基于“認知規律”優化數學課堂教學
——以“用計算器探索規律”教學為例

江蘇淮安市天津路小學（223005）

蘇教版教材編排“用計算器探索規律”這一單元的目的是讓學生掌握用計算器計算較大數的乘除法技能，并在此基礎上探索發現其中包含的積的變化規律和商不變的規律，讓學生初步應用所學的規律解決一些計算問題，從而感受并體驗規律的實際價值。在讓學生用計算器探索商不變的規律時，教材呈現了這樣的素材：已知8400÷40=210，如果被除數和除數同時乘或除以一個數（零除外），商有什么變化？通過這個素材推動教學進程：讓學生列算，初步發現“在除法中，被除數和除數同時乘或除以一個數（零除外），商不變”的規律，并以此作為一個猜想讓學生繼續舉例，進行計算例證，最后歸納概括得出商不變的規律。也就是說，教材安排的是一個過程性的目標，是要讓學生經歷規律探索的一般過程，從而積累探索的經驗，對數學規律有更深刻的理解。然而，如果我們站在學生的立場，以學生的視角來探尋，學生的需求會在哪里呢？很顯然，學生會產生一系列的困惑：為什么要把被除數和除數同時乘或除以一個數，而不是同時去加或者是去減一個數呢？為什么要強調“同時”呢？為什么必須是乘或除以同一個數呢？不同的數為什么不行？為什么還要“零除外”呢？……基于學生對知識的理解，我們可以發現，對這些問題的質疑和探索，是讓學生經歷“商不變的規律”從萌芽到生長再到形成這整個過程的關鍵所在。也就是說，讓學生發現商不變的規律并不是教學的重點，教學的重點是讓學生去探究和思考商不變規律客觀存在的根本原因，而這需要遵循學生的認知規律，重新設計課堂教學進程。筆者現根據自己的教學實踐，談談教學過程的優化設計。

[片段一]引導學生開展探究活動，引發猜想。

筆者先出示算術題“①40÷10，8÷2；②60÷20，120÷40；③9÷3，90÷30；④150÷30，5÷1”讓學生計算并比較，看看有什么新的發現；學生口算后發現四組算式中的商都是相等的，這引發了學生強烈的認知沖突，由此促進學生深入探究、思考。很顯然，學生由于年齡和認知的局限，從表層上觀察和捕捉到了“商相等”這個現象，這僅僅只是第一步，還需要將學生的思維引向深處，使其透過現象探求隱藏在現象背后的本質。于是筆者引導學生思考：比較每組算式中的兩道算式，它們的被除數和除數之間有什么聯系？如果要將這四組算式進行分類，你認為怎么分？能分成幾類？學生經過分組討論，認為可分成兩類，一類是①和④兩組算式，它們的被除數和除數都同時變小了，另一類是②和③兩組算式，它們的被除數和除數都同時變大了。筆者追問：“①④兩組算式中的被除數和除數為什么同時變??？②③兩組算式中的被除數和除數為什么同時變大？”學生認為，①④兩組算式中被除數和除數同時除以一個數，所以變小了；②③兩組算式中被除數和除數同時乘以一個數，所以變大了。學生經過討論和交流后得到結論：被除數和除數同時除以同一個數，商不變，并強調必須是同時。

[反思]上述教學中，筆者分兩個層次來進行教學。層次一，先引導學生進行觀察和比較，通過分類活動，讓學生初步感知每一組算式的基本特征，再借助小組討論交流等活動，讓學生逐步發現四組算式的不同分類標準：一是被除數和除數同時變小，二是被除數和除數同時變大。層次二，在學生已有的感性認識及已經建立被除數和除數共同發生變化的表象的基礎上，追問學生“這四組算式中的兩組為什么同時變小，另兩組為什么又同時變大”，由此激發學生繼續深入思考，繼續借助加減乘除等混合運算進行試算和思考，初步獲得“被除數和除數同時乘或除以一個數（零除外）商不變”的結論，由此概括出商不變的規律。

[片段二]引導學生驗證猜想。

環節一，先讓學生計算驗證。

筆者先追問學生：“從四組算式中發現蘊含著‘商不變’的規律，如何才能確定這個規律是否具有普遍性呢？”學生認為需要進行驗證，于是筆者給學生出示教材例題中的計算題“8400÷40=210”，并讓學生思考：如果被除數和除數同時乘或除以一個數，商會有什么變化？學生立刻運用計算器來進行計算，然后展開交流，發現“商不變”。筆者要求學生舉例說明用計算器計算的優點（例子中的數字要含一位數、兩位數、三位數、四位數等）。

環節二，讓學生歸納概括。

筆者追問學生：“通過舉例和驗證，你得到了什么結論？能不能找到反例？為什么被除數和除數要同時乘或除以相同的數？”學生在自己的計算和驗證結果中，并沒有找到反例，由此認識到被除數和除數同時乘以或除以相同的數，也就同時發生了相同的變化，所以商是不變的。

環節三，讓學生展開思辨。

筆者讓學生比較教材總結的商不變的規律和自己探索概括出來的結論有什么不同。學生發現教材中有一個條件就是“零除外”，為什么一定要“零除外”呢？學生根據已有的經驗指出零不能做除數，因為零做除數時算式就沒有任何意義。

[反思]在探究“商不變的規律”的過程，學生親身經歷了“猜想→驗證→結論”的過程，在這個過程中，學生不僅僅獲得了數學知識，激活了探究體驗的興趣和動力，還感知了豐富的數學表征和深切體驗了數學驗證方法。

[教后思考]

對于“用計算器探索規律”一課的教學，筆者基于學生的認知規律對教材內容進行了優化。整個教學過程顯示，學生積極踴躍，思維活躍，課堂氣氛非常好。這非常成功的一節課，也給了筆者很多啟示和思考。現從兩個方面談談自己的體會。

1.基于認知規律，增設探索環節

“商不變的規律”這一內容的教學，如果單純從知識目標看，依照教材提供的學習線索，能夠多、快、好、省地幫助學生探索和發現知識的規律，然而從學生思維能力發展的角度來看，教材的安排完全屏蔽了學生從感知到領悟數學規律之間因果關系的思考過程。這樣的教學，不僅不利于學生建構知識，而且也不利于學生感知數學規律的應用價值。因此在進行教學設計時，就需要適度地拉大教材“空間”，對教材進行重新“布局”，增強探索環節。為此，筆者在學生首次感知數學實例之后，讓學生自主探索規律，并展開猜測和驗證。這整個環節讓學生充分感受數學發現之旅的美麗風景。

2.基于認知規律，增設過程環節

“商不變的規律”教學的關鍵不是讓學生熟記規律，而是讓學生了解規律的來龍去脈，理解規律的本質并內化于心，最終學會應用規律。為此，筆者拉長了“猜測→驗證→結論”的探究過程，增強了“課堂探索過程”這個環節，其中，猜測環節是探究性學習的關鍵一步。學生通過積極參與猜測、驗證、推理、歸納等活動，親身經歷了思考過程，從而真實地感知到了計算中蘊含的規律所在，經歷了數學知識萌芽、生長、發展的過程，很好地發展了數學思維能力。