建構數學模型 感悟模型思想

江蘇海安縣南莫鎮中心小學（226681）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確將“模型思想”列為核心概念之一。廣義地說，數學就是一種模型科學。無論是數學的概念、公式，還是數學的定理、公理等，都可以稱為模型。狹義地理解，數學模型是指用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。某種意義上，學生建構數學模型的過程就是經歷“數學化”的過程。在這個過程中，學生需要充分調動自己的感官進行觀察、思維、想象等，需要充分運用數學思想進行提煉、抽象、概括等。數學模型是抽象的，因此，教師在數學教學中必須引導學生建構數學的模型，讓學生把握數學模型的本質，感悟數學模型的思想。

一、聚類抽象，豐厚數學模型的建構表象

數學模型不是對個別數學對象特征的反映，而是具有“類”的特征。將眾多數學現實材料和數量關系進行抽象、概括，形成具有本質屬性的模型，是模型建構的一般形式。為此，數學教學中教師要豐富學生的表象積累，為學生培育數學模型建構的土壤，讓學生從多維度、多側面、多視角、多方位感知一類事物共同具有的特征或者數量關系，從而為學生建構數學模型奠定堅實的基礎。

例如，筆者發現學生對于行程、工程等問題的數量關系通常只停留在記憶的層面上，沒有形成有意義的數學模型。為此，筆者向學生提供了幾種不同類型的數量關系的問題，如“一支鋼筆的價錢是15元，買5支鋼筆，一共需要多少元？”“飛機每小時飛行1200千米，3小時飛行多少千米？”“修一條公路，甲隊每天修200米，5天一共修了多少米？”學生在解決問題的過程中，有的根據經驗和題目中的已知條件解決問題；有的根據“單價、數量和總價”“速度、時間和路程”“工效、工時和工總”的數量關系解決問題。在學生解決問題后，筆者引導學生進行深度比較：這些題目有什么共同特征？學生朦朧地感覺到“每支鋼筆15元”“每小時飛行1200千米”“每天修200米”都具有相似的特征。那么，這種具有相似特征的數量在數學上叫作什么呢？有學生認為都是表示“每什么”，有學生認為都是表示“單位數量”，還有學生認為都是表示“1份數量”，等等。在此基礎上，筆者揭示“每份數”“份數”“總數量”的概念。由于有了數學素材的支撐，學生積累了豐富的數學模型的建構表象。這樣的學習，能讓學生經歷數學模型的抽象化過程，深刻理解數學概念的內涵。

數學模型是對某類事物特征或者數量關系形式化、抽象化、符號化的概括。數學模型所表征和確證的數學對象是豐富的。因此，教師要讓學生對一類事物的特征或者數量關系充分地想、充分地說、充分地做，進而舍棄事物的非本質屬性與特征，提取事物的本質屬性和特征，用數學的語言抽象、概括或者近似地表達出來，就能讓學生水到渠成地建構數學模型。

二、原型啟發，引領數學模型的有效過渡

學生建構數學模型并非一蹴而就的，而是有一個數學化、形式化和公理化的抽象概括過程。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出，要“從學生已有的生活經驗出發，讓他們親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”。數學模型源于生活世界中的原型且高于生活世界中的原型，但生活世界中的原型卻能夠促進學生對數學模型的理解。因此，教師應當重視并引導學生從生活原型過渡到數學模型。

例如，教學蘇教版教材第7冊“垂線和平行線”時，有些教師盡管多次強化畫垂線和平行線的操作要領，但學生在具體操作時還是覺得無所適從，不知道如何擺放三角尺。如何突破這樣的教學難點？畫垂線和平行線的操作模型在生活中有原型嗎？如何讓學生從畫垂線和平行線中獲得一般的操作啟示，甚至能夠將其有效遷移到“畫三角形的高”“畫平行四邊形的高”呢？為此，筆者運用“問題串”著重對畫平行線進行導學：①經驗摸底：根據你的經驗，怎樣畫平行線？（學生想到了用等寬的直尺描、用直尺移等）②理性審視：用等寬的直尺描比較精確，但只能畫固定距離的平行線；借助直尺移動很方便，但是移的過程中容易發生歪斜的現象。③原型展示：多次演示“開關窗戶”的動畫，引發學生深度思考。④原型啟發：能不能也像開關窗戶一樣造一個軌道，讓直尺在平移時有一個依靠？⑤模型建構：怎樣畫垂線？怎樣畫平行線？經過討論、交流，學生發現畫垂線時，已知直線就是軌道，直尺或者三角形可以直接在直線上平移；畫平行線時，可以讓三角尺的一條邊和已知直線重合，以固定的另一條邊為軌道，讓三角尺或者直尺在這個軌道上移動。如此，學生通過生活原型，成功地建構了“畫平行線”“畫垂線”的操作模型。

通過學生的理性概括，學生理解了畫垂線、畫平行線“為什么要建軌道？”“怎樣建軌道？”以及“用什么建軌道？”等一系列問題。教師充分運用生活原型的可靠性和直觀性，引導學生突破了數學學習的難點，引領學生實現了從生活原型到數學模型建構的有效過渡。同時，還消除了生活原型對數學模型建構的干擾，深化了學生對數學知識的本質理解。

三、符號概括，實現數學模型的意義建構

數學模型的建構過程必須經歷從“感性”到“理性”，再到“運用”的過程。許多數學模型是用數學符號來確證和表征的，因此教學中教師要給學生提供運用符號的機會，甚至讓學生創造符號。如此，充盈數學符號的模型意義，讓學生能夠運用數學符號進行概括，從而建構數學模型，感受數學模型的意義和價值。

例如，作為三大運算律之一的“乘法分配律”，溝通了乘加、乘減之間的關系，其形式上的變化和特殊的結構，給學生造成了一定的認知障礙。教學中，筆者讓學生創造符號進行概括，引導學生走出思維窠臼。首先，通過情境問題“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩。四、五年級一共要領多少根跳繩？”引導學生解決問題。有學生先算一共有幾個班，再算一共需要多少根跳繩；有學生先算四、五年級各需要多少根跳繩，再算一共需要多少根跳繩。學生認識到，盡管方法不同，但都解決了問題。在此基礎上，學生就能用等號將兩種計算方法聯結在一起。其次，引導學生從乘法意義的視角對這兩個算式進行詮釋：左邊先算什么？表示幾個24？右邊先算什么？表示幾個24？學生發現，盡管解決問題的方式不同、計算順序不同，但意義是相同的，結果是相同的。那么，是否具有這樣特點的算式一定能夠組成等式呢？最后，讓學生自主創造等式，并展開積極主動的驗證。從單個例子的等式關系，到創造更多例子的等式關系，學生在豐富例證的過程中習得了科學的探究策略。在這過程中，他們主動運用各種符號建模，如“（☆+△）×□=☆×□+△×□”“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”“（a+b）×c=a×c+b×c”等。對于這樣的符號表達，學生還能說出其意義，如“☆個□加上△個□等于（☆+△）個□”“a個c加上b個c等于（a+b）個c”等。可見，教師引導學生自覺運用符號、創造符號構建數學模型，就能夠讓學生初步感受數學模型思想。

數學模型的建構，有助于促進學生的數學理解，發展學生的思維能力，提升學生的思維品質。通過自主探索，對數學結論進行抽象、概括，提煉成數學模型的過程中，學生不僅“知其然”，更“知其所以然”。經歷了數學模型的建構，學生無論是知識結構還是解決問題的能力都有了質的飛躍，學生的創新精神、實踐能力以及核心素養都得到了最大限度的提升。