林斯基所說， “兒童的智慧在他的手指尖上”?！皩W為中心”的課堂強調學生學習過程的感知活動要充分、深入， 即既要充分調動感知覺器官， 全面收集信息， 又要善于透過現象看本質， 深度把握實驗材料、現象所體現出的數學規律或本質。比如， 三年級教學《長方形和正方形的認識》時， 學生用長方形、正方形的紙， 通過數一數、量一量、比一比、折一折等方法， 研究長方形、正方形邊和角的特征。這一實驗過程中， 學生的視覺、觸覺協同作用， 思維同步跟進， 不僅獲得了長方形和正方形的特征， 還在實驗過程中創造了“通過對折得到正方形四條邊都相等”的不同實驗方法：一種方法是先將正方形紙上下對折， 上下兩條邊重合， 再左右對折， 左右兩條邊重合， 最后沿對角線對折， 鄰邊重合， 由此推理得到正方形四條邊相等；另一種方法是將正方形紙沿對角線對折， 得到重合的等腰直角三角形， 再將這重合的等腰直角三角形對折， 使正方形紙四條邊重合。這兩種方法， 是學生在充分經歷了長方形和正方形特征的實驗探索過程后， 通過討論、相互啟發得到的， 其作用遠不止獲得“正方形四條邊都相等”這一結論， 還包括培養與發展數學推理能力、直感能力、創造能力， 這些都是“學為中心”課堂的應然成效。

（二） 以主動思維為核心

數學實驗過程中， 眼、耳、手等的參與是外顯的， 思維的參與是內在的， 也是發揮核心作用的。“學為中心”的課堂， 特別重視學生數學思維的參與和發展。小學數學實驗的課堂教學中， 主動思維集中體現在實驗過程中所表現出來的優良思維品質上， 如思維的積極、靈活、敏捷、獨創、批判等等。學生參與數學實驗， 由于有直觀材料的支撐和啟發， 有身體感知器官的信息接收與主動操作， 思維的主動性能得到有效加強， 也更容易提出數學發現， 感悟數學規則， 發展數學素養。例如， 一年級學習“十幾減9”時， 學生面對問題“大猴有13個桃， 小猴買走9個后， 還剩多少個”問題時， 運用數學實驗的方法探索計算方法：學生用圓片代替桃子， 在畫有2×5格的方格紙每格擺1個桃， 擺滿10個， 再在外面擺3個， 在這些直觀材料的啟發下， 他們各自獨立思考， 有的想到“先拿走外面的3個， 再從10個里拿走6個”， 即“13-3=10， 10-6=4”；有的想到“從10個里拿走9個， 剩下的1個和外面的3個合起來”， 即“10-9=1， 1+9=10”；有的學生換一種操作方法， 將13個桃子分成兩堆， 一堆9個， 另一堆4個， 想到“因為‘9+4=13， 所有‘13-9=4”。這樣的實驗過程， 操作并不復雜， 但思維過程極其重要， 算理、算法都是學生通過主動思維得到感悟和理解， 不同算法的比較、優化也顯得順其自然。

（三） 以交流反思為保障

通過合作交流， 學生反思實驗過程， 獲得基本的活動經驗。比如四年級教學《觀察物體》， 學生分組觀察投票箱的前面、右面和上面， 思考分別看到什么形狀， 之后交流。有學生說：“觀察投票箱的前面時， 要站在投票箱的前面， 正對這個面觀察， 再走到投票箱的右面， 正對這個面觀察， 最后回到投票箱的前面， 從高處俯視投票箱的上面?！庇袑W生說：“觀察哪個面， 就要正對這個面觀察?！庇袑W生說：“要邊看邊想看到的形狀。”有學生說：“我現在能閉眼想出三個面的形狀?！边@些關于觀察物體的經驗是如此鮮活， 獨具數學意味， 如果只有觀察， 沒有交流， 學生就不會有這樣豐富的體驗和收獲。

通過合作交流， 學生提煉實驗體會， 感悟基本的數學思想。比如四年級教學《可能性》時， 學生分組進行摸球實驗， 每組有一個不透明口袋， 里面放紅、黃球各一個 （兩個球除了顏色不同外， 其他都相同） ， 每人每次從口袋中任意摸一個， 摸出后放回， 并記錄摸到球的顏色。教師組織學生展示本組的記錄表并交流實驗體會， 有學生說：“我們組摸了20次， 有9次摸到黃球、11次摸到紅球， 兩種球都有可能被摸到?！庇械膶W生說：“展示的5張表格， 各組的第一次摸球， 有的摸到紅球， 有的摸到黃球， 也說明兩種球都有可能被摸到?！庇械膶W生說：“我們組最后連續3次摸到黃球， 如果再摸一次， 可能摸到紅球也可能摸到黃球?！边@些體會， 通過交流， 逐漸升華成對隨機思想的初步感悟。

總之， 隨著數學課程改革的推進， 廣大數學教師富有創新精神的教學探索不斷豐富著“學為中心”的課堂實踐， 數學實驗教學也越來越受到重視。教師引導學生通過數學實驗來學習數學， 激發學生學習熱情， 激活學生數學思維， 充分保障學生在學習過程中的主體地位， 使數學學科核心素養得到有效培養， 使“學為中心”的課堂理念得到真正落實。

（作者單位：蘇州市吳江區鱸鄉實驗小學）