關注數學本質，提升數學核心素養

浙江衢州市常山縣天馬第二小學（324200）

數學本質是指具體數學內容的本真意義。教師不但要引導學生明白隱藏在客觀事物背后有哪些數學知識和數學規律，以及這些數學知識的本質屬性是什么，還要讓學生知道統攝具體數學知識與技能的數學思想方法是什么，數學思維、數學精神有哪些。教學中，教師要把握好教學內容的數學本質，讓學生經歷數學過程，提升數學核心素養。

一、理解基本概念

數學是由概念、命題等內容組成的知識體系。它是一門以抽象思維為主的學科，而概念是這種思維的語言。因此，概念教學是小學數學至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解基本概念是學好數學的基礎。

小學數學的基本概念主要包括十進制、單位（份）、四則運算、位置、變換、平面圖形、統計。理解基本概念不但要明白“是什么？怎么樣？為什么？”，還要思考“從哪里來？到哪里去？”。

（一）明白“是什么？怎么樣？為什么？”

數學是一切自然科學的終點，自然科學的盡頭是數學。這說明科學需要借助數學來表達（是什么），來推理演算（怎么樣），來解釋說明（為什么）。作為學科體系中一員的數學，它是思維的體操，需要讓學生明白“我研究的內容（是什么），根據條件可以推導出什么（怎么樣），這樣的推導根據是什么（為什么）”。經過“是什么——怎么樣——為什么”的思維過程，學生就會知其然且知其所以然，讓孤立的知識在頭腦中成為網狀結構的知識，實現知識之間的融會貫通。

例如，“三角形的面積”研究的是如何計算三角形的面積，教材通過將兩個完全一樣的三角形拼接成一個平行四邊形，推導出三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半，其公式用字母表示為。在解析公式時，教師要有意識地提出核心問題：“根據公式能推導出什么（怎么樣）？”學生在互動交流中就能明白：1.知道底和高，就能求出三角形的面積（基礎題）；2.知道平行四邊形的面積，就能求出與之等底等高的三角形的面積，同理，知道三角形的面積，就能求出與之與之等底等高的平行四邊形的面積（變式題）；3.知道三角形的面積和底（或高），就能求出三角形的高（或底）（發展題）。如果教學進程就此停止，那么只解決了“怎么樣”，學生還不知道“為什么”，在做變式題和發展題時的錯誤率就會很高。當學生說出“知道平行四邊形的面積，就能求出與之等底等高的三角形的面積；同理，知道三角形的面積，就能求出與之等底等高的平行四邊形的面積”時，如果教師順勢追問“你是怎么求的？為什么可以這樣做？”，引導學生從幾何直觀和代數公式推導的兩個維度去解釋說明，就能落實“為什么”。當學生說出“知道三角形的面積和底（或高），就能求出三角形的高（或底）”時，教師要讓學生經歷公式的推導過程，使之明白h=2S÷a，a=2S÷h，落實“怎么樣”，并借助幾何直觀——兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形以及平行四邊形的面積÷高=底，讓學生明白為什么要用2S。這樣就把平行四邊形和三角形的面積計算融會貫通，讓代數公式與幾何直觀相互印證，構建起相互聯系的知識網絡。

因此，明白“是什么？怎么樣？為什么？”的本質是理解概念的內涵與外延，促進學生自主建構知識網絡。

（二）思考“從哪里來？到哪里去？”

關注數學本質，不但要明白“是什么？怎么樣？為什么？”，還要根據研究內容，思考“從哪里來？到哪里去？”。“是什么？”是追問數學本質的核心問題，是對研究內容的深度挖掘和本位思考；“從哪里來？到哪里去？”是從知識生長和發展脈絡的角度思考教學內容，屬于追問數學本質的輔助性問題。

例如，“確定位置（數對）”屬于方向與位置的教學內容，教師不能簡單地認為本節課就是教“數對”的概念，讓學生會讀、會寫、會用就可以了，這樣的認識和教學是膚淺的，沒有觸及數學的本質。教師應該深入思考，認識到“數對”的數學本質是“物體位置的一種量化表達形式”，包含兩層含義：一是“數對”是物體位置的另一種表達形式，二是“數對”是物體位置表達形式的量化結果。正因為“數對”對物體的位置采用“量化表達”的形式，才達到了指向“確定位置”的神奇效果，這是“數對”和方位詞在表達物體位置上最為本質的區別。

“數對”從哪里來？學習它的前提是學生已經認識了“前、后、左、右、上、下”和“東、南、西、北”等方位詞，會用這些方位詞表達物體的大致位置，而“數對”是將大致位置具體量化的手段。“數對”又要到哪里去？小學數學中“數對”的概念，到了中學就被平面解析幾何中“二維坐標”所取代，包括橫坐標和縱坐標，再到大學就被空間解析幾何中“三維坐標”所取代，并進一步拓展為橫坐標、縱坐標和豎坐標，用三維坐標來確定空間中物體的位置。從小學的“數對”到中學的“二維坐標”再到大學的“三維坐標”，表達形式和名稱都變了，但是本質不變，都是物體位置的量化表達形式。

因此，思考“從哪里來？到哪里去？”，目的是理順前置概念與后續概念之間的內在聯系，明白數學概念發生和發展的內在邏輯關系，從而精準理解概念。

二、提煉數學思想

數學思想是數學的靈魂。日本著名數學家米山國藏曾經說過：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。”這說明數學思想方法對人的發展起奠基作用。課程標準明確提出：“使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。”關注數學本質，就要發現并提煉出數學知識中蘊含的數學思想。

數學思想蘊含在數學知識的形成、發展和應用過程中。一般地，數學知識的形成過程常常蘊含抽象思想，數學知識的發展過程常常蘊含推理思想，數學知識的應用過程常常蘊含建模思想。當然，一個具體的教學內容蘊含哪些數學思想，需要從多個角度進行分析，還需要具體問題具體分析。因此，如果我們的教學能夠讓學生經歷數學知識的形成、發展和應用過程，并巧妙設計一些數學活動，融入數學思想，讓學生在掌握知識、習得技能的基礎上感悟數學思想以及應用數學思想解決實際問題，就能切實提升學生的數學核心素養。

例如，教學“找規律”（植樹問題）時，教師出示問題：“有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放多少盆花？”引導學生分析如何提煉并落實數學思想。

1.操作（滲透數形結合思想）——先讓學生自主探索，學生通過畫圖和數數得出“8盆”。

2.探索（設置懸念，尋找規律）——如果有500棵樹排成一行，還這樣放，那么一共要放多少盆花？學生可能會用以下方法解答：A.化歸法，從數量比較小的情況開始推理，用不完全歸納法得出兩頭都不放花，花的盆數比樹的棵數少1，所以有499盆；B.對應法，一棵樹對應一盆花，最后一棵樹沒有花對應，所以花的盆數比樹的棵數少1，列式是500-1=499（盆）。這時，學生得到的是個體的探索經驗，是零散的經驗，沒有上升到基本的數學思想。

3.領悟提升（厘清思路）——剛才我們是怎么解決500棵樹中要放多少盆花的？A.采用復雜問題簡單化的方法，也就是化歸法解決的。B.對應法。學生可能說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當強化數學思想。

4.應用提高（對應思想）——變式一：500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放多少盆花？變式二：500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放多少盆花？教師不斷地進行變式訓練，學生依據表象，靈活運用對應的思想方法，舉一反三，體驗它的價值。在不斷的運用中，對應思想逐步“植入”學生的頭腦，最終內化為學生的數學素養。

三、突出數學思維

數學思維是指運用數學的思維方式思考問題。抽象、概括、推理是數學思維的主要方式。推理包括合情推理和演繹推理，而歸納推理和類比推理是合情推理的重要方式。如果說數學是思維的體操，那么在數學課堂中促進學生更為積極地思考，使之逐步學會想得更全面、更深刻、更合理則是數學教學的重要任務。教學時，教師如果能夠充分突出數學思維，就能讓學生更好地體驗數學的“樂趣”，從而提升數學素養。

例如，教學“分數的認識”時，教師可以從數的認識的角度出發，在認識自然數的基礎上讓學生在數線上找到0、1、2、3的“家”（位置），并提出核心問題：“0和1之間有沒有其他數？”然后設計問題串：“如果有是什么？它們在哪里？還有嗎？”一步步將學生的數學思維引向深處，讓學生在解決問題的過程中體驗思考的樂趣。

在教學過程中，教師要有問題意識，要深入分析教材，提煉出一個明確的核心問題，通過問題串為線索來推進學習的進程，促進學生積極思考，學會用數學的思維方式思考問題。

四、追求數學精神

數學精神是指數學的理性精神（對“公理化思想”的信奉）與數學的探究精神（以好奇心為基礎，對理性的不懈追求），它是支撐數學家研究數學進而研究世界的動力，也是學生學習數學最原始、最永恒且最有效的動力。教師要結合教學內容，通過數學公式的應用，強化學生的數學規則意識；通過講解數學史，讓學生感受數學的神奇魅力；通過介紹數學家的故事，讓學生體會數學家對數學不懈追求的精神。

例如，教學“體積的計算”時，教師可以介紹阿基米德在兩千年前如何測量不規則皇冠的體積，讓學生感受科學家的探究精神，以此引導學生對數學精神的追求。

總之，要提升學生的數學核心素養，關注數學本質是一條重要途徑。數學教學應該通過數學活動讓學生理解基本概念，明白數學知識的來龍去脈，感受數學思想、數學思維的魅力，體會數學文化、數學精神的力量。